文档文本内容
相反数和绝对值
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1、掌握相反数的定义。
2、掌握绝对值的本质意义。
3、掌握相关典型题的解法。
1、相反数定义
只有符号不同的两个数叫做互为_____，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是_____。
注意：⑴相反数是_____出现的；
⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负；
⑶0 的相反数是它本身,相反数为本身的数是0。
2、相反数的性质与判定
⑴任何数都有_____，且只有一个；
⑵0 的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为_____，和为0 的两数互为_____。
3、相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在
数轴上的对应点（0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点；原
点表示0 的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于_____对称。
4、相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5 的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b 的相
反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5 的相反数
是-（-5），化简得5)
5、相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a 是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0 时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0 时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0 时，-a=0，（0 的相反数是0）
6、多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决
定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为
正。
7、绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的_____，记作|a|。
8、绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它_____；
⑵一个负数的绝对值是它的_____；
⑶0 的绝对值是_____。
可用字母表示为：
①如果a>0，那么|a|=_____；
②如果a<0，那么|a|=_____；
③如果a=0，那么|a|=____。
可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负
数。）
②a≤0<═>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正
数。）
9、绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有_____。所以，a 取任何有理数，
都有|a|_____0。即
2
0 的绝对值是0；绝对值是0 的数是0，即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是_____.即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都_____原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数_____或互为_____。即：|a|=|b|，则a=b 或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就_____。即|a|+|b|=0，则a=0 且b=0。（非
负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
10、有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比
较大小，正数大于负数。
11、绝对值的化简
①当a≥0 时，|a|=a；
②当a≤0 时，|a|=-a
12、已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数
的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0 的数是0，没有绝对值为负数的数。
参考答案:1、相反数 0 成对
2、相反数 0 相反数
3、原点
7、绝对值
8、本身 0 0 a -a 相反数
9、非负性 ≥ 0 不小于 同时为0 相反数 相等
1、相反数
【例1】﹣3 的相反数是（ ）
A.±3 B.3 C.－3 D.
考点：
相反数．
分析：
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解答：
解：﹣3 的相反数是3．
故选：B．
点评：
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
练1、（2015 人大附期中）x+y﹣z 的相反数是（ ）
A．
x+y+z
B．z﹣x﹣y
C
．
x﹣y+z
D．﹣x+y﹣z
考点：
相反数．
分析：
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
解答：
解：x+y﹣z 的相反数是：﹣x﹣y+z，
故选B
点评：
此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
练2、（2015 清华附期中）如图，数轴上有A、B、C、D 四个点，其中表示互为相反数的点
是（ ）
A．
点A 与点D B．
点A 与点C
C．
点B 与点D
D．点B 与点C
考点：
相反数；数轴．
分析：
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解答：
解：2 与﹣2 互为相反数，
故选：A．
点评：
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
【例2】（2015 理工附期中）如果3 是a﹣3 的相反数，那么a 的值是（ ）
A．
0
B．3
C
．
6
D．﹣6
考点：
相反数．
分析：
根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0，得出3+a﹣3=0，解方程求
出a 的值，
解答：
解：∵3 是a﹣3 的相反数，
∴3+3﹣a=0，
∴a=0．
故选A
点评：
本题主要考查相反数的概念及性质．如果a 和b 互为相反数．则a+b=0
练3、（2015 年聚萃双语中学期末）若﹣（a﹣3）是负数，则a﹣3 是
，若﹣[﹣
（a+b）]是负数，则a+b 是
．
考点：
相反数．
分析：
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解答：
解：﹣（a﹣3）=a+3 是负数，a﹣3 是正数；
﹣[﹣（a+b）]=a+b 是负数，
故答案为：正数，负数．
点评：
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
练4、计算：﹣（﹣）= ．
考点：
相反数．
分析：
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解答：
解：﹣（﹣）= ，
故答案为：．
点评：
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2、绝对值的性质
【例3】(1)已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c ，那么a+b−c ＝ ．
(2) 已知a、b、c、d 是有理数，|a−b|≤9，|c−d|≤16，且
|a−b−c+d|=25，那么|b−a|−|d−c|= ．
（3）已知|x|=5，|y|=1，那么||x−y|−|x+ y||= _________．
（4）非零整数m 、n 满足|m|+|n|−5=0 ，所有这样的整数组(m,n)共有______组．
思路点拨 (1)由已知条件求出a、b、c 的值，注意条件a>b>c 的约束；
(2)若注意到9+16＝25 这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；
（3）既可以对x ，y 的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何
意义解；
（4）从把5 拆分成两个正整数的和入手．
答案：（1）2 （2） -7 （3）2 （4）16
练5、（2015 年上海模拟）若|2x|=﹣2x，则x 一定是（ ）
A．
正数
B．负数
C
．
正数或0
D．负数或0
考点：
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分析：
根据负数或0 的绝对值等于它的相反数解答．
解答：
∵|2x|=﹣2x，
∴2x≤0，
∴x≤0，
即x 一定是负数或0．
故选D．
点评：
本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0 的绝对值是0，要注意特殊数0．
练6、（2015 年人大附中学期中）有理数a，b，c 满足|a+b+c|=a﹣b+c，且b≠0，则|a﹣
b+c+1|﹣|b﹣2|的值为
．
考点：
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分析：
根据|a+b+c|=a﹣b+c，可得a﹣b+c≥0，a+c=0，b＜0，然后代入求解即可．
解答：
∵|a+b+c|=a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥0，a+c=0，b＜0，
则|a﹣b+c+1|﹣|b﹣2|=a﹣b+c+1+b﹣2=a+c﹣1．
故答案为：a+c﹣1．
点评：
本题考查了绝对值的知识，解答本题的关键是掌握绝对值的性质，进行绝对
值的化简．
3、相反数和绝对值的综合
【例4】若|2x+1|+|y−5|=0 ，则2 x+ y 等于（ ）．
分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得|2x+1|≥0；
|y−5|≥0．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则2 x+1=0 ，
x=−1
2 ；y−5=0 ，y=5 ．故
2 x+ y=2×(−1
2)+5=4
．
说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点
到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负
数都是0．
练7、满足|x+1|+|x+4|>3 的x 的取值范围为
分析： 同理| x+1|表示数轴上x 与-1 之间的距离，| x+4|表示数轴上x 与-4 之
间的距离。本题即求，当x 是什么数时x 与-1 之间的距离加上x 与-4 之间的距离会
大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4 或x>-1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴
上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。
事实上，| A−B| 表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离。这是一
个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了3、4 这两道难题。
答案: x<-4
或
x>-1
练8、结合数轴求得
的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为
_____.
分析：| x−2|即x 与2 的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与2 之间的距离。
|x+3|=|x−(−3)|即x 与-3 的差的绝对值，它也可以表示数轴上x 与-3 之间的距离。
如图，x 在数轴上的位置有三种可能：图2 符合题意
图1 图2 图3
答案：5
-3
≤
x_
≤
2_
练9、（2015 年一零一中学期中）计算：|3.14﹣π|+|3.15﹣π|=
．
考点：
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分析：
利用绝对值的定义求解即可．
解答：
|3.14﹣π|+|3.15﹣π|=π﹣3.14+3.15﹣π=0.01．
故答案为：0.01．
点评：
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
【例5】（2015 年鸿育中学期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与
−2，3 与5，−2与−6 ，−4 与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
（2）若数轴上的点A 表示的数为x，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可表
示为
．
分析：点B 表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置。那么点A 呢？
因为x 可以表示任意有理数，所以点A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A
与B 两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1 时，距离为-x-1, 当-1<x<0 时，距离为x+1， 当x>0，距离为x+1
综上，我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为| x+1|
答案：相等
练10、已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两
侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着
甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数
学思想解决这一问题。
解：设甲数为x，乙数为y
由题意得：| x|=3| y |，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6
若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6
（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12
若x、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12
【例6】计算|3−x|+|x−1| (x>5)
．
分析：要计算上式的结果，关键要弄清3−x 和x−1的符号，再根据正数的绝对值等于本
身，负数的绝对值等于它的相反数，0 的绝对值是0．可求上式的结果，又∵x>5 ，故
3−x<0 ，而x−1>0 ．
| x−(−1)|=|x+1|
解：又∵x>5 ，
∴3−x<0 ，x−1>0 ，
∴|3−x|+|x−1|=x−3+x−1=2x−4 ．
说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号．
另外，要求出负数的相反数．
练11、x 为何值时，|x﹣3|+|x+2|有最小值，求出这个最小值．
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专题：常规题型．
分析：画出一个数轴，那么|x﹣3|+|x+2|表示的就是数轴上任意一点到﹣2 和3 的距离
之和，显然，当该点在﹣2 与3 之间时可以得到最小值5．
解答：如图所示：
∵当x＜﹣2 时，就是2﹣x+3﹣x=﹣2x+5＞5，
当x＞3 时，距离之和为x+2+x+3＞5，
∴当﹣2≤x≤3
|x﹣3|+|x+2|有最小值
=3﹣x+x+2
=5．
点评：本题考查了绝对值的求解，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
练13、当a 取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|有最小值．
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分析：分类讨论：a＜﹣4，﹣4≤a＜1，﹣1≤a＜3，a≥3，根据负数的绝对值是它的
相反数，正数的绝对值等于它本身，可化简绝对值，根据有理数大小比较，可
得答案、
解答：当a＜﹣4 时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|=﹣a﹣4﹣a+1﹣a+3=﹣3a＞12，
当﹣4≤a≤1 时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|=a+4﹣a+1﹣a+3=7﹣a≥6
当1≤a＜﹣3 时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|=a+4+a﹣1﹣a+3=6+a≥7
当a≥3 时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|=a+4+a﹣1+a﹣3=3a≥9
综上所述：当a=1 时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|最小值=6．
点评：本题考查了绝对值，分类讨论是解题关键，利用了负数的绝对值是它的相反
数，正数的绝对值等于它本身．
1、已知4a﹣1 与﹣（a+14）互为相反数，求a 的值．
2、已知4a﹣6 与﹣6 互为相反数，求a 的值．
3、已知M 是6 的相反数，N 比M 的相反数小2，则M﹣N=
．
4、化简：﹣[﹣（+8）]=
．
5、已知2x 与﹣6 互为相反数，求x 的值．
6、若|x|=4，|y|=3，且x＜y，求x、y 的值．
7、若有理数x、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求x﹣y 的值．
8、若|a|=4，|b|=1，
（1）求a+b 的值．
（2）若|a+b|=a+b，求a﹣b 的值．
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1、一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是…………………………………… (
)
A．
B．1
C．0
D．
2、数轴上表示互为相反数
与
的点到原点的距离是…………………………( )
A. 表示数
的点距原点较远 B. 表示数
的点距原点较远
C. 相等 D. 视
的取值情况而定
3、 在一个数前面加一个“-”就可以得到一个………………………………………( )
A. 原数的相反数 B. 非负数 C. 非正数 D. 负数
4、 下列叙述中不正确的是………………………………………………………………( )
A. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数
B. 和原点距离相等的两个点所表示的数一定是互为相反数
C. 符号不同的两个数互为相反数
D. 两个数互为相反数，这两个数有可能相等
5、-（+5）是 的相反数，即-（+5）= ；-（-5）是 的相反数，即-（-5）=
．
6、任何一个
的相反数都是正数； 任何一个
的相反数都是负数；
的
相反数是它本身．
7、_________大于它的相反数；_________小于它的相反数．
8、如果
是互为相反数，则
＝
．
9、若
，则－m= ．
10、|－3|等于…………………………………………………………………… ( )
A.3 B.－3 C. 3
1
D.－3
1
11、下列说法错误的是……………………………………………………… （ ）
A. 一个正数的绝对值一定是正数 B. 一个负数的绝对值一定是正数
C. 任何数的绝对值都是正数 D. 任何数的绝对值都不是负数
12、 在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上的……（ ）
A. 原点及原点左边 B. 原点右边 C. 原点左边 D. 原点及原点右边
13、 一个有理数的绝对值等于本身的数有………………………………………（ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无数个
14、 下列等式成立的是……………………………………………………………（ ）
A．|a|＋|-a|= 0 B．-a-a=0 C．|a|-|-a|=0 D．-a-|a|=0
15、 下列说法正确的是……………………………………………………………（ ）
A. 在所有的负数中，-1 绝对值最小
B. 0 是绝对值最小的有理数
C. 既没有绝对最小的有理数也没有绝对值最大的有理数
D. 绝对值最小的整数是1
16、已知
为有理数，且
，那么
与
的大小关系是…………（ ）
A．
B．
C．
D．
17、以下四个论断不正确的………………………………………………………（ ）
A．在数轴上，关于原点对称的两个点,所对应的两个有理数互为相反数。
B．两个有理数互为相反数，则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称。
C．两个有理数不等，则它们的绝对值不等。
D．两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等。
18、
的绝对值等于它本身，
的绝对等于它的相反数．
19、若
=5，则x=
；若|x+4|=4，则x= ．
20、 若
，则
．
21、绝对值不大于3 的整数有 ．
22、若
，则a ．
23、若
=7，则x=
．
24、已知：
，求：
25、已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a＞b＞c，求a＋b＋c 的值．
参考答案
当堂检测
1、考点：相反数．
分析：根据互为相反数的两个数的和等于0 列出方程求解即可．
解答：解：由题意得，4a﹣1﹣（a+14）=0，
4a﹣1﹣a﹣14=0，
解得a=5．
点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念并列出方程是解题的关键．
2、考点：相反数．
分析：根据互为相反数的两个数的和为0，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可
得答案．
解答：解：4a﹣6 与﹣6 互为相反数，
4a﹣6+（﹣6）=0
4a=12
a=3．
点评：本题考查了相反数，互为相反数的两个数的和为0 是解题关键．
3、考点：相反数．
分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得M，根据N 与M 的相反数的关系，可得
N，根据有理数的减法，可得答案．
解答：解：由M 是6 的相反数，得
M=﹣6．
由N 比M 的相反数小2，得N=4．
M﹣N=﹣6﹣4=﹣10，
故答案为：﹣10．
点评：
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
4、考点：相反数．
分析：根据相反数的定义化简即可．
解答：解：﹣[﹣（+8）]=8．
故答案为：8．
点评：
本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
5、考点：相反数．
分析：由相反数的定义得到关于x 的方程2x+（﹣6）=0，通过解方程可以求得x 的值．
解答：解：∵2x 与﹣6 互为相反数，
∴2x+（﹣6）=0，
解得，x=3．即x 的值是3．
点评：
本题考查了相反数．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
6、考点：绝对值．菁优网版权所有
分析：根据绝对值的定义和x＜y，即可求得x、y 的值．
解答：∵|x|=4，|y|=3
∴x=﹣4 或4，y=3 或﹣3
又∵x＜y
∴x=﹣4，y=3 或﹣3．
点评：
本题考查了绝对值的计算，本题中根据x＜y 求x 的值是解题的关键．
7、考点：绝对值；有理数的加法；有理数的减法．菁优网版权所有
分析：根据|x|=5，|y|=2，求出x=±5，y=±2，然后根据|x+y|=x+y，可得x+y≥0，然后
分情况求出x﹣y 的值．
解答：∵|x|=5，
∴x=±5，
又|y|=2，
∴y=±2，
又∵|x+y|=x+y，
∴x+y≥0，
∴x=5，y=±2，
当x=5，y=2 时，x﹣y=5﹣2=3，
当x=5，y=﹣2 时，x﹣y=5﹣（﹣2）=7．
点评：
本题考查了绝对值以及有理数的加减法，解答本题的关键是根据题目所给的条件求出x 和
y 的值．
8、考点：绝对值．权所有
专题：分类讨论．
分析：（1）根据绝对值的性质求出a、b，然后分情况讨论计算即可得解；
（2）根据非负数的绝对值等于它本身判断出a+b≥0，然后得到a、b 的值，再相减计算即
可得解．
解答：（1）∵|a|=4，|b|=1，
∴a=±4，b=±1，
a=4，b=1 时，a+b=4+1=5，
a=4，b=﹣1 时，a+b=4+（﹣1）=3，
a=﹣4，b=1 时，a+b=﹣4+1=﹣3，
a=﹣4，b=﹣1 时，a+b=﹣4+（﹣1）=﹣5，
综上所述，a+b 的值为±3，±5；
（2）∵|a+b|=a+b，
∴a+b≥0，
∴a=4，b=1 或a=4，b=﹣1，
∴a﹣b=4﹣1=3，
或a﹣b=4﹣（﹣1）=5．
所以，a﹣b=3 或5．
点评：
本题考查了绝对值的性质，有理数的加法和减法，熟记性质是解题的关键，难点在于确定
a、b 的对应情况．
家庭作业
1-4、BCAC
5、5 -5 5 5
6、负数 正数 0
7、正数 负数
8、6
9、
1
3
10-17、ADDBCBAC
18、0 负数
19、-5 或+5 0
20、1 或7
21、0、1、-1、2、-2、3、-3
22、》0
23、
±1
7
24、3、1
25、-4
课程顾问签字： 教学主管签字：
