文档文本内容
平行线的性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；
2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；
3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.
【要点梳理】
要点一、平行线的公理、定理
公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角
相等）.
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相
等）.
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内
角互补).
要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一
部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平
行线的性质．
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角
相等）.
3
2
1
c
b
a
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁
内角互补).
因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），
又∠3+∠1=180°（补角的定义），
所以∠2+∠1=180°.
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要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产
和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
要点三、平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关
系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4 的度数吗?
为
什么．
【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，
∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2 或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、
∠3、∠4 的度数．
【答案与解析】
解：∵ DE∥BC，
∴ ∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．
∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．
又∵ DF∥AB(已知)，
∴ ∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∴ ∠3＝115°(等量代换)．
【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．
举一反三：
【变式】如图，已知
，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .
【答案】48°，132°，48°
2. (2012•犍为县模拟）如图，一条铁路修到一个村子边
时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A 是105 度，第二次
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拐的角∠B 是135 度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
那么∠C 应为多少度？
【思路点拨】过点B 作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角
互补”解答．
【答案与解析】
解：过点B 作直线BE∥CD．
∵CD∥AF，
∴BE∥CD∥AF．
∴∠A=∠ABE=105°．
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
又∵BF∥CD，
∴∠CBE+∠C=180°．
∴∠C=150°．
【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．
3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．
求证：∠B+∠D=180°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明
∠B+∠D=180°．
【答案与解析】
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．
∵BE∥FD（已知），
∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B+∠D=180°（等量代换）．
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【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相
等．
举一反三
【变式】如图，AB∥CD，CE 平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2 的度数．
【答案】
解：∵CE 平分∠ACD，∠1=25°，
∴∠ECD=∠1=25°，
∵AB∥CD，
∴∠ECD+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠ECD=155°．
4. 已知AB∥CD，FE⊥AB 交AB 于G 点，∠GEH=138°，求∠EHD 的度数．
【思路点拨】过点E 作EP∥AB，可得∠FEP=∠FGB=90°，由已知∠GEH=138°，可得到∠PEH 的
度数，再根据EP∥CD，同旁内角互补，即可求∠EHD 的度数．
【答案与解析】
解：如图，过点E 作EP∥AB，
而AB∥CD，则EP∥CD，
∴∠FEP=∠FGB，
∵EF⊥AB，
∴∠FGB=90°，
∵∠GEH=138°，
∴∠PEH=138°-90°=48°
∵EP∥CD，
∴∠EHD=180°-∠PEH=132°．
【总结升华】本题主要考查平行线的性质，涉及到垂直的定义，解题关键是作出辅助线．
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5. 如图
是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成
证明．
已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．
（1）求证：∠A=∠B；
（2）若∠DOB=135°，求∠A 的度数．
【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．
（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．
【答案与解析】
解：（1）∵BC∥AD，
∴∠B=∠DOE，
又∵BE∥AF，
∴∠DOE=∠A，
∴∠A=∠B．
（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°
又∠DOB=135°，
∴∠A=45°．
【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能
力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．
举一反三
【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP 是∠BAF 的平分线，求∠PAC 的
度数．
【答案】
解：∵BD∥AF，∠ABD=60°，
∴∠BAF=∠ABD=60°，
∵AP 平分∠BAF，
∴∠PAF=
∠BAF=30°，
又∵AF∥CE，∠ACE=36°，
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∴∠CAF=∠ACE=36°．
∴∠PAC=∠PAF+∠CAF=30°+36°=66°．
类型二、平行的性质与判定综合应用
6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )
A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】C
【解析】过点C 作CD∥AB，
∵ CD∥AB，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∵ EF∥AB
∴ EF∥CD．
∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°
【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”
可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF＝360°．
举一反三：
【变式】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB 与EF 的位置关系 ．
【答案】平行
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