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特殊的平行四边形
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1、能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；
2、运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；
3、通过学生进行推理过程的活动，培养学生抽象概况、合理推理以及严谨的思考、学习习惯．
1．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平
行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四
边形．
3．矩形的判定
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（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对
角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
4．矩形的性质
（1）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是____；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线____；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的
直线；对称中心是两条对角线的交点．
（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的
___．
5．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= ab．（a、b 是两条对角线的长度）
6．菱形的判定
（1）四条边都_____的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD 是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 是菱形
7．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
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④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有
四条对称轴．
8．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或2 进行判定．
9．等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩
形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性
质．
10．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加
辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
1. 菱形的性质；平行四边形的性质．
【例1】（2014•泸州第一中学期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
练1. （2014•吕梁孝义中学月考）如图，菱形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，若∠BCO=55°，则
∠ADO= °．
练2. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，过点O 作EF⊥AC 交BC 于点E，交AD 于点
F，连接AE、CF．则四边形AECF 是（ ）
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A．梯形
B．矩形 C．菱形
D．正方形
2. 菱形的性质；坐标与图形性质．
【例2】（2014•武汉华中师大附中月考）如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为
（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C 的坐标为 ．
练3. 菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角
线OC 上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．
3. 矩形的性质；菱形的判定．
【例3】（2014•新疆石河子中学一模）如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 中点，连接
AF，BE，CE，DF 分别交于点M，N，四边形EMFN 是（ ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．无法确定
练4. 下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
练5. 如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF 与BE 交于
G，DF 与CE 交于H．求证：四边形EGFH 为菱形．
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4．正方形的判定；矩形的性质．
【例4】（2014•山东淄博一中期末）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小
明把矩形上的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 与AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是
一个大的正方形，他判定的方法是 ．
练6. 下列说法中，错误的是（ ）
A．菱形的四条边都相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．等腰梯形的对角线相等
5．直角梯形；平行四边形的性质；等腰梯形的性质．
【例5】（2014 秋•张家港市校级期末）如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=24cm，
AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 点开始
沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动．P，Q 分别从A，C 同时出发，当其中一点到端点时，另
一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？
等腰梯形？
练7．已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D、C 不重
合），点E、F、G 分别是线段BC、PC、BP 的中点．
（1）试探索四边形EFPG 的形状，并说明理由；
（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形并加以证明．
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB 等于（ ）
6
A．10 B．
C．6
D．5
3．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G、H 在对角线AC 上．
若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
4．菱形ABCD 的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC 为边作正方形ACEF，则BF 长为 ．
5．如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别是边AB，AD 的中点．
（1）请判断△OEF 的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF 的长．
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1．已知▱ABCD，对角线AC，BD 相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，
你添加的条件是 ．
2．在▱ABCD 中，点E、F 分别在AB、CD 上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF 为菱形．
3．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD 是菱形．
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4．如图，在平行四边形ABCD 中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC 的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线交AD 于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC 于点F，连接EF．求证：
四边形ABFE 为菱形．
5．如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD 交BC 于点G，点E、F 分别为AG、CD 的
中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；
（2）当点G 是BC 的中点时，求证：四边形DEGF 是菱形．
6．如图，在四边形ABFC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D，交AB 于点E，且
CF=AE，
（1）求证：四边形BECF 是菱形；
（2）若四边形BECF 为正方形，求∠A 的度数．
7．如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF 与BE 交于G，DF
与CE 交于H．求证：四边形EGFH 为菱形．
8．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A、B 重合的一个动点，延长BP 到点C，使
PC=PB，D 是AC 的中点，连接PD、PO．
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（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD 的最大面积为 ；
②连接OD，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形．
课程顾问签字： 教学主管签字：
