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菱形
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1、掌握菱形的概念判定与性质，理解菱形与平行四边形的之间的联系；
2、会用菱形的性质解决简单的证明和计算问题；
3、从菱形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点．
1．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= ab．（a、b 是两条对角线的长度）
2．菱形的判定
（1）四条边都_____的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD 是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 是菱形
3．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线_____且_____其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距
2
离相等．
4．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 ．
（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜
边
的直角三角形．
该定理可一用来判定直角三角形．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定____斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2 及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的任意
一
条直角边．
6．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线_______第三边，并且等于第三边的_____．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E 分别是AB、AC 的中点
∴DE∥BC，DE= BC．
7．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
8．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平
行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
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符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四
边形．
1. 菱形的性质．
【例1】（2014•北京房山中学期末）边长为3cm 的菱形的周长是（ ）
A．6cm
B．9cm
C．12cm D．15cm
练1. 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD 的长是（ ）
A．1
B．
C．2
D．2
练2. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC 于点E，则DE 的长为（ ）
A．2.4 B．3.6
C．4.8 D．6
2. 菱形的性质；勾股定理．
【例2】（2014•太原杏花岭中学月考检测）在菱形ABCD 中，若对角线的长AC=8cm，BD=6cm，则边
长
AB=
cm．
练3. 如图，在菱形ABCD 中，AB=10，AC=12，则它的面积是 ．
3. 菱形的性质；平行四边形的判定与性质．
【例3】（2014•吕梁孝义中学月考）如图，菱形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，若∠BCO=55°，则
∠ADO= °．
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练4. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是BC、BA 的中点，连接DE，F 在DE 延长线上，且
AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；
（2）若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数．
4．菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【例4】（2014•山西朔州一中期末）如图，在菱形ABCD 中，M，N 分别在AB，CD 上，且AM=CN，MN
与AC 交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC 的度数为（ ）
A．28° B．52°
C．62°
D．72°
练5. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，MN 过点O 且与边AD、BC 分别交于点M 和
点N．
（1）请你判断OM 和ON 的数量关系，并说明理由；
（2）过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于点E，当AB=6，AC=8 时，求△BDE 的周长．
5．菱形的性质；线段垂直平分线的性质．
【例5】（2014•河南平顶山一中月考）如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于
点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB 等于（ ）
A．100°
B．104° C．105° D．110°
练6．如图，菱形ABCD 的周长为12cm，BC 的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD 的长是 cm．
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1．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，
则∠CDF 等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 与BD 相交于点O，添加一个条件： ，可使
它成为菱形．
3．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O，AB=8，E 是CB 的中点，则OE 的长等于 ．
4．若菱形的两条对角线分别为2 和3，则此菱形的面积是 ．
5．如图，边长为1 的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC 为边作第二个菱形ACEF，
使∠FAC=60°．连结AE，再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱
形的边长是 ．
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6．如图，菱形ABCD 的周长为8
，对角线AC 和BD 相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO=
，菱形ABCD 的面积S= ．
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1．如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=1，延长AD 到点E，使DE=AD，延长CD 到点F，使
DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（ ）
A．四边形ACEF 是平行四边形，它的周长是4
B．四边形ACEF 是矩形，它的周长是2+2
C．四边形ACEF 是平行四边形，它的周长是4
D．四边形ACEF 是矩形，它的周长是4+4
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=
．
3．若菱形的周长为20cm，则它的边长是 cm．
4．如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD 的周长为 ．
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，
0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是 ．
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6．如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，AF∥CD 交CE 于点F，FG∥AC 交CD 于点G．求证：四边
形ACGF 是菱形．
7．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E，F 为对角线AC 上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC 平
分∠BAD．
求证：四边形ABCD 为菱形．
8．如图，AB∥CD，点E，F 分别在AB，CD 上，连接EF，∠AEF、∠CFE 的平分线交于点G，∠BEF、
∠DFE 的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH 是矩形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作MN∥EF，分别交AB，CD 于点M，N，过H
作PQ∥EF，分别交AB，CD 于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在
下列框中补全他的证明思路．
9．如图，已知△ABC，直线PQ 垂直平分AC，与边AB 交于E，连接CE，过点C 作CF 平行于BA 交PQ
于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF 是菱形．
（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF 的面积是多少？
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10．如图，已知BD 平分∠ABF，且交AE 于点D，
（1）求作：∠BAE 的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AP 交BD 于点O，交BF 于点C，连接CD，当AC⊥BD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．
11．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O，AB=5，AO=4，求BD 的长．
课程顾问签字： 教学主管签字：
