文档文本内容
1
菱形
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1、掌握菱形的概念判定与性质，理解菱形与平行四边形的之间的联系；
2、会用菱形的性质解决简单的证明和计算问题；
3、从菱形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点．
1．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= ab．（a、b 是两条对角线的长度）
2．菱形的判定
（1）四条边都_____的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD 是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 是菱形
3．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线_____且_____其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距
2
离相等．
4．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 ．
（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜
边
的直角三角形．
该定理可一用来判定直角三角形．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定____斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的任意
一
条直角边．
6．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线_______第三边，并且等于第三边的_____．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E 分别是AB、AC 的中点
∴DE∥BC，DE= BC．
7．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
8．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC
∴四边行ABCD 是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB=DC，AD=BC
∴四边行ABCD 是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
3
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC
∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB
∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言：∵OA=OC，OB=OD
∴四边行ABCD 是平行四边形．
参考答案：
1.（2）④2
2.（1）相等
3.（2）①垂直且平分
4.（1）一半
5.（1）等于
6.（1）平行于 一半
1. 菱形的性质．
【例1】（2014•北京房山中学期末）边长为3cm 的菱形的周长是（ ）
A．6cm
B．9cm
C．12cm D．15cm
【解析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．
解：∵菱形的各边长相等，
∴边长为3cm 的菱形的周长是：3×4=12（cm）．
故选：C．
练1. 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD 的长是（ ）
A．1
B．
C．2
D．2
【解析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB 是等边三角形，进而得出BD 的长．
解：∵菱形ABCD 的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB 是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD 的长是2．
故选：C．
练2. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC 于点E，则DE 的长为（ ）
4
A．2.4 B．3.6
C．4.8 D．6
【解析】首先根据已知可求得OA，OD 的长，再根据勾股定理即可求得BC 的长，再由菱形的面积等
于底乘以高也等于两对角线的乘积，根据此不难求得DE 的长．
解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8，DB=6，
∴BC=
=5，
∵S 菱形ABCD= AC×BD=BC×DE，
∴×8×6=5×DE，
∴DE=
=4.8，
故选C．
2. 菱形的性质；勾股定理．
【例2】（2014•太原杏花岭中学月考检测）在菱形ABCD 中，若对角线的长AC=8cm，BD=6cm，则边
长
AB=
cm．
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线一半的长度，然后利用勾股定理列式计算即可
得解．
解：如图，∵菱形ABCD 中，对角线长AC=8cm，BD=6cm，
∴AO= AC=4cm，BO= BD=3cm，
∵菱形的对角线互相垂直，
∴在Rt△AOB 中，AB=
=
=5cm．
故答案为：5．
练3. 如图，在菱形ABCD 中，AB=10，AC=12，则它的面积是 ．
【解析】首先根据勾股定理可求出BO 的长，进而求出BD 的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积
的一半列式计算即可得解．
解：∵四边形ABCD 是菱形，
5
∴AC⊥BD，
∵AC=12，
∴AO=6，
∵AB=10，
∴BO=
=8，
∴BD=16，
∴菱形的面积S= AC•BD= ×16×12=96．
故答案为：96．
3. 菱形的性质；平行四边形的判定与性质．
【例3】（2014•吕梁孝义中学月考）如图，菱形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，若∠BCO=55°，则
∠ADO= °．
【解析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AD∥BC，求出∠CBO，根据平行线的性质求出∠ADO 即可．
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠BCO=55°，
∴∠CBO=90°﹣55°=35°，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO=35°，
故答案为：35°．
练4. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是BC、BA 的中点，连接DE，F 在DE 延长线上，且
AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；
（2）若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数．
【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE，从而得到AF=CE，再
根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2，根据等边对等角可得然后∠F=∠3，然
后求出∠2=∠F，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平
行且相等的四边形是平行四边形证明；
6
（2）根据菱形的四条边都相等可得AC=CE，然后求出AC=CE=AE，从而得到△AEC 是等边三
角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE=60°，然后根据直角三角形
两锐角互余解答．
（1）证明：∵∠ACB=90°，E 是BA 的中点，
∴CE=AE=BE，
∵AF=AE，
∴AF=CE，
在△BEC 中，∵BE=CE 且D 是BC 的中点，
∴ED 是等腰△BEC 底边上的中线，
∴ED 也是等腰△BEC 的顶角平分线，
∴∠1=∠2，
∵AF=AE，
∴∠F=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE=AF，
∴四边形ACEF 是平行四边形；
（2） 解： ∵四边形ACEF 是菱形，
∴AC=CE，
由（1）知，AE=CE，
∴AC=CE=AE，
∴△AEC 是等边三角形，
∴∠CAE=60°，
在Rt△ABC 中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．
4．菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【例4】（2014•山西朔州一中期末）如图，在菱形ABCD 中，M，N 分别在AB，CD 上，且AM=CN，MN
与AC 交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC 的度数为（ ）
A．28° B．52°
C．62°
D．72°
【解析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA 可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得
BO⊥AC，继而可求得∠OBC 的度数．
解：∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO 和△CNO 中，
7
∵
，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°﹣28°=62°．
故选：C．
练5. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，MN 过点O 且与边AD、BC 分别交于点M 和
点N．
（1）请你判断OM 和ON 的数量关系，并说明理由；
（2）过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于点E，当AB=6，AC=8 时，求△BDE 的周长．
【解析】（1）根据四边形ABCD 是菱形，判断出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．
（2）首先根据四边形ABCD 是菱形，判断出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，进而求出BO、BD 的值是
多少；然后根据DE∥AC，AD∥CE，判断出四边形ACED 是平行四边形，求出
DE=AC=6，即可求出△BDE 的周长是多少．
解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴
，
∴OM=ON．
（2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6，
∴BO=
=2
，
∴
，
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四边形ACED 是平行四边形，
∴DE=AC=6，
∴△BDE 的周长是：
BD+DE+BE
=BD+AC+（BC+CE）
=4
+8+（6+6）
=20
即△BDE 的周长是20
．
5．菱形的性质；线段垂直平分线的性质．
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【例5】（2014•河南平顶山一中月考）如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于
点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB 等于（ ）
A．100°
B．104° C．105° D．110°
【解析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用
三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．
解：连接BD，BF，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵EF 垂直平分AB，AC 垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=24°，
∴3∠DAC+24°=180°，则∠DAC=52°，
∴∠DAB=2∠DAC=104°．
故选：B．
练6．如图，菱形ABCD 的周长为12cm，BC 的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD 的长是 cm．
【解析】首先连接AC，由BC 的垂直平分线EF 经过点A，根据线段垂直平分线的性质，可得AC 的长，
由菱形的性质，可求得AC=AB=3，然后由勾股定理，求得OB 的长，继而求得答案．
解：连接AC，
∵菱形ABCD 的周长为12cm，
∴AB=3，AC⊥BD，
∵BC 的垂直平分线EF 经过点A，
∴AC=AB=3，
∴OA= AC= ，
9
∴OB=
=
，
∴BD=2OB=3
cm．
故答案为：3
．
1．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，
则∠CDF 等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 与BD 相交于点O，添加一个条件： ，可使
它成为菱形．
3．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O，AB=8，E 是CB 的中点，则OE 的长等于 ．
4．若菱形的两条对角线分别为2 和3，则此菱形的面积是 ．
5．如图，边长为1 的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC 为边作第二个菱形ACEF，
使∠FAC=60°．连结AE，再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱
形的边长是 ．
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6．如图，菱形ABCD 的周长为8
，对角线AC 和BD 相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO=
，菱形ABCD 的面积S= ．
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1．如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=1，延长AD 到点E，使DE=AD，延长CD 到点F，使
DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（ ）
A．四边形ACEF 是平行四边形，它的周长是4
B．四边形ACEF 是矩形，它的周长是2+2
C．四边形ACEF 是平行四边形，它的周长是4
D．四边形ACEF 是矩形，它的周长是4+4
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=
．
3．若菱形的周长为20cm，则它的边长是 cm．
4．如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD 的周长为 ．
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5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，
0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是 ．
6．如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，AF∥CD 交CE 于点F，FG∥AC 交CD 于点G．求证：四边
形ACGF 是菱形．
7．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E，F 为对角线AC 上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC 平
分∠BAD．
求证：四边形ABCD 为菱形．
8．如图，AB∥CD，点E，F 分别在AB，CD 上，连接EF，∠AEF、∠CFE 的平分线交于点G，∠BEF、
∠DFE 的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH 是矩形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作MN∥EF，分别交AB，CD 于点M，N，过H
作PQ∥EF，分别交AB，CD 于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在
下列框中补全他的证明思路．
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9．如图，已知△ABC，直线PQ 垂直平分AC，与边AB 交于E，连接CE，过点C 作CF 平行于BA 交PQ
于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF 是菱形．
（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF 的面积是多少？
10．如图，已知BD 平分∠ABF，且交AE 于点D，
（1）求作：∠BAE 的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AP 交BD 于点O，交BF 于点C，连接CD，当AC⊥BD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．
11．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O，AB=5，AO=4，求BD 的长．
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参考答案：
当堂检测
1.
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得
BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边
角边”证明△BCF 和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．
【解答】解：如图，连接BF，
在菱形ABCD 中，∠BAC= ∠BAD= ×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，
∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，
∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，
∵在△BCF 和△DCF 中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°．
故选：B．
2．
【考点】菱形的判定．菁优网版权所有
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对
角线互相垂直平分的四边形是菱形，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴当AB=BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，
当AC⊥BD 时，平行四边形ABCD 是菱形．
故答案为：AB=BC 或AC⊥BD 等．
3．
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE= AB，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴DO=OB，
∵E 是BC 的中点，
14
∴OE= AB，
∵AB=8，
∴OE=4．
故答案为4．
4．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．
【解答】解：由题意，知：S 菱形= ×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊
性，菱形面积= ×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．
5．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接DB 于AC 相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG 的长，从而可发现
规律根据规律不难求得第n 个菱形的边长．
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB 是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM= ，
∴AM=
，
∴AC=
，
同理可得AE=
AC=（
）2，AG=
AE=3
=（
）3，
按此规律所作的第n 个菱形的边长为（
）n﹣1，
故答案为（
）n﹣1．
【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．
6．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
15
【分析】由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC：BD=1：2，所以AO：BO=1：2，再
根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，
∴AC=2AO，BD=2BO，
∴AO：BO=1：2；
∵菱形ABCD 的周长为8
，
∴AB=2
，
∵AO：BO=1：2，
∴AO=2，BO=4，
∴菱形ABCD 的面积S=
=16，
故答案为：1：2，16．
家庭作业
1．
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可．
【解答】解：∵DE=AD，DF=CD，
∴四边形ACEF 是平行四边形，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD=CD，
∴AE=CF，
∴四边形ACEF 是矩形，
∵△ACD 是等边三角形，
∴AC=1，
∴EF=AC=1，
过点D 作DG⊥AF 于点G，则AG=FG=AD×cos30°=
，
∴AF=CE=2AG=
，
∴四边形ACEF 的周长为：AC+CE+EF+AF=1+
+1+
=2+2
，
故选B．
2．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
16
【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，再在Rt△OBC 中利用勾股定
理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，
在Rt△OBC 中，∵OB=3，OC=4，
∴BC=
=5，
∵OE⊥BC，
∴OE•BC= OB•OC，
∴OE=
=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．
3．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】由菱形ABCD 的周长为20cm，根据菱形的四条边都相等，即可求得其边长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵菱形ABCD 的周长为20cm，
∴边长为：20÷4=5（cm）．
故答案为：5．
4．
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质可得：AB=AD，然后根据∠A=60°，可得三角形ABD 为等边三角形，继而
可得出边长以及周长．
【解答】解：∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∵BD=7，
∴AB=BD=7，
∴菱形ABCD 的周长=4×7=28．
故答案为：28．
5．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO 的长，进而求出C 点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD 的顶点A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y 轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C 的坐标是：（5，4）．
17
故答案为：（5，4）．
6．
【考点】菱形的判定．
【分析】首先根据平行线的性质得到∠2=∠3，从而根据角平分线的性质得到∠1=∠3，得到
AF=AC，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形证得结论．
【解答】证明：∵AF∥CD，FG∥AC，
∴四边形ACGF 是平行四边形，∠2=∠3，
∵CE 平分∠ACD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AC=AF，
∴四边形ACGF 是菱形．
7．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】首先证得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，从而得到四边形ABCD 是平行四边形，然后证得
AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠CFD，
在△AEB 和△CFD 中，
，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD 是菱形．
8．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出
∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH 是矩形；
18
（2）利用菱形的判定方法首先得出要证▱MNQP 是菱形，只要证MN=NQ，再证∠MGE=∠QFH 得
出即可．
【解答】（1）证明：∵EH 平分∠BEF，
∴∠FEH= ∠BEF，
∵FH 平分∠DFE，
∴∠EFH= ∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠FEH+∠EFH= （∠BEF+∠DFE）= ×180°=90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，
∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，
同理可得：∠EGF=90°，
∵EG 平分∠AEF，
∴∠GEF= ∠AEF，
∵EH 平分∠BEF，
∴∠FEH= ∠BEF，
∵点A、E、B 在同一条直线上，
∴∠AEB=180°，
即∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠FEG+∠FEH= （∠AEF+∠BEF）= ×180°=90°，
即∠GEH=90°，
∴四边形EGFH 是矩形；
（2）解：答案不唯一：
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP 是平行四边形，
要证▱MNQP 是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG 平分∠CFE，MN∥EF，
故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FQH．
故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．
9．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB
得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA 证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从
而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF 为菱形．
19
【解答】解：（1）由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB，
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED 与△CFD 中，
，
∴△AED≌△CFD；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF 为线段AC 的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF 为菱形．
（3）∵AD=3，AE=5，
∴根据勾股定理得：ED=4，
∴EF=8，AC=6，
∴S 菱形AECF=8×6÷2=24，
∴菱形AECF 的面积是24
【点评】本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得
到直线的垂直平分线．
10．
【考点】菱形的判定；作图—基本作图．菁优网版权所有
【分析】（1）根据角平分线的作法作出∠BAE 的平分线AP 即可；
（2）根据ASA 证明△ABO≌△CBO，得出AO=CO，AB=CB，再根据ASA 证明△ABO≌△ADO，得
出BO=DO．由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形
是菱形即可证明四边形ABCD 是菱形．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图：
在△ABO 和△CBO 中，
20
，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴AO=CO，AB=CB．
在△ABO 和△ADO 中，
，
∴△ABO≌△ADO（ASA），
∴BO=DO．
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB=CB，
∴平行四边形ABCD 是菱形．
【点评】此题主要考查了角平分线的作法以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱
形的判定是解题关键．
11．
【考点】菱形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO 的长，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O，
∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4，
∴BO=
=3，
∴BD=2BO=2×3=6．
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