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平行与垂直（不分层）知识讲解
责编:杜少波
【学习目标】
1. 理解“互相平行”“互相垂直”的概念；
2. 通过自主探究，深刻理解平行与垂直的两个基本事实，并能灵活运用；
3. 熟练地过一点画出一条直线的垂线或平行线，并会度量点到直线距离.
【要点梳理】
要点一、平行
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如下图，两条直线互相平
行，记作AB∥CD 或a∥b.
要点诠释：
（1）同一平面内的两条直线的位置:平行与相交.
（2）互相平行的两条直线永远没有公共点，两条相交直线有且只有一个公共点.
（3）互相重合的直线通常看做一条直线.
（4）两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
2.平行线的做法：
小学用直尺和三角尺画平行线步骤：一放、二靠、三移、四画. 如下图.
3.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
要点诠释：由基本事实可以推出下面的结论成立：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
要点二、垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂
直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂
直，记作
或AB⊥CD 垂直于点O.
要点诠释：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角
板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿
此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的
反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且
只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接
直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中
经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
要点诠释：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段
的长度．
【典型例题】
类型一、平行线
1. 平面上有10 条直线，其中4 条直线交于一点，另有4 条直线互相平行，这10 条直线
最多有几个交点？
【答案与解析】
解：如图，图中共有34 个交点．
【总结升华】10 条直线中有八条直线的位置已经确定，要使10 条直线的交点最多，就要使剩
下的两条直线与前八条直线均相交.
举一反三：
【变式】（2015 春•鞍山期末）下列说法错误的是（ ）
A．无数条直线可交于一点
B．平行于同一直线的两直线平行
C．直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条
D．两条不相交的直线是平行线
【答案】D．
类型二、垂线
2．下列语句中，正确的有 ( ).
①一条直线的垂线只有一条．
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．
③两直线相交，则交点叫垂足．
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】C
【解析】正确的是：②④
【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.
举一反三：
【变式】直线外有一点P，则点P 到直线的距离是( ).
A．点P 到直线的垂线的长度.
B．点P 到直线的垂线段.
C．点P 到直线的垂线段的长度.
D．点P 到直线的垂线.
【答案】C
3.（2015•裕华区模拟）如图，直线AB、CD 相交于点O，OE⊥AB 于点O，OF 平分∠AOE，
∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠AOF=45°
B．∠BOD=∠AOC
C．∠BOD 的余角等于75°30′ D．∠AOD 与∠BOD 互为补角
【思路点拨】根据垂线的定义和角平分线得出A 正确；根据对顶角相等得出B 正确；求出
∠BOD 的余角得出C 不正确；根据邻补角关系得出D 正确．
【答案】C．
【解析】
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵OF 平分∠AOE，
∴∠AOF= ∠AOE=45°，
∴A 正确；
夜∠BOD 和∠AOC 是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC，
∴B 正确；
∵∠BOD 的余角=90°﹣15°30′=74°30′，
∴C 不正确；
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD 和∠BOD 互为补角，
∴D 正确；
故选：C．
【总结升华】本题考查了垂线、余角以及对顶角、邻补角的定义；熟练掌握角的互余和互补关
系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图, 直线AB 和CD 交于O 点, OD 平分∠BOF, OE ⊥CD 于点O, ∠AOC=40°,
则∠EOF=_______.
【答案】130°．
【变式2】如图，若OM 平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON 平分∠BOC.
【答案】
证明：如图，
∵OM 平分∠AOB ∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2
由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON 平分∠BOC
4.（2016 春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人
乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（ ）
A．A 点B．B 点
C．C 点
D．D 点
【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．
【答案】A
【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A 处，故选：A．
【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂
线段最短．
举一反三：
【变式1】在同一平面内，
(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线上一点A 画的垂线，这样的垂线能画出几条?
(3)经过直线外一点B 画的垂线，这样的垂线能画出几条?
【答案】
解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．
【变式2】点P 为直线外一点：点A、B、C 为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则
点P 到直线的距离是 ( ) ．
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D.
