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平行四边形的判定
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1、理解平行四边形的判定
2、能运用判定方法来证明平行四边形
1.平行四边形的判定方法有：
从边的条件有： ①两组对边__________的四边形是平行四边形；
②两组对边__________的四边形是平行四边形；
③一组对边__________的四边形是平行四边形．
从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．
从角的条件有： ⑤两组对角______的四边形是平行四边形．
注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)
2.易混点：平行四边形的性质和平行四边形的判定的区别.
平行四边形的性质：
①平行四边形的两组对边分别______
②平行四边形的两组对边分别______.
③平行四边形的两组对角分别______.
平行四边形的两条对角线互相_____.
3．注意：平行四边形的定义可以作为判定使用.
参考答案：
1.①分别平行；
②分别相等；
③平行且相等；
④互相平分；
⑤分别相等；不一定；
2.①平行 ②相等 ③相等 ④平分.
2
1、熟练掌握平行四边形的判定定理，然后再判断平行四边形.
【例1】（2015 年杭州春蕾中学期中）下列命题中，正确的是( )．
A、有一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.
B、一组对边平行，一组对角平行的四边形是平行四边形.
C、对角线互相垂直的平行四边形是矩形.
D、两条对角线互相垂直且平分一组对角的平行四边形是正方形.
解析：A、有一条对角线平分一条对角线的四边形是平行四边形说法错误.
B、一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形.
C、对角线互相垂直的四边形是正方形.
D、两条对角线互相垂直且平分一组对角的平行四边形是菱形.
总结：本题考查平行四边形、矩形、正方的判定,关键是掌握它们的定理.
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得A 是错误的.根据两组对角线分别相等的四
边形是平行四边形可得B 是正确的.根据对角线相等的平行四边形是矩形可得C 错误.根据两
条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可得D 错误.
练1.（2014 年东城区月考）已知：四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，如果只给出条件
“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；
②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；
③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．
其中正确的说法是( )．
A、①② B、①③④ C、②③ D、②③④
答案： C
练2.如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD 是平行四边形．
证明：∵多边形ABCD 是四边形，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．
∴AD∥BC，AB∥DC．
∴四边形ABCD 是平行四边形．
练3.如图，在四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD 是平行四
边形．
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB．
D
A
B
C
3
∴∠OAD=∠OCB．
∴AD∥BC．
同理AB∥DC．
∴四边形ABCD 是平行四边形．
2．根据图像练习平行四边形的判定
【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，线段AC 和BD 交于点O,下面选项不能得出四边形ABCD 是平
行四边形的是（ ）
解
析：
A 能推出四边形ABCD 是平行四边形,故本选项错误.
B 能推出四边形ABCD 是平行四边形,故本选项错误.
C 能推出四边形ABCD 是平行四边形,故本选项错误.
D 不能推出四边形ABCD 是平行四边形,故本选项正确.
总
结：
本题考查的是平行四边形判定的应用,能熟记平行四边形的判定定理是此题的关键,难
度适中．
练4.如图,杨伯家小院子的四棵小树E,F,G,H 刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上,若在四边形
EFGH 内种上小草,试判断四边形EFGH 这块草地的形状（ ）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
解答：解：连接AC，BD
利用三角形中位线定理可得EH∥FG ,EH=FG．
∴这块草坪围成的是平行四边形.
故选A
总结：考查的知识点是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
练5.（2014 年江南实验中学期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=BC，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为
E、F,AE=CF，求证四边形ABCD 是平行四边形。
4
解答：证明：
∵AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AED＝∠CFB＝90
∵BF＝BE+EF,DE＝DF+EF,BE＝DF
∴BF＝DE
∵AD＝BC
∴△AED≌△CFB （HL）
∴∠ADB＝∠CBD
∴AD∥BC
∴平行四边形ABCD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
练6.已知：如图,在 ABCD 中，在对角线AC 的延长线和反 向延长线上，截取CF=AE，连结BF，
FD，DE，EB.求证：四边形EBFD 是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形(已知)
∴AB∥CD,AB=CD
(平行四边形的对边互相平行且相等)
∴∠1=∠2 (两直线平行,内错角相等)
∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°
∴ ∠3=∠4(等角的补角相等)
在△ABE 和△CDF 中
AE=CF(已知)
∠3=∠4(已证)
AB=CD(已证)
∴△ABE≌△CDF(S.A.S)
∴BE=DF, ∠AEB=∠CFD
(全等三角形的对应边相等,对应角相等)
∴ BE ∥ DF
∴四边形EBFD 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
练7.已知：如图,在 ABCD 中，分别在对角线AC 的延长线和反向延长线上，截取CF=AE，连结
BF，FD，DE，EB.求证：四边形EBFD 是平行四边形。
A
B
C
D
F
E
5
证明：连结BD，与AC 交于O 点，
∵四边形ABCD 是平行四边形（已知）
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）
又∵AE=CF（已知）
∴OA+AE=OC+CF
∴OE=OF
又∵OB=OD
∴四边形EBFD 是平行四边形
（两条对角线互相平分的四边形是平行四边形）
3.在平面直角坐标系中判断平行四边形
【例3】(2015 年临沭县中学期中)如图在平面直角坐标系中，点A（-1,0）B（2,0）C（0,1）为顶
点构造平行四边形,下列各点中不能做平行四边形顶点坐标的是（）
A(3，1) B(-4，1) C(1，-1) D(-3，1)
解
析：
如图所示
以AC 为对角线，可画出平行四边形AFCB,F（-3,1）.
以AB 为对角线，可画出平行四边形ACBE,E（1,-1）
以BC 为对角线，可画出平行四边形ACDB,D（3,1）
故选B.
A
B
C
D
F
E
6
4．平行四边形与菱形.
【例4】（2015 年徐州中学月考）如图，A、B、C、D 在同一条直线上，点E、F 分别在直线AD 的两
侧，且AE=DF,∠A=∠D,AB=CD.
（1）求证：四边形BFCE 是平行四边形.
（2）若AD=10，CD=3，∠EBD=60°，则BE=_____时，四边形BFCE 是菱形.
解答：（1）证明∵AB=DC
∴AC=DF
在△AEC 和△DFB 中
AC=DB,∠A=∠D,AE=DF
∴△AEC≌△DFB（SAS）
BF=EC ∠ACF=∠DBF
∴EC∥BF
∴四边形BFCE 是平行四边形
（2）当时，BE=CE
AD=10，CD=3 AB=CD=3
BC=10-3-3=4
∵∠EBD=60°
∴BE=BC=4
∴当BE=4 时，四边形BFCE 是菱形.
总结：(1)因为AE=DF，∠A=∠D，AB=DC,易证△AEC≌△DFB，即可得BF=EC,∠ACF=∠DBF
且EC∥BF,可判定四边形BFCE 是平行四边形.
(2)当四边形BFCE 是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可求出.
练8.（2015 石家庄中学期中）如图,矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB、CD
的延长线分别交于E、F.
(1)证明:△BOE≌△DOF.
F
E
O
D
C
B
A
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(2)当EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 是菱形,为什么?
答案：(1)∵四边形ABCD 是矩形
∴AB//CD，BO=DO
∴∠E=∠F，∠EBO=∠FDO
∴△BOE≌△DOF
(2)当EF⊥AC 时，四边形AECF 是菱形
∵四边形ABCD 是矩形
∴AO=CO
∵△BOE≌△DOF
∴EO=FO
∴四边形AECF 是平行四边形
∵EF⊥AC
∴四边形AECF 是菱形
练9.已知:如图1-3,在□ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AC⊥BD.求证:□ABCD 是菱形.
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD
∴BD 是线段AC 的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD 是菱形(菱形定义)
练10.已知:如图1-5,四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD 是菱形
证明:∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD 是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形(菱形定义)
5.矩形的判定。
【例5】如图1-15，在△ABC 中，AB=AC，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM
的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形.
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解析：此题目中很容易找到三个直角，所以我们就用最原始的判定定理，四个角
都是直角的四边形是矩形，这样就很方便了。
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，[来源:学|科|网]
∴∠CAD=
1
2 ∠BAC，∠CAN=
1
2 ∠CAM.
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
=
1
2 （∠BAC=∠CAM）
=
1
2 ×180°
=90°.
在△ABC 中，
∵AB=AC，AD 为∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90° .
∴四边形ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
总结：在做矩形的判定题目时，首先应审题，分析清楚里面的条件，然后对应的找出要应用的定理。
这就要求学生灵活的掌握矩形的判定定理，灵活应用。
练11.如图，矩形ABCD 中，AE⊥BD 垂足为E，若∠DAE=3∠BAE，则∠EAC 的度数为（
）
A．67.5°
B．45°
C．22.5°
D．
无法确定
答案： B
练12.如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形
ABOM 的周长为（ ）
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A．17
B．18
C．19
D．20
答案：D
练13.如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E、
F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． 6
B． 3
C． 2
D．1
答案：B
练14.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（
）
A．12
B．10
C．8
D．6
答案：B
练15.如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD 和矩形
AEFC 的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1=S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．3S1=2S2
答案：.A
1.一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．
2．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．
A、已知平行四边形的两邻边
B、已知平行四边形的相邻两角
C、已知平行四边形的两对角线
D、已知平行四边形的一边、一对角线和周长
3．如图，在□ABCD 中，E、F 分别在边BA、DC 的延长线上，已知AE＝CF，P、Q 分别是DE 和FB
的中点，求证：四边形EQFP 是平行四边形．
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4．已知：如图，四边形AEFD 和EBCF 都是平行四边形，则四边形ABCD 是______．
5．如图,在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD.AC、BD 是对角线,将△ABD 沿AB 翻折到△ABE 的位置.试判断
四边形AEBC 的形状?并说明你的结论.
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1．对角线互相垂直平分的四边形是 （ ）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、梯形
2．A、B、C、D 在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD；这四个条件中任
选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ）
A、3 种 B、4 种 C、5 种 D、6 种
3.如图，□ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，点E 是BC 的中点．若
OE=3 cm，则AB 的长为 ( )
A、3 cm B、6 cm C、9 cm
D、12cm
4．如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD 是
______________ ，若AB=8，∠ABC=60
0 ，则AC=______________ ，BD=______________ .
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5．如图，4 个小动物分别站在正方形场地的4 个顶点，它们同时出发并以相同的速度沿场地边缘逆
时针方向跑动．当它们同时停止时，顺次连接4]个动物所在地点围成的图形是什么形状？为什
么？
6.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE//AC，交BC 的延长线于点E，EF⊥AB 于点F，求证：
AD=CF.
参考答案：
当堂检测
1.
答案：平行四边形
2. 答案：（D）
3.
答案：先证四边形EBFD 是平行四边形，再由EP
QF 得证．
4. 答案：(平行四边形)
5.
答案：四边形AEBC 是平行四边形
A
B
C
D
E
F
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∵△ABD 沿AB 翻折得到△ABE
∴△ABD≌△ABE
∴AE=AD，BE=BD
∵四边形ABCD 是等腰梯形
∴AD=BC，AC=BD
∴AE=BC，AC=BE
∴四边形AEBC 是平行四边形
家庭作业
1. 答案：(C)
2.答案：(B)
3.答案：(B)
4.答案：(菱形)
5.答案：矩形
由于速度和时间都相同，所以它们走过的路程相等。
如图， AE=BF=CG=DH
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵AE=BF=CG=DH
∴EB=FC=GD=HA
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴EH=EF=FG=GH
∴四边形EFGH 是菱形
又∵△AEH≌△BFE
∴∠AEH=∠BFE
∵∠BEF+∠BFE=90°
∴∠AEH+∠BEF=90°
∴∠HEF=90°
∴菱形EFGH 是正方形
6.答案：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC
∵DE//AC
∴四边形ACED 是平行四边形
∴AD=CE
∴BC=CE=
1
2 BE
∵EF⊥AB
∴∠BFE=90°
∵CF 是Rt△BFE 斜边上的中线
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∴CF=
1
2 BE
∴AD=CF
课程顾问签字： 教学主管签字：
