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让更多的孩子得到更好的教育
垂径定理—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D， 下列结论：
①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③
AC
BC
；④
AD
BD
；⑤CD⊥AB．
其中正确的有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个
D．5 个
2．下面四个命题中正确的是( )．
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
3．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB，垂足为H，且CD=2 2 ，BD= 3 ，则AB 的长为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
第3 题 第5 题 第6 题
4．⊙O 的半径OA＝1，弦AB、AC 的长分别是
2 、3 ，则∠BAC 的度数为( )．
A．15° B．45° C．75° D．15°或75°
5.（2015•河东区一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D，
交AC 于点E，则
的度数为（ ）
A．25°
B．30°
C．50°
D．65°
6．如图，EF 是⊙O 的直径，AB 是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F 两点到直线AB 的距离之和为（ ）．
A．3cm
B．4cm
C．8cm
D．6cm
二、填空题
7．如图，⊙O 的弦AB 垂直于CD，E 为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O 到CD 的距离是______．
8．如图，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为5，则OP=______．
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7 题图 8 题图 9 题图
9．如图，⊙O 的弦AB 垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O 的半径等于______cm．
10．（2016•南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这
个平面图形的圆面的最小半径是
mm．
11．在图11 中，半圆的直径AB=4cm，O 为圆心，半径OE⊥AB，F 为OE 的中点，CD∥AB，则弦CD 的长为
．
(第12 题)
12．如图，点A、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A，B 不重合）连结AP，
PB，过点O 分别作OE⊥AP 于点E，OF⊥PB 于点F，则EF= .
三、解答题
13. （2016•高安市一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截
面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径．
14．如图所示，C为ACB 的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，
且CE：BE=3：2，求弦AB 的长．
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A
E
O
F
B
P
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15．如图所示，已知O 是∠MPN 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B 和C、D.
⑴求证：PB=PD.
⑵若角的顶点P 在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.
16.（2015•杭州模拟）如图，⊙O 的两条弦AB、CD 交于点E，OE 平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE 的值．
E
O
D
C
B
A
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D．
【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5 个结论都是正确的.
2．【答案】D．
【解析】根据垂径定理及其推论来判断.
3．【答案】B．
【解析】由垂径定理得HD=
2 ，由勾股定理得HB=1，设圆O 的半径为R，在Rt△ODH 中，
则
2
2
2
2
1
R
R
，由此得R= 3
2 ，
所以AB=3.故选 B.
4.【答案】D．
【解析】分弦AB、AC 在圆心的同侧和异侧讨论.
5．【答案】C；
【解析】连接CD，
∵在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠ABC=90°﹣25°=65°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠ABC=65°，
∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴
=50°．故选C．
6．【答案】D．
【解析】E、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2 倍.
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二、填空题
7．【答案】2．
8．【答案】
.
13
9．【答案】
.
13
10.【答案】50．
【解析】解：如图，设圆心为O，
连接AO，CO，
∵直线l 是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40，
∵CM2+OM2=AN2+ON2，
∴302+OM2=402+（70
OM
﹣
）2，
解得：OM=40，
∴OC=
=50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
故答案为：50．
11．【答案】2 3cm .
【解析】连接OC,易求CF= 3. CD=2 3cm .
12.【答案】5.
【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF= 1
5.
2 AB
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）如图：
（2）过圆心O 作半径CO⊥AB，交AB 于点D
设半径为r，则AD=
AB=4，OD=r
2
﹣，
在Rt△AOD 中，r2=42+（r
2
﹣）2，
解得r=5，
答：这个圆形截面的半径是5cm．
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14.【答案与解析】
因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD⊥AB.
由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，
设
,
,
BP
a CP
b
则
2
2
2
2
2
2
2
10
4
6
a
b
a
b
解得
2 10
a
，
2
4 10
AB
a
cm
.
15.【答案与解析】
（1）证明：过O 作OE⊥PB 于E，OF⊥PD 于F.
∵ PO 平分∠MPN
∴ OE=OF，PE=PF
∴ AB=CD，BE=DF
∴ PE+BE=PF+DF
∴ PB=PD
（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.
A A
E E
P O P O
F F
C C
PA=PC PA=PC
16.【答案与解析】
解：（1）过点O 作AB、CD 的垂线，垂足为M、N，如图1，
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图1
N
M
E
O
D
C
B
A
∵OE 平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2 所示，
A
B
C
D
O
E
M
N
图2
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON 与Rt△EOM 中，
∵
，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，
∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE 平分∠BED，
∴∠NEO=
BED=30°，
∴ON= OE=1，
在Rt△EON 中，由勾股定理得：
NE=
=
，
∴DE﹣AE=2NE=2
．
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