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微考点6-4 利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题
【考点目录】
考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式
考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式
考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为
考点四：双曲线中，焦点三角形的内心
的轨迹方程为
.
考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式
考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式
考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式
【考点分类】
考点一：椭圆焦点三角形的面积为
（
为焦距对应的张角）
证明：设
．
双曲线中焦点三角形的面积为
（
为焦距对应的张角）
【精选例题】
【例1】（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知
为椭圆C：
的两个焦点，P，Q
为C 上关于坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为________．
【例2】设
，
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则△
的面积为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【跟踪训练】
1.设P 为椭圆
上一点，
为左右焦点，若
，则P 点的纵坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
．
是
上一点，且
．若△
的面积为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式
若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且
与
斜率存在时，则
；（焦点在x
轴上时），当焦点在
轴上时，
若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，
（焦点在x 轴上时），当焦点在
轴上时，
下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设
，
，因为AB 过原点，由对称性可知，点
，所以
kPA⋅kPB = y0−y1
x0−x1
⋅y0+ y1
x0+x1
=
y
02−y
12
x
02−x
12 ．又因为点
，
在椭圆上，所以有
{
x
02
a
2 +
y
02
b
2 =1(1)¿¿¿¿
．
两式相减得
y
02−y
12
x
02−x
12
=−b2
a2
，所以kPA⋅kPB =−b2
a2 ．
中点弦问题证明：
设
，
，
则椭圆
两式相减得
．
双曲线中焦点在
轴上为
，焦点在
轴上为
，
【精选例题】
【例1】已知椭圆
的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆于A，B 两点．若AB
的中点坐标为（1，
），则G 的方程为
A．
B．
C．
D．
【例2】过双曲线
：
（
，
）的焦点且斜率不为0 的直线交
于A，
两点，
为
中点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【例3】（多选题）已知椭圆
：
的左、右顶点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
．点
为
上不在坐标轴上的任意一点，且
，
，
，
四条直线的斜率之积大于
，则
的离心率可以是
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练】
1.已知
为双曲线
的右顶点，
为双曲线右支上一点，若点
关于双曲线中心
的对
称点为
，设直线
、
的倾斜角分别为
、
，且
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知A，B，P 是双曲线
（
，
）上不同的三点，且A，B 连线经过坐标原点，若直线
PA，PB 的斜率乘积为
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过左焦点
作斜率为2 的直线与双曲线交于
A，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为
，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．2
C．
D．
考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为
【精选例题】
【例1】若双曲线
的焦点
到其渐近线的距离为
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知
是双曲线
：
的一个焦点，则点
到
的一条渐近线的距离为
A．
B．3 C．
D．
【跟踪训练】
1.已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B
两点．设A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为
和
，且
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线均和圆
：
相切，且双曲线的
右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
5
x
y
C．
2
2
1
3
6
x
y
D．
2
2
1
6
3
x
y
【精选例题】
【例1】已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，离心率为2，焦点到渐近线的距
离为
.过
作直线交双曲线
的右支于
两点，若
分别为
与
的内心，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（多选题）双曲线
的左、右焦点分别
，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限
的交点为
，双曲线和椭圆的离心率分别为
的内切圆的圆心为
，过
作直线
的垂线，垂
足为
，则（ ）
A．
到
轴的距离为
B．点
的轨迹是双曲线
C．若
，则
D．若
，则
【例3】（多选题）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，过
的直线与双曲线的右支交于
两点，记
的内切圆
的面积为
，
的内切圆
的面积为
，则（ ）
A．圆
和圆
外切
B．圆心
在直线
上
C．
D．
的取值范围是
【跟踪训练】
1.已知双曲线方程是
，过
的直线与双曲线右支交于
，
两点（其中
点在第一象限），设
点
、
分别为
、
的内心，则
的范围是______.
2．（多选题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
，焦点到渐
近线的距离为
.过
作直线交双曲线
的右支于
、
两点，若
、
分别为
与
的内心，
则（ ）
A．
的渐近线方程为
B．点
与点
均在同一条定直线上
C．直线
不可能与平行 D．
的取值范围为
考点五：已知具有公共焦点
的椭圆与双曲线的离心率分别为
是它们的一个交点，且
，则有
.
【精选例题】
【例1】已知
，
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲
线离心率倒数之和的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（多选题）已知椭圆
与双曲线
，
有公共焦点
（左焦点），
（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为
，若△
是以
为底边的等腰三角形，
，
的离心率分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练】
1．已知F 是椭圆
：
（
）的右焦点，A 为椭圆
的下顶点，双曲线
：
（
，
）与椭圆
共焦点，若直线
与双曲线
的一条渐近线平行，
，
的离心率分别为
，
，则
的最小值为______．
考点六：设圆锥曲线
的焦点
在
轴上，过点
且斜率为
的直线交曲线
两点，若
，则
．
【精选例题】
【例1】已知椭圆
过焦点
的直线与椭圆C 交于A，B 两点（点A 位于
轴上方），若
，则直线的斜率
的值为 ．
【例2】已知
是双曲线
的右焦点，直线经过点
且与双曲线相交于
两点，
记该双曲线的离心率为，直线的斜率为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知
，
是双曲线
：
的左，右焦点，过点
倾斜角为30°的直线与双
曲线的左，右两支分别交于点
，
.若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【跟踪训练】
1.斜率为
的直线过椭圆
的焦点
，交椭圆于
两点，若
，则该椭
圆的离心率为 ．
2.已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，
，过点
且倾斜角为
的直线与双曲线的左､
右支分别交于点
，
，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七：已知双曲线方程为
)
0
,0
(
1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的右焦点为
，过点
且与渐近线
垂直的
直线分别交两条渐近线于
两点.
情形1.如图1.若
)
1
,0
(
FQ
FP
,则
图1 图2
如图
2.若
，则
【精选例题】
【例1】过双曲线
的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为
，与双曲线的另一条
渐近线交于点
，若
，则此双曲线的离心率为________
【例2】已知双曲线
，
过
的右焦点
作垂直于渐近线的直线交两渐近线于
、
两点
、
两点分别在一、四象限，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练】
1.已知双曲线
的两条渐近线分别为直线
，
，经过右焦点
且垂直于
的直线分
别交
，
于
两点，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
是双曲线
的左右焦点，过
且斜率为1 的直线与两条渐近线分别交于
两
点，若
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
1．已知点
在椭圆
上，
，
是椭圆的左、右焦点，若
，且
的
面积为2，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．椭圆
与直线
交于M，N 两点，连接原点与线段
中点所得直线的斜率为
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线
的离心率为
，焦点到渐近线距离为，则双曲线
实轴长（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，离心率为
，且经过点
在椭圆上，则（ ）
A．
的最大值为3
B．
的周长为4
C．若
，则
的面积为
D．若
，则
5．（多选题）设椭圆的方程为
，斜率为k 的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，
M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB 与OM 垂直
B．若点M 坐标为
，则直线方程为
C．若直线方程为
，则点M 坐标为
D．若直线方程为
，则
6．（多选题）设A，B 是双曲线
上的两点，下列四个点中可以为线段
中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选题）若
是椭圆
与双曲线
在第一象限的交点，
且
，
共焦点
，
，
，
，
的离心率分别为
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
，
B．
C．若
，则
D．若
，则
的最小值为2
8．（多选题）如图，
是椭圆
与双曲线
在第一象限的
交点，且
共焦点
的离心率分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
的最小值为2
D．
9．己知椭圆
的焦点分别为
，
，设直线与椭圆
交于
，
两点，且点
为线段
的中点，则直线的方程为 ．
10．已知点
是离心率为
的双曲线
上的三点, 直线
的斜率分
别是
点
分别是线段
的中点,
为坐标原点，直线
的斜率分别是
.若
则
