微考点6-5 利用二级结论秒杀抛物线中的选填题
【考点目录】
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
【考点分类】
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为
直线的经过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两点，则
①
.
②
.
③
,
.
【精选例题】
【例1】倾斜角为
的直线经过抛物线
的焦点
，且与抛物线相交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】根据已知条件，先求出直线的方程，联立直线与抛物线方程可得，
，再结合抛物
线的定义，以及韦达定理，即可求解.
【详解】
直线的倾斜角为
，
直线的斜率为1，
抛物线
，
焦点
，
直线的方程为
，
设
，
联立直线与抛物线方程
，化简整理可得，
，
，
由韦达定理可得，
，故
.
故选：D.
【例2】已知
是抛物线
上的两点，且直线
经过
的焦点，若
，则
（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
【答案】C
【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.
【详解】
.
故选：C.
【例3】已知抛物线
，弦
过抛物线的焦点
且满足
，则弦
的中点到
轴的距离为
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】C
【分析】根据
可得
，再根据韦达定理即可求出
的坐标，进而可求解.
【详解】
抛物线的焦点
，
设
，假设
，
显然弦
所在的直线的斜率存在且不等于零，
设弦
所在的直线方程为
，
联立
，消去
可得，
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
所以
，解得
，所以
，
所以
，
所以弦
的中点的坐标为
，
所以弦
的中点
轴的距离为
，
故选:C.
【例4】已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线与抛物线
交于
两点（
在第一
象限），
为坐标原点，若
，则（ ）
A．
B．直线的斜率是
C．线段
的中点到
轴的距离是
D．
的面积是
【答案】ACD
【分析】设直线
，与抛物线方程联立，根据
、韦达定理得出
，再由
求出
可判断A；求出
可得直线的斜率，再由点
在第一象限
可判断B；设线段
的中点为
，根据
求出线段
的中点到
轴的距离可判断
C；利用
求出
的面积可判断D.
【详解】由题意可得直线的斜率不为0，则可设直线
，
联立
整理得
，则
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，则
，即
，解得
，
因为
，
所以
，解得
，则A 正确；
对于B，因为
，所以
，则直线的斜率是
，因为点
在第一象限，
所以直线的斜率大于0，所以直线的斜率是
，则B 错误；
对于C，设线段
的中点为
，则
，即线段
的中点到
轴的距离是
，则C 正
确；
对于D，因为
，所以
，则
的面
积
，故D 正确.
故选：ACD.
【跟踪训练】
1．已知抛物线
的焦点为
，过焦点
的直线交抛物线于两点
，
．若弦长
，
则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为
，
，
，联立方程，利用韦达定理求出
，
再根据抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】由题意，直线的斜率不等于零，
，
设直线的方程为
，
，
，
联立
，消
得
，
恒成立，
则
，
所以
，
解得
，
所以直线的斜率为
.
故答案为：
.
2．在直角坐标系
中，已知抛物线
：
的焦点为
，过点
的倾斜角为
的直线与
相交于
，
两点，且点
在第一象限，
的面积是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结
合
的面积求解
，从而利用焦半径公式求解
，逐项判断即可.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线为
，
设过焦点的直线方程为设直线：
，
，
，
联立直线与抛物线方程得
消元得
，
由韦达定理可得
，
，所以
，
又点
到直线
的距离是
，所以
，得
，所以
，
故选项A 错误，B 正确；
由
知
，解得
，
所以
，故选项C 正确；
，故选项D 正确；
故选：BCD.
3．已知直线l：
过抛物线C：
的焦点F，且与抛物线交于A，B 两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．抛物线C 上的动点到直线
距离的最小值为
【答案】BD
【分析】求得抛物线
的焦点代入直线的方程，求得
，可判定A 错误；联立方程组，根据韦达定理
和抛物线的焦点弦的性质，求得
，可判定B 正确；结合抛物线的定义，求得
的值，可判
定C 错误；设设
是抛物线
上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可
判定D 正确.
【详解】由抛物线
，可得焦点为
，
因为
过抛物线
的焦点
，可得
，解得
，所以A 错误；
联立方程组
，整理得
，
设
，则
，
，
由抛物线的焦点弦的性质，可得
，所以B 正确；
又由
，解得
，
根据抛物线的定义，可得
，
所以
，所以C 错误；
设
是抛物线
上的任意一点，可得
，
则点
到直线
的距离为
，
当
时，
，所以D 正确.
故选：BD.
4．已知直线过抛物线
的焦点
，且与抛物线
交于
两点，点
为
的准线
与
轴的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．过
的焦点的最短弦长为4
C．当
时，直线的倾斜角为
D．存在2 条直线，使得
成立
【答案】AB
【分析】由拋物线的定义,可判定A 正确；根据抛物线的几何性质，可判定B 正确；设直线的方程为
，联立方程组，得到
，结合
时，求得
，可判定C 错误；
分别求得
，结合
，化简代入，得到
恒成立，可判
定D 错误.
【详解】由拋物线的定义可得
，所以A 正确；
当过抛物线
的焦点且与
轴垂直时弦长最短，此时弦长为4，所以B 正确；
设直线的方程为
，联立方程组
，整理得
，
可得
，
当
时，
，则
，
，
解得
，所以倾斜角不是
，所以C 错误；
由
，则
，
，
，
，
由
，则
，可得
，化简可得
，
由
，则
，
将
，
代入，则
恒成立，所以D 错误.
故选：AB.
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线
的焦点为F，
是过
的直线与抛物线的两个交点，求证：
.
②一般地，如果直线恒过定点
与抛物线
交于
两点，那么
.
③若
恒过定点
.
【精选例题】
【例1】已知抛物线
：
的的焦点为
，
、
是抛物线上两点，则下列结论正确
的是（ ）
A．点
的坐标为
B．若直线
过点
，则
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则线段
的中点
到
轴的距离为
【答案】BCD
【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A 错误；直线
与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B 正确；
根据
过焦点可知最小值为通径长，知C 错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得
点
纵坐标，知D 正确.
【详解】抛物线
，即
，
对于A，由抛物线方程知其焦点在
轴上，焦点为
，故A 错误；
对于B，依题意，直线
斜率存在，设其方程为
，
由
，消去
整理得
，
则
，
，
，故B 正确；
对于C，若
，则直线
过焦点，
所以
，
所以当
时，
，
所以
的最小值为
，故C 正确；
对于D，因为
，则
，
即
点纵坐标为
，所以
到
轴的距离为
，故D 正确.
故选：BCD.
【例2】已知抛物线
的焦点为
，过
且倾斜角为
的直线交抛物线于
，
两点（ ）
A．直线的方程为
B．原点到直线的距离为
C．
D．
【答案】ABC
【分析】先求得抛物线的焦点坐标，根据点斜式、点到直线的距离公式、弦长公式、根与系数关系等知识
确定正确答案.
【详解】抛物线
的焦点为
，
所以过
且倾斜角为
的直线的斜率为，
所以直线的方程为
，A 选项正确，
原点到直线的距离为
，B 选项正确.
由
消去
并化简得
，
设
，则
，
所以
，C 选项正确.
，
所以D 选项错误.
故选：ABC
【例3】已知抛物线C：
的焦点为F，点A，B 是抛物线C 上不同两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AB 中点M 的横坐标为3，则
的最大值为8
B．若AB 中点M 的纵坐标为2，则直线AB 的倾斜角为
C．设
，则
的最小值为
D．若
，则直线AB 过定点
【答案】ABD
【分析】对于A：利用A，B，F 三点的位置与
的关系及抛物线的定义求
的最大值；对
于B：利用点A，B 在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A，B 两点纵坐标间的关系；对于C：利
用点A 在抛物线上及两点间的距离公式，将
转化为点A 纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求
的最小值；对于D：设直线AB 的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A，B 纵坐标的一元二次方程，
结合
及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB 方程中的参数，确定直线AB 所过的定点
【详解】设
．
对于选项A：若AB 中点M 的横坐标为3，则
，
可得
，当且仅当A，B，F 三点共线时，等号成立，
所以
的最大值为8，故A 正确；
对于选项B：若AB 中点M 的纵坐标为2，则
，
由题意可知直线AB 的斜率存在，则
，
所以直线AB 的倾斜角为
，故B 正确；
对于选项C：设
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
，故C 错误；
对于选项D：设直线AB 的方程
，
代入抛物线
，得
，
则
，可得
，
因为
，所以
，
因为
，解得
，满足
，
则直线AB 的方程为
，所以直线AB 过定点
，故D 正确．
故选：ABD．
【跟踪训练】
1．过抛物线
（
）焦点F 的直线与抛物线交于
，
两点，则说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义求解判断A；当直线
垂直于
轴时可判断B；联立直线与抛物线方程，结合
韦达定理计算判断CD.
【详解】抛物线
的焦点
，准线为
，
根据抛物线的定义，点
，
到焦点的距离分别等于其到准线的距离，
∴
所以
，故A 正确；
当直线
垂直于
轴时，
不妨设
，故
，故B 错误；
当直线
垂直于
轴时，
不妨设
，故
，所以
.
当直线
不垂直于
轴时，设直线
，
，
联立方程
，可得
，
所以
恒成立，
，
.
综上，
，故C 正确；
当直线
垂直于
轴时，不妨设
，
，
当直线
不垂直于
轴时，
，
综上，
，故D 正确.
故选：ACD.
2．已知点
在抛物线
的准线上，过抛物线
的焦点
作直线交
于
、
两点，则（ ）
A．抛物线
的方程是
B．
C．当
时，
D．
【答案】ABD
【分析】求出
的值，可得出抛物线
的方程，可判断A 选项；设直线的方程为
，将该直线的
方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B 选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出
的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项；计算出直线
、
的斜率之和，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，抛物线
的准线方程为
，
因为点
在抛物线
的准线上，则
，可得
，
所以抛物线
的方程为
，A 对；
对于B 选项，抛物线
的焦点为
，
若直线与
轴重合，此时，直线与抛物线
只有一个公共点，不合乎题意，
所以直线不与
轴重合，设直线的方程为
，
联立
，可得
，
，则
，
所以
，B 对；
对于C 选项，因为
，即
，则
，
因为
，可得
，
则
，则
，
此时，
，C 错；
对于D 选项，
，同理可得
，
所以
，
所以
，D 对.
故选：ABD.
3．已知
是抛物线
上不同于原点
的两点，点
是抛物线
的焦点，下列说法
正确的是（ ）
A．点
的坐标为
B．
C．若
，则直线
经过定点
D．若点
为抛物线
的两条切线，则直线
的方程为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得
，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方
程即可求解D.
【详解】因为拋物线
，故
的坐标为
故A 正确；
由于当直线
过焦点时，由抛物线定义可得
，但直线
不一定过焦点，故B 错误；
若
，故
，即
或
（舍去），
因为直线
，即
，得
，
故直线
经过定点
，故C 正确；
设过点
的切线方程为
，联立
，
所以
，故
或
，所以方程的根为
，
故切线
方程中
分别为
和
，故
，
，
可得直线
，即
，故D 正确.
故选：ACD.
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
①已知
是抛物线
中过焦点
的两条相互垂直的弦，
存在最小值，
且最小值为
.
②已知
是抛物线
中过焦点
的两条相互垂直的弦，则四边形
的面积
的最小值为
.
【精选例题】
【例1】过抛物线C：
的焦点F 作两条互相垂直的直线和
，设直线交抛物线C 于A，B 两点，
直线
交抛物线C 于D，E 两点，则
可能的取值为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
【答案】AB
【分析】由题意可知直线，
的斜率均存在且均不为0，所以不妨设的斜率为k，则：
，
：
，然后将两直线方程分别代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出
，再利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题意可知直线，
的斜率均存在且均不为0．因为抛物线C 的焦点为
，
所以不妨设的斜率为k，则：
，
：
．
由
消去y 得
．设
，
，
则
．
由抛物线的定义，知
．同理可得
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
故选：AB．
【例2】在平面直角坐标系
中，已知动圆
与圆
内切，且与直线
相切，设动圆圆
心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线与曲线
相交于
，
两点和
，
两点，求四边形
的面积
的最小值.
【答案】(1)
；(2)32
【分析】（1）利用圆和圆，圆和直线的位置关系的性质和抛物线的定义即可求解.
（2）设直线
的方程为
，
,联立方程组得
，再利用抛物线的的性质求
，
同理求
，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）设圆
的半径为，圆
的圆心
，半径为1，
因为圆
与圆
内切，且与直线
相切，
所以圆心
到直线
的距离为，因此圆心
到直线
的距离为
，且
，
故圆心
到点
的距离与到直线
的距离相等，
据抛物线的定义，曲线
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，所以曲线
的方程为
.
（2）设直线
的方程为
，
，
，
.
联立方程组
整理得
，故
所以
.
因为
，直线
的方程为
，
同理可得
.
所以
，
当且仅当
，即
时，取等号.
所以四边形
面积的最小值为32.
【跟踪训练】
1．已知F 为抛物线
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线，
，直线与C 交于A，B 两点，直
线
与C 交于D，E 两点，则
的最小值为
【答案】16
【分析】设直线方程，由两直线垂直可得
方程，联立与抛物线方程可得根与系数关系式，利用弦长公
式可得
表达式，同理可得
的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知抛物线
的焦点为
，焦准距
，
过F 作两条互相垂直的直线，
，直线与C 交于A，B 两点，直线
与C 交于D，E 两点，
则，
的斜率都存在且不为0，
故设
，则直线
，设
，
联立
，则
，
，
则
，同理
，
故
，
同理可得
,
故
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故
的最小值为16.
2．已知抛物线
.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n 都经过抛物线
的焦点F，且与抛物线
相交于A，B 两点和C，D 两点，则四边形
面积的最小值为 ．
【答案】32
【详解】
依题意知,直线
的斜率存在且不为0,设直线
的方程为
,
与抛物线方程联立,得
，
消去
,整理得
,设其两根为
,
则
.
由抛物线的定义可知，
,
同理可得
,
四边形
的面积
.
当且仅当
时等号成立,此时所求四边形
面积的最小值为32.
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
设直线与抛物线
相交所得的弦
的中点坐标为
，则
【精选例题】
【例1】已知抛物线
的一条弦
恰好以点
为中点，弦
的长为
，则抛物线的准线方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，得到
，
，结合“点差法”求得
，得到直线
的方程为
，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得
，进而求得抛物线的准线方
程．
【详解】设
，
，弦
所在直线方程为
，
则
，
，
也点A，B 在抛物线
上，可得
，
两式相减可得
，所以
，即
，
所以弦
所在直线的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
可得
，
，
所以
，
所以
，即
，
可得
，解得
，所以抛物线的准线方程为
．
故选：B．
【例2】直线
与抛物线
交于
两点，
中点的横坐标为2，则
为（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．以上都不是
【答案】B
【分析】设
，得到
，求得
，再由
，两式相减，得到
，得出方程
，即可求解.
【详解】设
，因为
中点的横坐标为
，则
，
可得
，
又由
，两式相减得到
，可得
，
可得
，解得
或
，
联立方程组
，整理得
，
由
，解得
，所以
.
故选：B.
【例3】直线过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两点，线段
中点的纵坐标为1，O 为坐
标原点，则O 到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，代入抛物线方程，两式相减后结合线段
中点的纵坐标得出
，再结
合焦点
的坐标得出直线
的方程，由点到直线距离公式计算即可．
【详解】由抛物线
得焦点
，
设
，
，则
，
两式相减得
，即
，
因为线段
中点的纵坐标为1，即
，
所以
，即
，
所以直线
的方程为
，即
，显然此时直线与抛物线有两交点，
所以
到直线
的距离
，
故选：A．
【跟踪训练】
1．已知直线与抛物线
相交于
两点，若线段
的中点坐标为
，则直线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.
【详解】设
，
由
得：
，
线段
的中点为
，
，
，
，即直线的斜率为
，
直线的方程为：
，即
.
故选：A.
2．已知抛物线
的焦点为
，第一象限的
、
两点在抛物线上，且满足
，
.若线段
中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】先根据焦半径公式得到
的关系，然后根据弦长公式求解出
，结合两点间斜率公式以及点
在抛物线上求解出
的值，则抛物线方程可求.
【详解】设
，
因为
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
都在第一象限，所以
，
又因为
且
，
所以
，所以
，所以抛物线方程为
，
故答案为：
.
3．已知抛物线
，过点
的直线交抛物线
于
两点，若
为
的中点，则直线
的方
程为 .
【答案】
【分析】设出
，
的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，
再利用点斜式方程即可得到结论.
【详解】设
，
，由题意
，
因为
，
在抛物线上，所以
，
，两式相减得，
，整理得，
，
即直线
的斜率
，
直线
的中点为
，
，
，
所以直线
的方程为
，化简得
.
故答案为：
.
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB 是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB 为直径的圆与准线相切．
②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.
【精选例题】
【例1】已知
是抛物线
上的两动点，
是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．直线
过焦点
时，以
为直径的圆与
的准线相切
B．直线
过焦点
时，
的最小值为6
C．若坐标原点为
，且
，则直线
过定点
D．与抛物线
分别相切于
两点的两条切线交于点
，若直线
过定点
，则点
在抛物线
的准线上
【答案】ABD
【分析】对于A：根据抛物线的定义分析判断；对于B：设
方程为
，联立方程，根据抛物线
的定义结合韦达定理分析求解；对于C：设
方程为
，设
，
，联立方程，
根据垂直关系可得
，结合韦达定理分析求解；对于D：可知抛物线
在点
处的切线方程
为
，根据切线方程求交点坐标，结合选项B 分析判断.
【详解】对于选项A：如图1，设
中点为
，分别过点
向准线作垂线，垂足为
，
则由抛物线的定义可得，
，
.
因为
中点为
，所以有
，
所以以
为直径的圆与
的准线相切，故A 正确；
对于选项B：由抛物线
，可得
，
由题意可知直线
斜率不为，设
方程为
，设
，
，
联立直线与抛物线的方程
，消去x 可得
，
则
恒成立。
可得
，
，
则
，
所以
当且仅当
时，
取到最小值6，故B 正确；
对于选项D：先证抛物线
在点
处的切线方程为
，
联立方程
，消去x 得
，
可知方程组只有一个解，即直线
与抛物线
相切，
可知抛物线
在点
处的切线方程分别为
，
，
联立方程
，解得
，即点
，
结合选项B 可得：
，
所以点
在抛物线
的准线
上，故D 正确；
对于选项C：由题意可知直线
斜率不为，设
方程为
，设
，
，
，
则
，
，
若
，则
，解得
或
（舍去），
联立直线与抛物线的方程
，消去x 可得
，
则
，解得
，
此时
，符合题意，
所以
，则直线
过定点
，故C 错误；
故选：ABD.
【例2】已知抛物线
的焦点为F，过焦点F 的直线l 交抛物线于A，B 两点（其中点A 在x 轴上方），
则（ ）
A．
B．弦AB 的长度最小值为l
C．以AF 为直径的圆与y 轴相切
D．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D 选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判
定直线与圆相切.
【详解】
由题，焦点
，设直线
,
联立
，
，
，
同理可得，
，
，故A 选项正确；
，故弦AB 的长度最小值为4，B 选项错误；
记
中点
，则点M 到y 轴的距离为
，
由抛物线的性质，
，所以以AF 为直径的圆与y 轴相切，故C 选项正确；
，记
中点
，
则点N 到抛物线的准线的距离
，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，
D 选项正确.
故选：ACD.
【跟踪训练】
1．设
是坐标原点，直线
经过抛物线C：
的焦点F，且与C 交于A，B 西点，
是以
为底边的等腰三角形，是抛物线C 的准线，则（ ）
A．以
直径的圆与准线相切
B．
C．
D．
的面积是
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义及直线与圆的位置关系判断A；由条件求得
的坐标，利用斜率公式判断
B；根据向量的坐标运算判断C；根据三角形面积公式求解判断D.
【详解】直线
与
轴的交点为
，即焦点
，
则
，故抛物线C 的方程
，
设
，由题意可知
点在第四象限，
点在第一象限，
设
的中点
，过
作
，垂足为
，
过
作
，垂足为
，过
作
，垂足为
，
则
，
则以
直径的圆与准线相切，故A 正确；
∵
是以
为底边的等腰三角形，
∴
，得
，
联立
，得
，
易知
，则
，则
，得
，
，故B 错误；
∵
，∴
，故C 正确；
的面积为
，故D 正确.
故选：ACD.
2．已知抛物线
的焦点
在直线
上，直线与抛物线交于点
（
为坐标原
点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段
为直径的圆与
的准线相切
D．直线
的斜率之积为定值
【答案】ACD
【分析】由直线过定点
，得到
，可判定A 正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B 错误；过
点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到
，可判定C 正确；联立方程组，
结合韦达定理，得到
，求得
，可判定D 正确.
【详解】对于A 中，由直线
，可化为
，可得直线过定点
，
因为抛物线
的焦点
在直线上，可得
，则
，所以A 正确；
对于B 中，由抛物线
的准线方程为
，所以B 错误；
对于C 中，过
点作准线的垂线，垂足分别为
，
的中点为
点，
过
点作准线的垂线，垂足为
，可得
，所以C 正确；
对于D 中，设
，联立方程组
，
整理得
，可得
，则
，
所以D 正确.
故选：ACD.
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
①知识要点：如图，假设抛物线方程为
， 过抛物线准线
上一点
向抛物线引两条切线，切点分别记为
，其坐标
为
. 则以点
和两切点
围成的三角形
中，有如下的常见结论:
结论1.直线
过抛物线的焦点
.
结论2.直线
的方程为
.
结论3.过
的直线与抛物线交于
两点，以
分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点
的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过
点的切线方程为
，过
点的切线方程为
，两式相除可得：
.这就证明了该结论.
结论4.
.
证明：由结论3，
，
.那么
.
结论5.
.
证明：
,则
.由抛物线焦点弦的性质可知
，代入上
式即可得
，故
.
结论6.直线
的中点为
，则
平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3 的证明可知，过点
的切线的交点
在抛物线准线上.且
的坐标为
，
显然
平行于抛物线的对称轴.
【精选例题】
【例1】已知抛物线C：
，（
）的焦点为F，
为C 上一动点，若曲线C 在点
M 处的切线的斜率为
，则直线FM 的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵
，∴
，
，∴
，由题意知，
，解得：
，
又∵M 在
上，∴
，解得：
，∴
，∴
.
故选：B.
【例2】设抛物线C：
的焦点为F，过F 的直线交C 于A，B 两点，分别以A，B 为切点作C 的切线
，
，若与
交于点P，且满足
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】
，设直线AB 的方程为
，显然m 是
存在的，设
，显然
，求导：
，
在A 点处的切线方程
…
①，
同理可得在B 点处的切线方程
为：
；联立方程
，解得
，
，
，联立方程
解得
，
，即P 点在准线
上，设
，
，考虑抛物线关于x 轴对称，不妨取
，代入①得：
，解得
或
，由图可知
，再代入抛物线方程得
，
；故选：D.
【例3】（多选题）已知抛物线
的焦点为
，过
且斜率为
的直线交抛物线于
两点，
在
第一象限，过
分别作抛物线的切线
，且
相交于点
，若
交
轴于点
，则下列说法正确
的有（ ）
A．点
在抛物线的准线上
B．
C．
D．若
，则
的值为
【答案】ACD
【详解】由题意知
，故l：
，与抛物线
联立，可得
，则
，
设
，
，则
．对于A，由抛物线
可得
，所以直线的斜率
，
则直线的方程为
，同理可得直线
的方程为
，联立解得
．
又
，故点P 在抛物线的准线
上，故A 正确；对于B，
，故
，故B 错误；对于C，直线l 的方程为
，则
，直线
的方程为
，
可得
所以
，故
则FQ⊥BQ，故C 正确；
对于D，由
，直线l 的方程为
，与抛物线联立可得
，解得
，则
，则
，
得
，故D 正确．
故选：ACD.
【例4】已知抛物线
的焦点为F，过F 的直线l 倾斜角为
，交C 于
两点，过
两点分
别作C 的切线，
，其交点为
，，
与x 轴的交点分别为
，则四边形
的面积为________.
【答案】4
【详解】如图，设
,
，易知过
两点的抛物线C 的
切线，
斜率均存在，不妨设
，
，联
立
，消
得到
，即
，
所以
，又
，所以
，得到
，
所以
，即
，也即
，同理可得直线
为
，
又因为直线与
交于
，所以可得
，
，从而得到直线
的方程
为
，又因为直线
过焦点且倾斜角为
，所以得到
，即
，且
直线直线
的方程为
又由
，令
，得到
，即
，由
，令
，得到
，即
，又由
，消
得到
，由
韦达定理得
，所以
，又易知
，所以四
边形
的面积为
，故答案为：4.
【跟踪训练】
1.已知抛物线
的焦点为
，若抛物线上一点
满足
，则过点
的切线方程为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【详解】由已知得
，准线方程为
.设
，P 点到准线距离为d.则由抛物线定义有
，即
.将
代入
得，
，所以
.注意到
，则当
的坐
标为
时，过点
的切线斜率为
，所以过点
的切线方程为
，即
，
当
的坐标为
时，过点
的切线斜率为
，所以过点
的切线方程为
，即
，综上，过点
的切线方程为
或
．故选：B
2．（多选题）设抛物线C：
的焦点为F，过抛物线C 上不同的两点A，B 分别作C 的切线，两条切
线的交点为P，AB 的中点为Q，则（ ）
A．
轴
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】对于A 选项：设
,
,
,过点A 切线为：
①,过点B 切线为:
,
②①
②得
化简可得
，
轴,A 选项正确.设
过A 点的切线为
,
过B 点的切线为
,交点为
AB 的中点为
，所以
不垂直
,B 选项错误；
,所
,D 选项错误;
作抛物线准线的垂线
,连接
则
显然
,所以
又因为由抛物线定义,得
,故知
是
线段
的中垂线,得到
则
，同理可证：
,
，所以
，即
,所以
,即
.故选:AC.
3.已知抛物线
的焦点为
，且
与圆
上的点的距离的最小值4．
(1)求
；
(2)若点
在圆
上，
是
的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
【答案】(1)2；(2)
【详解】（1）圆
的圆心
，半径
，由点
到圆
上的点的距离的最
小值为
，解得
；
（2）抛物线
的方程为
，即
，对该函数求导得
，设点
、
、
，
直线
的方程为
，即
，即
，同理可知，直线
的方程
为
，由于点
为这两条直线的公共点，则
，所以点A、
的坐标满足
方程
，所以直线
的方程为
，联立
，可得
，
由韦达定理可得
，
，所以
，
点
到直线
的距离为
，所以
，
，由已知可得
，
所以当
时，
的面积取最大值
.
1．已知抛物线
：
（
），过点
且垂直于
轴的直线交抛物线
于
，
两点，
为
坐标原点，若
的面积为9，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】A
【分析】将
代入抛物线方程，求出线段
长，结合三角形面积求解即得.
【详解】将
代入
，得
，由对称性不妨设
在
轴上方，
则点
，
，
，
，
因此
，所以
.
故选：A
2．已知
为坐标原点，过抛物线
焦点
的直线与
交于A，B 两点，若
，则
（ ）
A．5
B．9
C．10
D．18
【答案】B
【分析】由
及抛物线方程可求出A 点坐标，从而得直线
的方程，联立抛物线和直线方程，
结合韦达定理求出
，由抛物线定义可得结果.
【详解】如图：由抛物线
可知焦点坐标
，取线段
中点D，即
，
又
，所以
,故设
，因点A 在抛物线上，得
，
根据对称性取
，又因直线
过焦点F，
所以直线
的方程为：
，
联立
，得
①，
设
，则
为①式两根，所以
，
由抛物线定义可知
，
故选：B.
3．已知抛物线
的焦点为
，过点
且斜率为
的直线交抛物线于
两点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出抛物线与直线AB 的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为
曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB 的倾斜角，从而可得答案．
【详解】如图，当点
在第一象限时，过点
分别向准线作垂线，垂足为
，作
，垂足为
，
则
轴，设
，则
，
，
由抛物线的定义得
，则有
，
在
中，
等于直线
的倾斜角，其正切值即为
值，
，
，∴
，
于是直线l 的倾斜角为
，斜率
．
当点
在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为
.
故选：D．
4．已知抛物线
与过焦点的一条直线相交于A，B 两点，若弦
的中点M 的横坐标为
，则弦
的长
【答案】
【分析】根据题意设
，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数，最后应用弦长公
式求
即可.
【详解】由题意抛物线焦点
，且直线
斜率不为0，设
，
联立抛物线得
，
，故
，
，
所以
，即
，
则
.
故答案为：
5．已知抛物线
的顶点为坐标原点，准线为
，直线与抛物线
交于
两点，若线段
的中点
为
，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】由题意可求得抛物线的方程，设
，由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜
式方程即可得出答案.
【详解】因为抛物线
的顶点为坐标原点，准线为
，
所以易得抛物线的方程为
，
设
，
因为线段
的中点为
，
故
，
则
，由
，
两式相减得
，所以
，
故直线的方程为
，即
．
故答案为：
.
6．已知抛物线
，过
的直线交抛物线
于
两点，且
，则直线的方程为
.
【答案】
【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.
【详解】因为
在抛物线
内部，又
，所以
是
的中点.
设
，所以
，即
，
又
在抛物线
上，所以
，两式作差，得
，所以
，
所以直线的方程为
，即
.
故答案为：
7．已知倾斜角为
的直线经过抛物线
：
(
)的焦点
，且与抛物线
交于
，
两点(点
在第一象限)，与抛物线
的准线
交于点
，则（ ）
A．以
为直径的圆与
轴相切
B．准线
上存在唯一点
，使得
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由抛物线的定义和过焦点的直线确定A；由过焦点的线段的长度和准线确定B；由抛物线与直线
的关系解三角形确定CD.
【详解】对于A：设
，
，
，
的中点为
，
由抛物线的定义，得
，
的中点到
轴的距离为
，
故以
为直径的圆与
轴相切，故A 正确；
对于B：
，
的中点到准线的距离为
，
因此以
为直径的圆与准线相切，故准线
上存在唯一点
，使得
，故B 正确；
对于C、D：如图所示，过点
，
作准线
的垂线，垂足分别为点
，
，由倾斜角为
，
可得
，设
，则
，因为
，
所以
，
，故C 正确；
设
，则
，因为
，
所以
，所以
，所以
，故D 错误．
故选：ABC．
8.（多选题）已知抛物线C：
的焦点为F，过F 作直线l 与抛物线C 交于A、B 两点，分别
以A、B 为切点作抛物线C 的切线，两切线交于点T，设线段
的中点为M．若点T 的坐标为
，
则（ ）
A．点M 的横坐标为2
B．点M 的纵坐标为3
C．直线l 的斜率等于2
D．
【答案】ACD
【详解】抛物线C：
，直线AB：
设
显然当
时，根据对称性易得
点位于
轴上，不
合题意，故
，且均大于0，
，
，
，整理：
，得：
，①
同理
，②，①
②：
，
又因为直线
由此知：
故
；因为
，所以
设交点
，过点
的切线斜率为
，
所以切线方程为
，整理得
，即
，同理，过点
的切线的方程为
，又点T 在直线上，代入得AB 直线方程：
故选项C 正确；由
消去
整
理得
，因为直线与抛物线相交， 设
，则
，
故点M 的横坐标
故A 正确，因为点M 的横坐标
所以
，故选项B 错误，D 正确；故选：ACD
