文档文本内容
人教版九年上数学期末测试卷（B 卷）
（测试时间：90 分钟 满分：120 分）
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．下列所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．用配方法解方程
时，配方结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0 的两个实数根，则
的值是（ ）
A． ﹣6 B． ﹣5 C． ﹣6 或﹣5 D． 6 或5
4．把抛物线
向右平移2 个单位，然后向下平移6 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．
B．
[来源:学|科|网]
C．
D．
5．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=6，以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方
向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( )
[来源:Zxxk.Com]
A． 6 B． 9 C． 6
D． 9
6．如图，四边形ABCE 内接于⊙O，∠DCE=50°，则∠BOE=（ ）
A． 100° B． 50° C． 70° D． 130°
7．如图，已知⊙O 的半径为5，AB 是⊙O 的弦，AB=8，Q 为AB 中点，P 是圆上的一点（不与A、B 重合），连接
PQ，则PQ 的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 8
8．现有三张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取
两张，则这两张卡片正面数字之和为正数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于点E，则阴影部分面积为（ ）
A． π B． π C． 6﹣π D． 2
﹣π
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的正半轴相交于A，B 两点，与y 轴相交于点C，对称轴为直
线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x 的方程ax2+bx+c=0 有一个根
为﹣，其中正确的结论个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4[来源:学§科§网]
二、填空题（每小题3 分，共30 分）
11．三角形两边的长是3 和4，第三边的长是方程x2﹣14x+48=0 的根，则该三角形的周长为_____．
12．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的弦，点D 是劣弧AC 上一点，若点E 在直径AB 另一侧的半圆上，且
∠AED=27°，则∠BCD 的度数为_______．
13．赵州桥是抛物线形，建立如图所示的坐标系，其函数解析式为
，当水位线在
位置时，水面宽
，这时水面离桥顶的高度是________
．
14．如图，已知菱形
的顶点
，
，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转
，则第
秒时，菱形
的对角线交点的坐标为________．
15．小明把
个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到它们的概率
分别为、
和，试估计黄、蓝、红三种球的个数分别是________．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=a（x+ ）2+k 与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，
且AB∥x 轴，则以AB 为边的正方形ABCD 的周长为_____．
17．若关于x 的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m=0（m＞0），当m=1、2、3、…、2018 时，相应的一元二次方程的两
个根分别记为α1 、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：
的值为_____．
18．如图，在Rt△ABC 中，AC=4，BC=3
，将Rt△ABC 以点A 为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE 的
长度为_____．
19．如图，已知抛物线和x 轴交于两点A、B，和y 轴交于点C，已知A、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC
是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____．
20．如图，AB 是半径为2 的⊙O 的弦，将
沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O，点C 是折叠后的
上一动点，连
接并延长BC 交⊙O 于点D，点E 是CD 的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边
三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）
[来源
三、解答题（共60 分）
21．解方程：
； （2）
；
（3）
．
22．如图，已知
的三个顶点的坐标分别为
、
、
．
请直接写出与点关于坐标原点的对称点
的坐标；
将
绕坐标原点逆时针旋转
，画出对应的
图形；
请直接写出点
、
、
的坐标．
23．已知关于的方程
．
求证：方程总有两个实数根；
已知方程有两个不相等的实数根，，且满足
，求
的值．[来源:学科网]
24．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20 元，市场调查发现，该产品每天的销售
量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为W 元．
（1）该农户想要每天获得150 元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？
（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28 元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利
润最大？最大利润是多少元？
25．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角度为
α（0°＜α≤45°），得到△ABC′.
①当α 为多少度时，AB∥DC？
②当旋转到图③所示位置时，α 为多少度？
③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC 值的大小变化情况，并给出你的证明.
26．九（3）班“2017 年新年联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4 张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面
有2 张笑脸、2 张哭脸．现将4 张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．
（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，求小
芳获奖的概率．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻
开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？通过树状图分析说明理由．
27．如图，以O 为圆心，4 为半径的圆与x 轴交于点A，C 在⊙O 上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC 的度数；
（2）P 为x 轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M 所经过的弧长，并写
出此时M 点的坐标．
28．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3 交x 轴于B、C 两点（点B 在左，点C 在
右），交y 轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点D 为抛物线的顶点，连接CD，点P 是抛物线上一动点，且在C、D 两点之间运动，过点P 作
PE∥y 轴交线段CD 于点E，设点P 的横坐标为t，线段PE 长为d，写出d 与t 的关系式（不要求写出自变量t
的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD 上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，
求此时点P 的坐标．
（测试时间：90 分钟 满分：120 分）
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．下列所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
2．用配方法解方程
时，配方结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
3．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0 的两个实数根，则
的值是（ ）
A． ﹣6 B． ﹣5 C． ﹣6 或﹣5 D． 6 或5
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得到
+
=2，
=-1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
∵
,
是方程x2﹣2x﹣1=0 的两个实数根，
∴
+
=2，
=-1，
∴
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握两根之和等于- 、两根之积等于．
4．把抛物线
向右平移2 个单位，然后向下平移6 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可求解．
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函
数解析式．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=6，以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方
向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为( )
A． 6 B． 9 C． 6
D． 9
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，先计算出AB=2AC=12，则BD=6，再根据旋转的性质得B′D′=BD=6，则在Rt△BDM 中可计算出DM=2
，BM=2MD=4
，所以B′M=B′D-DM=6-2
，接着在Rt△B′MN 中计算出MN= B′M=3-
，所以BN=3+3
，在Rt△BNG 中计算NG=
BN=3+
，然后利用S 阴影部分=S△BNG-S△BDM 进行计算即可．
【详解】
如图，
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋
转前、后的图形全等．也考查了含30 度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式．
[来源:学科网ZXXK]
6．如图，四边形ABCE 内接于⊙O，∠DCE=50°，则∠BOE=（ ）
A． 100° B． 50° C． 70° D． 130°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
四边形ABCE 内接于⊙O，
，
由圆周角定理可得，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是圆的内接四边形性质，解题关键是熟记圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角
（就是和它相邻的内角的对角）.
7．如图，已知⊙O 的半径为5，AB 是⊙O 的弦，AB=8，Q 为AB 中点，P 是圆上的一点（不与A、B 重合），连接
PQ，则PQ 的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 8
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OP、OA，根据垂径定理求出AQ，根据勾股定理求出OQ，计算即可．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
8．现有三张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取
两张，则这两张卡片正面数字之和为正数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先找出全部两张卡片正面数字之和情况的总数，再先找出全部两张卡片正面数字之和为正数情况的总数，两
者的比值即为所求概率.
【点睛】
本题主要考查概率的求法，熟练掌握概率的求法是解题的关键.
9．如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于点E，则阴影部分面积为（ ）
A． π B． π C． 6﹣π D． 2
﹣π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积是△BCD 的面积减去△BOE 和扇形OEC 的面积．
【详解】
由题意可得，
BC=CD=4，∠DCB=90°，
连接OE，则OE= BC，
∴OE∥DC，
∴∠E OB=∠DCB=90°，
∴阴影部分面积为：
=
=6-π，
故选C．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形
结合的思想解答．
10．如图，二次函数y=ax
2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的正半轴相交于A，B 两点，与y 轴相交于点C，对称轴为直
线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x 的方程ax
2+bx+c=0 有一个根
为﹣，其中正确的结论个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a、b、c 的符号，从而可判断①；由对称轴
=2 可知a=
，由图象可知当x=1 时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把- 代入方程
整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
∴a+b+c＞0，∴4a+4b+4c>0，∴4
(
)+4b+4c>0，
∴3b+4c>0，故②错误.
∵由图象可知OA＜1，且OA=OC，
∴OC＜1，即-c＜1，
∴c＞-1，故③正确.
∵假设方程的一个根为x=- ，把x=- 代入方程可得
+c=0，
整理可得ac-b+1=0，
两边同时乘c 可得ac2-bc+c=0，
∴方程有一个根为x=-c，
由③可知-c=OA，而当x=OA 是方程的根，
∴x=-c 是方程的根，即假设成立，故④正确.
综上可知正确的结论有三个：③④.
故选B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解
题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键.
二、填空题（每小题3 分，共30 分）
11．三角形两边的长是3 和4，第三边的长是方程x2﹣14x+48=0 的根，则该三角形的周长为_____．
【答案】13
【解析】
【分析】
利用因式分解法求出解已知方程的解确定出第三边，即可求出该三角形的周长．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的弦，点D 是劣弧AC 上一点，若点E 在直径AB 另一侧的半圆上，且
∠AED=27°，则∠BCD 的度数为_______．
【答案】117°
【解析】
【分析】
连接AD，BD，利用圆周角定理解答即可．
【详解】
连接AD，BD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠AED=27°，
∴∠DBA=27°，
∴∠DAB=90°-27°=63°，
∴∠DCB=180°-63°=117°，
故答案为：117°
【点睛】
此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答．
13．赵州桥是抛物线形，建立如图所示的坐标系，其函数解析式为
，当水位线在
位置时，水面宽
，这时水面离桥顶的高度是________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，把x=15 直接代入解析式即可解答．
【点睛】
本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
14．如图，已知菱形
的顶点
，
，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转
，则第
秒时，菱形
的对角线交点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形的性质，可得D 点坐标，根据旋转的性质，可得D 点的坐标．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．
15．小明把
个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到它们的概率
分别为、
和，试估计黄、蓝、红三种球的个数分别是________．
【答案】
、
、
【解析】
【分析】
根据得到各小球的概率以及小球的总个数，分别求出晓求得个数即可.
【详解】
∵小明把
个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到它们的概率分
别为
，∴黄、蓝、红三种球的个数分别是：80× ＝40(个)，80×
＝28（个），80× ＝32（个）.故答案为
20、28、32.
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据概率的意义求出小球的个数是解题关键.
16．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=a（x+ ）
2+k 与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，
且AB∥x 轴，则以AB 为边的正方形ABCD 的周长为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得线段AB 的长度，从而可以求得正方形ABCD 的周长．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是找出所求问题需要的条件．
[来源:学科网]
17．若关于x 的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m=0（m＞0），当m=1、2、3、…、2018 时，相应的一元二次方程的两
个根分别记为α1 、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：
的值为_____．
【答案】
．
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到α1+β1=-2，α1β1=-1×2；α2+β2=-2，α2β2=-2×3；…α2018+β2018=-2，α2018β2018=-2018×2019．把
原式变形，再代入，即可求出答案．
【详解】
∵x2+2x-m2-m=0，m=1，2，3，…，2018，
∴由根与系数的关系得：α1+β1=-2，α1β1=-1×2；
α2+β2=-2，α2β2=-2×3；
…
α2018+β2018=-2，α2018β2018=-2018×2019．
∴原式=
=
=2×（
）
=2×（1-
）
=
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- ，x1x2= ．
18．如图，在Rt△ABC 中，AC=4，BC=3
，将Rt△ABC 以点A 为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE 的
长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接CE，作EF⊥BC 于F，根据旋转变换的性质得到∠CAE=60°，AC=AE，根据等边三角形的性质得到
CE=AC=4，∠ACE=60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】
解：连接CE，作EF⊥BC 于F，
由勾股定理得，CF=
=
，
∴BF=BC-CF=
，
由勾股定理得，BE=
=
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握旋转变换对应点到旋转中心的距离相等、对
应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
19．如图，已知抛物线和x 轴交于两点A、B，和y 轴交于点C，已知A、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC
是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____．
[来源:Z*xx*k.Com]
【答案】（ ，
）
【解析】
【分析】
连接AC，根据题意易证△AOC∽△COB，则
，求得OC=2，即点C 的坐标为（0，2），可设抛物线解析
式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将C 点坐标代入求解，最后将解析式化为顶点式即可.
[来源:Z|xx|k.Com]
∴∠CAB=∠BCO，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴
，
即
=
，
解得OC=2，
∴点C 的坐标为（0，2），
∵A、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），
把点C 的坐标代入得，a（0+1）（0﹣4）=2，
解得a=﹣，
∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣（x2﹣3x﹣4）=﹣（x﹣）
2+
，
∴此抛物线顶点的坐标为（ ，
）．
故答案为：（ ，
）．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，抛物线的顶点式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，利用相似
三角形的性质求得关键点的坐标.
20．如图，AB 是半径为2 的⊙O 的弦，将
沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O，点C 是折叠后的
上一动点，连
接并延长BC 交⊙O 于点D，点E 是CD 的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边
三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）
【答案】①②
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是
否正确，EO 的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E 在什么轨迹上运动，便可解决问题．
【详解】
如图1，连接OA 和OB，作OF⊥AB．
由题知：
沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O
∴OF=OA= OB
∴∠AOF=∠BOF=60°
∴∠AOB=120°
∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）
∠D= ∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）
∴∠ACD=180°-∠ACB=60°
∴△ACD 是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）
故，①②正确
下面研究问题EO 的最小值是否是1
如图2，连接AE 和EF
∵△ACD 是等边三角形，E 是CD 中点
∴AE⊥BD（三线合一）
又∵OF⊥AB
∴F 是AB 中点
即，EF 是△ABE 斜边中线
∴AF=EF=BF
即，E 点在以AB 为直径的圆上运动．
所以，如图3，当E、O、F 在同一直线时，OE 长度最小
此时，AE=EF，AE⊥EF
【点睛】
考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
三、解答题（共60 分）
21．解方程：
； （2）
；
（3）
．
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
，
；
【解析】
【分析】
（1）方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用配方法求出解即可.
【详解】
解：
方程整理得：
，
开方得：
或
，
解得：
，
；
方程整理得：
，
分解因式得：
，
解得：
，
；
方程整理得：
，
配方得：
，即
，
开方得：
，
解得：
，
．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.
22．如图，已知
的三个顶点的坐标分别为
、
、
．
请直接写出与点关于坐标原点的对称点
的坐标；
将
绕坐标原点逆时针旋转
，画出对应的
图形；
请直接写出点
、
、的坐标．
【答案】(1)
;(2)见解析；（3）
，
，
【解析】
【详解】
解：
由图象可知，
．
（2）
绕坐标原点逆时针旋转
，对应的
如图所示，
即为所求．
由图象可知
，
，
．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中图形旋转的概念.
23．已知关于的方程
．
求证：方程总有两个实数根；
已知方程有两个不相等的实数根，，且满足
，求的值．
【答案】
证明见解析；
．
【解析】
【分析】
（1）求得方程根的判别式，证明其总大于或等于0 即可；
（2）利用根与系数的关系求得
，代入可得到关于m 的方程，求解即可．
【点睛】
考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记公式
是解决本题的关键.
24．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20 元，市场调查发现，该产品每天的销售
量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为W 元．
（1）该农户想要每天获得150 元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？
（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28 元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利
润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）该农户想要每天获得150 元得销售利润，销售价应定为每千克25 元或35 元；（2）192 元.
【解析】
【分析】
（1）直接利用每件利润×销量=总利润进而得出等式求出答案；
（2）直接利用每件利润×销量=总利润进而得出函数关系式，利用二次函数增减性求出答案．
∴抛物线开口向下，当x＜30 时，y 随x 的增大而增大，
又由于这种农产品的销售价不高于每千克28 元
∴当x=28 时，W 最大=﹣2×（28﹣30）
2+200=192（元）．
∴销售价定为每千克28 元时，每天的销售利润最大，最大利润是192 元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确应用二次函数增减性是解题关键．
25．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角度为α
（0°＜α≤45°），得到△ABC′.
①当α 为多少度时，AB∥DC？
②当旋转到图③所示位置时，α 为多少度？
③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC 值的大小变化情况，并给出你的证明.
【答案】（1）当α＝15°时，AB∥DC；（2）α＝45°；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）若AB∥DC，则∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，
（3）连接CC′，BD，BO，在△BDO 和△OCC′中，利用三角形内角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′
+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 值的大小不变．
∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC
＝∠2＋∠α＋∠1
＝180°―∠ACD―∠AC′B
＝180°―45°―30°
＝105°
∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC 值的大小不变
【点睛】
本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.
26．九（3）班“2017 年新年联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4 张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面
有2 张笑脸、2 张哭脸．现将4 张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．
（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，求小
芳获奖的概率．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻
开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？通过树状图分析说明理由．
【答案】（1）；（2）他们获奖机会不相等，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正面有2 张笑脸、2 张哭脸，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）根据题意分别列出表格，然后
由表格即可求得所有等可能的结果与获奖的情况，再利用概率公式求解即可求得他们获奖的概率．
（2）他们获奖机会不相等，理由如下：
小芳：
笑1
笑2
哭1
哭2
笑1
笑1，笑1
笑2，笑1
哭1，笑1
哭2，笑1
笑2
笑1，笑2
笑2，笑2
哭1，笑2
哭2，笑2
哭1
笑1，哭1
笑2，哭1
哭1，哭1
哭2，哭1
哭2
笑1，哭2
笑2，哭2
哭1，哭2
哭2，哭2
∵共有16 种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只要出现笑脸的有12 种情况，
∴P（小芳获奖）=
；
小明：
笑1
笑2
哭1
哭2
笑1
笑2，笑1
哭1，笑1
哭2，笑1
笑2
笑1，笑2
哭1，笑2
哭2，笑2
哭1
笑1，哭1
笑2，哭1
哭2，哭1
哭2
笑1，哭2
笑2，哭2
哭1，哭2
∵共有12 种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只要出现笑脸的有10 种情况，
∴P（小明获奖）=
，
∵P（小芳获奖）≠P（小明获奖），
∴他们获奖的机会不相等．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．如图，以O 为圆心，4 为半径的圆与x 轴交于点A，C 在⊙O 上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC 的度数；
（2）P 为x 轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M 所经过的弧长，并写
出此时M 点的坐标．
【答案】（1）60°；
（2）见解析；
（3）对应的M 点坐标分别为：M1（2，﹣2
）、M2（﹣2，﹣2
）、M3（﹣2，2
）、M4
（2，2
）．
【解析】
【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC 是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP 边上的中线等于OP 的一半，由此可证得△OCP 是直
角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC 与⊙O 的位置关系．
（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC 的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M
点，即：C 点以及C 点关于x 轴、y 轴、原点的对称点，可据此进行求解．
（3）如图；有三种情况：
①取C 点关于x 轴的对称点，则此点符合M 点的要求，此时M 点的坐标为：M1（2，﹣2
）；
劣弧MA 的长为：
；
②取C 点关于原点的对称点，此点也符合M 点的要求，此时M 点的坐标为：M2（﹣2，﹣2
）；
劣弧MA 的长为：
；
③取C 点关于y 轴的对称点，此点也符合M 点的要求，此时M 点的坐标为：M3（﹣2，2
）；
优弧MA 的长为：
；
④当C、M 重合时，C 点符合M 点的要求，此时M4（2，2
）；
优弧MA 的长为：
；
综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M 所经过的弧长为
对应的M 点坐标分别为：M1（2，﹣2
）、M2
（﹣2，﹣2
）、M3（﹣2，2
）、M4（2，2
）．
【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
28．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3 交x 轴于B、C 两点（点B 在左，点C 在
右），交y 轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点D 为抛物线的顶点，连接CD，点P 是抛物线上一动点，且在C、D 两点之间运动，过点P 作
PE∥y 轴交线段CD 于点E，设点P 的横坐标为t，线段PE 长为d，写出d 与t 的关系式（不要求写出自变量t
的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD 上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，
求此时点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）d=﹣t2+4t﹣3；（3）P（，）．
【解析】
（3）首先，作DK⊥OC 于点K，作QM∥x 轴交DK 于点T，延长PE、EP 交OC 于H、交QM 于M，作ER⊥DK
于点R，记QE 与DK 的交点为N，根据题意在（2）的条件下先证明△DQT≌△ECH，再根据全等三角形的性
质即可得ME=4﹣2（﹣2t+6），QM= t﹣1+（3﹣t），即可求得答案．
∵抛物线y=ax2+bx+3 经过点B（﹣1，0），C（3，0）
∴
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，延长PE 交x 轴于点H，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）
2+4，
∴D（1，4），
设直线CD 的解析式为y=kx+b，
将点C（3，0）、D（1，4）代入，得：
[来源:Z。xx。k.Com]
，
解得：
，
∴y=﹣2x+6，
∴E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），
∴PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，
∴d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3；
（3）如图2，作DK⊥OC 于点K，作QM∥x 轴交DK 于点T，延长PE、EP 交OC 于H、交QM 于M，作
ER⊥DK 于点R，记QE 与DK 的交点为N，
∴∠CDK+∠DEQ=45°，即∠RNE=45°，
∵ER⊥DK，
∴∠NER=45°，
∴∠MEQ=∠MQE=45°，
∴QM=ME，
∵DQ=CE，∠DTQ=∠EHC、∠QDT=∠CEH，
∴△DQT≌△ECH，
∴DT=EH，QT=CH，
∴ME=4﹣2（﹣2t+6），
QM=MT+QT=MT+CH=t﹣1+（3﹣t），
4﹣2（﹣2t+6）=t﹣1+（3﹣t），
解得：t=
，
∴P（
，
）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.
