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待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 对于任何的实数t，抛物线 y=x2 + (2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 ( )
A. (l, 3) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (1, 0)
2．如图所示为抛物线
的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系
中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在平面直角坐标系中，先将抛物线
关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作
轴对称变换，那么两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )
A．
B．
C．
D．
4．老师出示了小黑板上题后．小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1，小颖说：
抛物线被x 轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有( )
已知抛物线
与x 轴交于(1，0)，试添加
一个条件，使它的对称轴为直线x＝2．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．将抛物线
绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )
A．
B．
C．
D．
6．（2015•高淳县一模）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h 的值可以是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题
7．已知二次函数的图象经过原点及点
，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函
数的解析式为_ _______．
8．（2015•河南一模）二次函数的图象如图所示，则其解析式为 ．
9．抛物线
上部分点的横坐标为
，纵坐标
的对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是__ ______．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）；②函数
的最大值为6；
③抛物线的对称轴是
；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
10．某同学利用描点法画二次函数，
(a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
3
0
-2
0
3
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出二次函数的解析式：________．
11．如图所示，已知二次函数
的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x 轴的另一个交点为
C，则AC 长为________．
第11 题 第12 题
12．在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向
旋转90°至AC．
（1）点C 的坐标为 ；
（2）若抛物线
经过点C，则抛物线的解析式为 ．
三、解答题
13．已知
(a≠0)经过A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点P 到AB 的距离为2，
求此抛物线的解析式．
14．（2015•大庆模拟）如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P
点的坐标．
15．已知，如图所示，抛物线
与x 轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y 轴相交于
点C(0，3)．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)若点
是抛物线
上的一点，请求出m 的值，并求出此时△ABD 的面积．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A；
【解析】把 y=x2 + (2-t) x + t 化为y=x2+2x+(1-x)t, 因为对于任何的实数t，
抛物线 y=x2 + (2-t) x + t 总经过一个固定的点，所以与t 的值无关，即1-x=0，x=1,代入
y=x2+2x+(1-x)t,得y=3,过定点（1,3），故选A.
2.【答案】B；
【解析】由图知A(-1，0)，C(0，1)代入
中得
∴ a-b＝-1．
3.【答案】C；
【解析】先将抛物线
关于x 轴作轴对称变换，可得新抛物线为
，
再将抛物线为
，整理得
．
4.【答案】C；
【解析】小颖说的不对，其他人说的对．
5.【答案】D；
【解析】此题容易误选A、B，简单地认为改变。的符号，抛物线开口向下，或改变函数值的正负即可．
将抛物线
绕它的顶点旋转180°，所得的抛物线顶点坐标、对称轴不变，只
是开口方向向下．因此，由
化为
，因而所求抛物线解析式
．即
．
6.【答案】A；
【解析】把A（0，1）、B（8，2）分别代入y=a（x﹣h）2+k（a＞0）得
，
②﹣①得64a﹣16ah=1，
解得a=
＞0，
所以h＜4．故选A．
二、填空题
7．【答案】
或
；
【解析】抛物线经过点(1，0)或(-1，0)．
8．【答案】 y=﹣x2+2x+3；
【解析】由图象可知，抛物线对称轴是直线x=1，与y 轴交于（0，3），与x 轴交于（﹣1，0）
设解析式为y=ax2+bx+c，
，
解得
．
故答案为：y=﹣x2+2x+3．
9．【答案】①③④ ；
【解析】由纵坐标相等的点关于对称轴对称可得对称轴为
，由表可知在
时y 随x 的增大而增
大，与x 轴的一个交点为(-2，0)，则另一个交点为(3，0)．当
时，y 值最大，故②错.
10．【答案】
；
【解析】先描点，根据二次函数的图象找出错误的一组数据，再利用表内的数据的特点，
选用
求解析式较简便．
由描点知，表内
，
是错误的．设
(a≠0)，
由表知
，又点(0，3)在抛物线上，所以3＝a(0-1)(0-3)，所以
．
因此
，即
．
11．【答案】3；
【解析】由
经过点(-1，0)，(1，-2)可得
∴
∴
．
其对称轴为
，由对称性可求C 点坐标为（2，0），∴
.
12．【答案】（1）(3，-1)；（2）
.
【解析】(1)过点C 作CD⊥x 轴，垂足为D，在△ACD 和△BAO 中，
由已知有∠CAD+∠BAO＝90°，
而∠ABO+∠BAO＝90°，
∴ ∠CAD＝∠ABO，
又∵ ∠CDA＝∠AOB＝90°，且由已知有CA＝AB，
∴ △ACD≌△BAO，∴ CD＝OA＝1，AD＝BO＝2，
∴ 点C 的坐标为(3，-1)；
(2)∵ 抛物线
，经过点C(3，-1)，
∴
，解得
，
∴ 抛物线的解析式为
.
三、解答题
13.【答案与解析】
∵ A(-3，2)，B(1，2)的纵坐标相同，
∴ 抛物线对称轴为x＝-1．
又∵ 顶点P 到AB 距离为2，
∴ P(-l，0)或P(-1，4)．
故可设抛物线解析式为
(a≠0)或
(a≠0)．
将B(1，2)分别代人上式得
或
．
∴
或
．
14.【答案与解析】
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0 的两根为x=﹣1 或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P 的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4 代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2
，
把yP=﹣4 代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P 在该抛物线上滑动到（1+2
，4）或（1﹣2
，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
15.【答案与解析】
（1）由已知得
解之
∴
．
（2）∵
是抛物线
上的点，∴
，
∴
．
