文档文本内容
1
一元二次方程性质
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、理解一元二次方程韦达定理。
2、掌握有关一元二次方程判别式。
3、掌握有关一元二次方程有关题目的解法。
1、一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
如果
ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根是x1、x2 ,那么
x1+x2=−b
a , x1⋅x 2= c
a
注：
（1）注意理解公式中的a、b、c 分别是什么。
（2）注意a、b、c 的符号是什么。
（3）利用公式
x1+x2=−b
a , x1⋅x 2= c
a 解题时，注意符号问题，不要丢符号。
2、根的判别式.
运用配方法解一元二次方程过程中得到：
（x + b
2a
）²=b² - 4 ac
4 a²
.
显然，只有当b² - 4 ac≥0时，才能直接开平方得：x + b
2a =±√
b² - 4 ac
4 a²
.也就是说，一元二
次方程ax ²+bx+c=0(a≠0)只有当系数a，b，c 满足条件，△=b² - 4 ac≥0时，才有实数根。这里
的b² - 4 ac叫做一元二次方程根的_______。
一元二次方程的根的判别式有三种情况：
当△=b² - 4 ac>0时，方程有___________的实数根.
当△=b² - 4 ac =0时，方程有__________的实数根.
当△=b² - 4 ac<0时，方程_________实数根.
3、根的判别式的应用.
(1)运用判别式，判定方程实数根的个数.
2
(2)运用判别式，建立等式，不等式，求方程中参数值或取值范围.
(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.
(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题及最值问题.
【解题思想】
1．转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法． 运用转化的思想可将未知数的问题转化为已
知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，
将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．
2．从特殊到一般的思想 从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研
究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根
与系数的关系等．
3．分类讨论的思想 一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．
注意：
（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不
为0．
（2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和
因式分解法，再考虑用公式法．
（3）一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以不解方程判定方程根的情况
根据参系数的性质确定根的范围；解与根有关的证明题．
4．一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
1、韦达定理
如果ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根是x1、x2 ,那么
x1+x2=−b
a , x1⋅x 2= c
a
注：
（1）注意理解公式中的a、b、c 分别是什么。
（2）注意a、b、c 的符号是什么。
（3）利用公式
x1+x2=−b
a , x1⋅x 2= c
a 解题时，注意符号问题，不要丢符号。
【例1】求下列方程两根的和与积分别是多少?
(1)x2+2 x+3=0 (2)2 x2+3 x=1 (3)( x+1)( x−4)=0
3
练1、若方程x2＋x－1=0 的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）
A．α＋β=－1 B．αβ=－1
C．α2＋β2=3 D．
＋
=－1
练2、若关于x 的一元二次方程x2＋bx＋c=0 的两个实数根分别为x1=－2，x2=4，则b＋c 的值
是（ ）A．－10 B．10 C．－6 D．－1
【例2】设x1，x2 是方程2x2＋4x－1=0 的两个根，不解方程求下列各式的值：
（1）
＋
； （2）
＋
； （3）（x1－2）（x2 －2）．
练3、已知方程x2−2 x−3=0 的两个根为x1, x2,求下列各式的值:
(1)x1+x2 (2)x1⋅x2
(3)x
2
1 +x
22
(4) 1
x1
+ 1
x2 (5)|x1−x2|
练4、（2014•山东威海）方程x2－（m＋6）＋m2=0 有两个相等的实数根，且满足x1＋x2=x1x2，
则m 的值是（ ）A．－2 或3 B．3 C．－2 D．－3 或2
练5、（2014•内蒙古包头）关于x 的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2=0 的两个实数根分别为
x1，x2，且x1＋x2＞0，x1x2＞0，则m 的取值范围是（ ）
A．m≤
B．m≤
且m≠0
C．m＜1 D．m＜1 且m≠0
【例3】已知方程2 x2+mx +3=0 的一个根是
1
2 ,求另一个根及m 的值.
4
练6、已知关于x 的方程2x2－mx－6=0 的一个根2，则m= ，另一个根为 ．
练7、（2014•内蒙古呼和浩特）已知m，n 是方程x2＋2x－5 = 0 的两个实数根，则m2–mn＋
3m＋n=______．
2、判别式
【例4】若关于x 的方程kx2－4x＋3=0 有实数根，则k 的非负整数值是（ ）
A．0，1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，3
练8、如果关于x 的一元二次方程kx2-
x+1=0 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范
围是（ ）
A．k＜
B．k＜
且k≠0 C．-
≤k＜
D．-
≤k＜
且k≠0
练9、关于x 的方程x2-2x+k=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜-1 D．k＞-1
【例5】（2014•湖北十堰）已知关于x 的一元二次方程x2＋2（m＋1）x＋m2－1=0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1－x2）2=16－x1x2，求实数m 的值．
练10、（全国初中数学联赛）在Rt△ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC，AC 之长是一元二次方
程x2－（2m－1）x＋4（m－1）=0 的两根，则m 的值是（ ）
A．4 B．－1 C．4 或－1 D．－4 或1
3、韦达定理和判别式的综合
【例6】（2014•北京海淀二模）已知：关于x 的两个方程2x2＋（m＋4）x＋m－4=0①与mx2＋
（n－2）x＋m－3=0②，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．
（1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n 为整数，求m 的最小整数值．
练11、（2014•四川南充）已知关于x 的一元二次方程x2－2x＋m=0，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m 的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x1
2＋x2
2－x1x2的值．
1．已知等腰三角形的一边为3，另两边是方程x2－4x＋m=0 的两个实根，则m 的值为（ ）
A．4 B．±4 C．±3 D．4 或3
2．对于方程x2－2|x|＋2=m，如果方程实根的个数恰为3 个，则m 值等于（ ）
A．1 B．2 C．
D．2.5
3．（2015•江苏南通模拟）设
、
是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，
且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5
4．（2014•山东烟台）关于x 的方程x2－ax＋2a=0 的两根的平方和是5，则a 的值是（ ）
A．－1 或5 B．1 C．5 D．－1
5．若将一元二次方程a（x2－2x）＋bx＋c=0 化成一般形式后为2x2－3x－1=0，则a＋b－c=
．
6．（2015•天津市模拟）已知关于x 的方程x2＋10x＋24－a=0 有两个不相等的实数根，当a 取
满足条件的最小整数，此时方程的解是 ．
7．如果实数x 满足（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，那么x2－x 的值为 ．
8．已知：△ABC 的两边AB、BC 的长是关于x 的一元二次方程x2－（2k＋2）x＋k2＋2k=0 的两
个实数根，第三边长为10．当k 为 时，△ABC 是等腰三角形．
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
8．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，－3，而小华
看错常数项，解错两根为－2，5，那么原方程为（ ）
A．x2－3x＋6=0 B．x2－3x－6=0
C．x2＋3x－6=0 D．x2＋3x＋6=0
9．（2014•广西玉林、防城港）x1，x2是关于x 的一元二次方程x2－mx＋m－2=0 的两个实数根，
是否存在实数m 使
＋
=0 成立？则正确的是结论是（ ）
A．m=0 时成立 B．m=2 时成立
C．m=0 或2 时成立 D．不存在
10．（全国初中数学联赛四川赛区）设方程（x－a）（x－b）－x=0 的两根是c、d，则方程
（x－c）（x－d）＋x=0 的根是（ ）
A．a，b B．－a，－b C．c，d D．－c，－d
11．（2014•年全国初中数学联赛）如果方程(x−2)(x2−4 x+m)=0的三根可以作为一个三角
形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．m≥3
C．m≥4
D．
12．（2014•江苏扬州）已知a，b 是方程x2－x－3=0 的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a－
b＋5 的值为______．
13．（2014•广东广州）若关于
的方程
有两个实数根
、
，则
6
的最小值为 ．
14．（第21 届希望杯数学联赛）已知a，b，c，d 是非零实数，c 和d 是方程x2＋ax＋b=0 的解，
a 和b 是方程x2＋cx＋d=0 的解，则a＋b＋c＋d 的值为 ．
15．（2014•湖南怀化）设m 是不小于－1 的实数，使得关于x 的方程x2＋2（m－2）x＋m2－3m
＋3=0 有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若
＋
=1，求
的值；
（2）求
＋
－m2的最大值．
课程顾问签字： 教学主管签字：
