平方差公式（提高）知识讲解_20190524133740_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

平方差公式（提高） 知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：



2
2
a
b
a
b
a
b




要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
         （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两
个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是
单项式或多项式.
【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——平方差公式
【高清课堂400108 因式分解之公式法 例1】
1、分解因式：
（1）
2
(
)
4
x
y


；   （2）
2
2
16(
)
25(
)
a
b
a
b



；  （3）
2
2
(
2)
(2
1)
x
x



．
【思路点拨】（1）把x
y

看做整体，变形为
2
2
(
)
2
x
y


后分解．（2）
2
16(
)
a
b

可写成
2
[4(
)]
a
b

，
2
25(
)
a
b

可写成
2
[5(
)]
a
b

，4(
)
a
b

和5(
)
a
b

分别相当于公式里的a 和b ．
（3）把(
2)
x 
、(2
1)
x 
看作一个整体进行分解．
【答案与解析】
解：（1）
2
2
2
(
)
4
(
)
2
(
2)(
2)
x
y
x
y
x
y
x
y










．
（2）
2
2
2
2
16(
)
25(
)
[4(
)]
[5(
)]
a
b
a
b
a
b
a
b







[4(
)
5(
)][4(
)
5(
)]
a
b
a
b
a
b
a
b







(9
)(
9 )
a
b
a
b



(9
)(
9 )
a
b a
b



．
（3）
2
2
(
2)
(2
1)
[(
2)
(2
1)][(
2)
(2
1)]
x
x
x
x
x
x










(3
1)(3
)
x
x



．
【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式.
举一反三：
【变式】将下列各式分解因式： 
（1）




2
2
25
9
a
b
a
b



；     （2）

2
2
2
3
4
x
y
x


（3）
3
3
x y
xy


；               （4）
3
2
4
36
x
xy

；
【答案】
解：（1）原式








5
3
5
3
a
b
a
b
a
b
a
b













            





8
2
2
8
4 4
4
a
b
a
b
a
b
a
b






（2）原式＝


2
3
2
2
3
2
x
y
x
x
y
x




         ＝


3
4
3
y
x
y


（3）原式





2
2
xy x
y
xy x
y
x
y





（4）原式





2
2
4
9
4
3
3
x x
y
x x
y
x
y





2、分解因式：
 （1）
2
1
2
8 x


；   （2）
3
3
a b
ab

；   （3）
5
16
x
x

；    （4）
2
(
1)
(1
)
a
b
a



【答案与解析】
解：（1）
2
2
1
1
1
2
(
16)
(
4)(
4)
8
8
8
x
x
x
x







．
（2）
3
3
2
2
(
)
(
)(
)
a b
ab
ab a
b
ab a
b a
b






．
（3）
5
4
2
2
2
16
(
16)
(
4)(
4)
(
4)(
2)(
2)
x
x
x x
x x
x
x x
x
x










．
（4）
2
2
2
(
1)
(1
)
(
1)
(
1)
(
1)(1
)
(
1)(1
)(1
)
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
b














．
【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分
解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止．
举一反三：
【变式】（2015•杭州模拟）先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a
3b
﹣
）2，其中a=
．
【答案】
解：原式=（2a+3b+2a
3b
﹣
）（2a+3b
2a+3b
﹣
）
=4a×6b=24ab，
当a=
，即ab= 时，
原式=24ab=4．
类型二、平方差公式的应用
3、
（2016 春•新化县期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产
生密码，例如x4
y
﹣4=（x
y
﹣）
（x+y）
（x2+y2），当x=9，y=9 时，x
y=0
﹣
，x+y=18，x2+y2=162，则密
码018162．对于多项式4x3
xy
﹣
2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？
【思路点拨】首先将多项式4x3
xy
﹣
2进行因式分解，得到4x3
xy
﹣
2=x（2x+y）（2x
y
﹣），然后把
x=10，y=10 代入，分别计算出2x+y=及2x
y
﹣的值，从而得出密码．
【答案与解析】
解：原式=x（4x2
y
﹣2）=x（2x+y）（2x
y
﹣），
当x=10，y=10 时，
x=10，2x+y=30，2x
y=10
﹣
，
故密码为103010 或101030 或301010．
【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密
码产生的方法是关键．
4、（2015 春•成武县期末）阅读下面的计算过程：
（2+1）（22+1）（24+1）
=（2
1
﹣）（2+1）（22+1）（24+1）
=（22
1
﹣）（22+1）（24+1）
=（24
1
﹣）（24+1）
=（28
1
﹣）．
根据上式的计算方法，请计算：
（1）
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
．
【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
【答案与解析】
解：（1）原式=2（1﹣）（1+ ）（1+
）（1+
）…（1+
）
=2（1﹣
）（1+
）（1+
）…（1+
）
=2（1﹣
）（1+
）…（1+
）
=2（1﹣
）
=
；
（2）原式= （3
1
﹣）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
= （32
1
﹣）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
= （364
1
﹣）﹣
=﹣．
【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．