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因式分解方法（1）
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1.理解因式分解的定义；
2. 掌握提取公因式法.公式法.分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式.
1.分解因式
（1）把一个多项式化成几个整式的__________,这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（2）因式分解与整式乘法是互逆关系。
注意：因式分解与整式乘法的区别和联系:
①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；
②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。
2.提公共因式法
（1）如果一个多项式的各项含有________,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成
两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: ab＋ac＝a（b＋c）
（2）概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”；
②公因式可能是单项式,也可能是多项式；
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）
3.运用公式法
（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运
用公式法。
（2）主要公式：
①平方差公式：____________________
②完全平方公式: ____________________
(3)易错点：
因式分解要分解到底。如
就没有分解彻底。
4.因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先______________；
(2)再看能否使用公式法；
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；
2
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内______________.
参考答案：
1. (1) 积的形式
2.(1) 公因式
3.(2)
,
4.(1) 提取公因式(5) 不能再分解为止
1.因式分解的定义
【例1】（2014 安徽省中考）下面的多项式中，能因式分解的是( )
A.m2+n
B.m2-m+1
C.m2-n
D.m2-2m+1
【解析】在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，
三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，分解到
每个因式不能再分为止。因此，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判
断后利用排除法求解。
【答案】D
练习1.（2014 四川凉山一中月考）下列多项式能分解因式的是【 】
A．
B．
C．
D．
【答案】C
练习2.（2014 贵州黔南三中周测）下列多项式中，不能用公式法分解因式的是【 】
A．
B．
C．
D．
【答案】D
2.利用提取公因式的方法分解因式
【例2】多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（ ）
A．(n－2)(m＋m2)
B．(n－2)(m－m2)
C．m(n－2)(m＋1)
D．m(n－2)(m－1)
【解析】相反的项要变形，然后找到各项的公共部分，提出即可。
【答案】C
练习3.
（ ）
【答案】a2+2a+6
练习4.
【答案】（1-a）
练习5．3ab2＋a2b＝_______.
【答案】ab(3b+a)
3.公式法分解因式
【例3】（2014 江苏无锡实验中学期中）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1 的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）
B．x2
C．（x+1）
2
D．（x﹣2）
2
【解析】把x﹣1 看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分
解即可：
（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2。
3
【答案】D
练习6. （2014 湖北恩施一中期中）a4b﹣6a3b+9a2b 分解因式得正确结果为（ ）
A．a2b（a2﹣6a+9） B．a2b（a﹣3）（a+3）
C．b（a2﹣3）
2
D．a2b（a﹣3）
2
【答案】D
练习7. 下列分解因式正确的是（ ）
A．3x2－6x＝x(3x－6) B．－a2＋b2＝(b＋a)(b－a)
C．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y) D．4x2－2xy＋y2＝(2x－y)2
【答案】B
练习8.（2014 内蒙古呼和浩特中考）下列各因式分解正确的是（ ）
A．﹣x2+（﹣2）
2=（x﹣2）（x+2） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）
2
C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）
2
D．x2﹣4x=x（x+2）（x﹣2）
【答案】C
4.两两分组分解因式
【例4】
【解析】这个式子有四项考虑分组的方法分解因式，找有公因式的项分一组，所以一三分一组，
二四分一组，再提取公因式就可以了。
【答案】原式=（7x2+xy）-（3y+21x）
=x（7x+y）-3（7x+y）
=（x-3）（7x+y）
练习9．对2m+mp+np+2n 运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）
A. (2m+2n +np)+mp B. (2m+np) +(2n+mp)
C.(2m+2n)+（mp+np）D. (2m+2n +mp)+np
【答案】C
练习10．分解因式：
【答案】（5x2-1）（x-3）
练习11.多项式x2－ax－bx＋ab 可分解因式为（ ）
A.－(x＋a)(x＋b) B.(x－a)(x＋b)
C.(x－a)(x－b) D.(x＋a)(x＋b)
【答案】C
5.一三分组分解因式
【例5】
【解析】这是一个四项式，考虑分组分解因式，这个式子有两个平方项，所以考虑一三分组进
行因式分解。
【答案】原式=1-（x2-4xy+4y2）=1-（x-2y）2=（1-x+2y）（1+x-2y）
练习12．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（ ）
A.(x－6y＋3)(x－6x－3) B.－(x－6y＋3)(x－6y－3)
C.－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D.－(x－6y＋3)(x－6y＋3)
【答案】C
练习13. 因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________.
【答案】(3x+y+2)（3x-y-2）
4
6.因式分解的综合题
【例6】已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值
【解析】先把原式进行因式分解，式子有四项考虑分解因式，再把a＋b=0 代入即可求出结果。
【答案】原式= a3－2b3＋a2b－2ab2
= （a3＋a2b）－（2b3+2ab2）
=a2（a+b）-2b2（a+b）
=（a+b）（a2-2b2）
把a＋b=0 代入，原式=0
练习14. 已知a.b.c 为△ABC 的三条边的长,当
时，试判断△ABC 属于哪一
类三角形；
【答案】等腰三角形
练习15. （a+b）2-4（a+b-1）
【答案】（a+b-2）2
练习16.已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac 的值
【答案】36
1.
．
【答案】m(n+3)2
2. xy﹣x= ．
【答案】x（y﹣1）
3. （2014 海南省中考）
= .
【答案】 (x+1)(x-1)
4. （2014 陕西省中考）
．
【答案】xy(x-y)2
5. 2x2﹣10x= ．
【答案】2x（x﹣5）
6. 2x2﹣10x= ．
【答案】2x（x﹣5）
7. x2－36=
【答案】（x＋6）（x－6）。
8. a2﹣9= ．
【答案】（a+3）（a﹣3）。
9. 2x2－8＝ ．
【答案】2(x＋2)(x－2)。
10. x2﹣9= ．
【答案】（x+3）（x﹣3）。
11. （2014 江苏淮安中考）
。
5
【答案】 (a+1)2
12.分解因式：ax2－ay2 = .
【答案】a（x＋y）（x－y）。
13.分解因式：
=
．
【答案】 (a-3)2
14.分解因式:
＝ .
【答案】 (a+2b)(a-2b)
15.分解因式
.
【答案】 (x-y)(x+z)
16．已知y2+my+16 是完全平方式，则m 的值是（ ）
A．8
B．4
C．±8
D．±4
【答案】C
17．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2-6x-9
B．a2-16a+32
C．x2-2xy+4y2
D．4a2-4a+1
【答案】D
18．已知9x2-6xy+k 是完全平方式，则k 的值是________．
【答案】y2
19．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）
2
【答案】-30ab
20．把下列各式分解因式：
①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2
【答案】①（a+5）2；②（m-6n）2
21．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．
【答案】 4
22．你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思
考.联想.探究，进行整体思考.整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．
你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？
（x+2y）2-2（x+2y）+1
【答案】（x+2y-1）2；
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1．下列各式属于正确分解因式的是（ ）
A．1+4x2=（1+2x）2
B．6a-9-a2=-（a-3）2
C．1+4m-4m2=（1-2m）2
D．x2+xy+y2=（x+y）2
【答案】B
2．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（ ）
A．（x-y）4
B．（x2-y2）4
C．[（x+y）（x-y）]2
D．（x+y）2（x-y）2
【答案】D
3．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．
【答案】-y2；2x-y
4．已知a2+14a+49=25，则a 的值是_________．
【答案】-2 或-12
5.分解因式：2x2－4x＋2=
【答案】2（x－1）2
6.分解因式：
= ．
【答案】x (x+y)
7.分解因式：3a2b+6ab2= ．
【答案】3ab（a+2b）。
8.分解因式：8a2﹣2= ．
【答案】2（2a+1）（2a﹣1）。
9.分解因式：x3﹣x= ．
【答案】x（x+1）（x﹣1）
10.分解因式：a2﹣2a= ．
【答案】a（a﹣2）
11.因式分解：m2﹣mn= ．
【答案】m（m﹣n）
12.分解因式：x2﹣5x = ．
【答案】x（x﹣5）
13.因式分解：x3﹣x= ．
【答案】x（x+1）（x﹣1）
14.分解因式：3m2﹣6mn+3n2=
．
【答案】3（m﹣n）2
15.已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0 时，3P﹣2Q=7 恒成立，则y 的值为
．
【答案】2
16.分解因式：3a2﹣12= ．
【答案】3（a+2）（a﹣2）。
17.分解因式：
【答案】ab(b+2)(b-2)
18.（2014 四川广元一中期末）分解因式：
=
7
【答案】3m(m-3n)2
19.因式分解：
=
【答案】 (x+3)(x-3)
20.分解因式：x3-6x2+9x=
【答案】x(x-3)2
21.(1)xy3-2x2y2+x3y (2)（x2+4y2）2-16x2y2
【答案】(1)xy（x-y）2；(2)（x+2y）2（x-2y）2
22．已知│x-y+1│与x2+8x+16 互为相反数，求x2+2xy+y2的值．
【答案】49
课程顾问签字： 教学主管签字：
