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因式分解方法（2）
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1.能熟练的运用多种方法分解因式；
2.掌握十字交叉相乘的方法分解因式.
1.二次三项式
（1）多项式
，称为字母x 的二次三项式，其中 称为二次项，
为一
次项， 为常数项．
例如：
和
都是关于x 的二次三项式．
（2）在多项式
中，如果把 看作常数，就是关于
的二次三项式；如
果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．
（3）在多项式
中，看作一个整体，即 ，就是关于 的
二次三项式．同样，多项式
，把 看作一个整体，就是
关于 的二次三项式．
2.十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为1 的二次三项式
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项
系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1 的二次三项式
2
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一
次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉
相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
参考答案：
1.(1) ax2,bx,c
(2)8y2,x,x2,y
(3)2(ab)2-7ab+3,ab,(x+y), (x+y)
1.利用十字相乘法分解因式
【例1】（2014 安徽省中考）分解因式：
【解析】将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项
可分为(－2y)(－3y)，而(－
2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．
【答案】解：
练习1.（2014 四川凉山一中月考）
；
【解析】常数项－15 可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2 恰为一次项系数
【答案】
；
练习2.（2014 贵州黔南三中周测）
__________．
【答案】(x＋5)(x－2)
2.二次项系数不为1 的十字相乘
【例2】把下列各式分解因式：
（1）
；（2）
．
【解析】我们要把多项式
分解成形如
的形式，这里
，
而
．另外，二次项系数不等于1 的二次三项式应用十字相乘
法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是
用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
3
【答案】解：（1）
；
（2）
．
练习3.
(x－3)(__________)．
【答案】2x＋1
练习4.
【答案】(a+2b)（5a-3b）
练习5．
【答案】（6x+1）（x-1）
练习6.
【答案】（2y-1）（5y-1）
3.把其中一个量看成一个整体
【例3】分解因式：
【解析】把
看作一整体，从而转化为关于
的二次三项式；注意，要深刻理解换元的思
想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成
二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，
如能分解，要分解到不能再分解为止．
【答案】解：
＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．
练习7. （2014 湖北恩施中考）
【答案】原式
练习8.（2014 青海西宁中考）分解因式：
．
【答案】解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，
5×5＋1×(－2)＝23．
∴ 原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．
练习9.（2014 内蒙古呼和浩特一中期中）
；
【答案】 原式
4
4. 换元法分解因式
【例4】分解因式：
．
【解析】把
看作一个变量，利用换元法解之．
【答案】解：设
，则
原式＝(y－3)(y－24)＋90
＝(y－18)(y－9)
．
注意：本题中将
视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良
好效果．此外，
一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．
练习10．分解因式
．
【解析】方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式．
方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．
【答案】解法1：
．
解法2：
＝(x－y－6)(x－y＋1)．
练习11．
．
【答案】解：
5
练习12.
；
【解析】提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；
【答案】解：
＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]
＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．
5.重新分组分解因式
【例5】分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
【解析】先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．
【答案】解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)
＝(a－b)(c－a)(c－b)．
练习13．
；
【答案】原式
练习14. 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
【解析】先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
【答案】解：原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．
令y=2x2+5x+2，则
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
6
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
6.因式分解的综合题
【例6】
．
【解析】仔细观察式子，把这个式子变形为（x2+xy+y2）（x2+xy+y2+y2）-12y4，再把式子乘开，
把x2+xy+y2看成一个整体即可因式分解。
【答案】原式
练习15.
．
【答案】原式
练习16.
；
【答案】原式
1．如果
，那么p 等于 ( )
A．ab
B．a＋b
C．－ab
D．－(a＋b)
【答案】D
2．如果
，则b 为 ( )
A．5
B．－6
C．－5
D．6
【答案】B
3．多项式
可分解为(x－5)(x－b)，则a，b 的值分别为 ( )
A．10 和－2
B．－10 和2
C．10 和2
D．－10 和－2
【答案】D
4．不能用十字相乘法分解的是( )
7
A．
B．
C．
D．
【答案】C
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1 的多项式有 ( )
①
； ②
； ③
；
④
； ⑤
； ⑥
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
7．
(m＋a)(m＋b)．
a＝__________，b＝__________．
【答案】1 或－6，－6 或1
8．
____
(x－y)(__________)．
【答案】xy，x＋2y
9．
．
【答案】
，a,
10．当k＝______时，多项式
有一个因式为(__________)．
【答案】－2，3x＋1 或x＋2
11．若x－y＝6，
，则代数式
的值为__________．
【答案】17
12．把下列各式分解因式：
（1）
； （2）
；
8
（3）
；
【答案】（1） 原式
（2） 原式
（3） 原式
13．把下列各式分解因式：
（1）
；（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【答案】（1） 原式
（2） 原式
（3） 原式
（4） 原式
（5） 原式
9
（6）原式
14．把下列各式分解因式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
【答案】（1） 原式
（2）原式
（3） 原式
15．已知
有因式2x－5，把它分解因式．
【答案】提示：
16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，
，求a 的值．
【答案】∵
，
又∵
，xy＝a＋4，
，∴
，
10
解之得，a＝－7．
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1．分解因式6x2－5x+1=(2x－m)(3x－n),那么m、n 的值是( )
A．m=2,n=3
B．m=－2,n=－3
C．m=n=1
D．m=n=－1
【答案】C
2．多项式x2＋3x－54 分解因式为（ ）
A．(x＋6)(x－9)
B．(x－6)(x＋9)
C．(x＋6)(x＋9)
D． (x－6)(x－9)
【答案】B
3．分解a2-a-12 的结果为（ ）
A．(a-3)(a+4)
B．(a+3)(a-4)
C．(a-6)(a+2)
D．(a+6)(a-2)
【答案】B
4．分解x2+2x-8 的结果为（ ）
A．(x+4)(x-2)
B．(x-4)(x+2)
C．(x+4)(x+2)
D．(x-4)(x-2)
【答案】A
5．若分解x2-x+m 得到两个因式x-2 与x-n，则m+n 的值= ．【答案】-3
6．因式分解x2+5x+6 = ． 【答案】(x+2)（x+3）
7．因式分解x2+x-30= ．【答案】(x+6)（x-5）
8．因式分解x2+4x-32= ．【答案】(x+8)（x-4）
9．因式分解x2-7x+6= ．【答案】(x-1)（x-6）
10．因式分解x2-4x-21= ．【答案】(x-7)（x+3）
11．因式分解t2-2t-8= ．【答案】(t-4)（t+2）
12．因式分解m2+7m-18= ．【答案】(m+9)（m-2）
分解因式
13．2x2＋3x＋1 【答案】(x+1) (2x+1)
14．
【答案】(x-1) (3x-2)
15．
【答案】2(x-6) (x+2)
16．
【答案】 (ab+2) (ab+6)
17．
【答案】y(x-9)(x+4)
18．
【答案】2xy(2xy-3x+1)
19．
【答案】-a(a+6)(a-2)
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课程顾问签字： 教学主管签字：
