文档文本内容
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二次根式
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1、了解二次根式的意义，理解二次根式的双重非负性，掌握和应用其性质；
2、通过数学技能的训练，培养学生观察分析、归纳概括的能力；
3、通过新旧知识点的联系以及问题探索，启发学生学习数学的兴趣．
1．二次根式的定义
一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是_______．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
3．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0；
≥0（双重非负性）．
②（
）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③
=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数开方数是_____．
4．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：√ab=√a•√b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：√a•√b=√ab（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：√
a
b = √a
√b
（a≥0，b＞0）
2
（4）二次根式的除法法则：√a
√b =√
a
b
（a≥0，b＞0）
5．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根
式进行合并，合并方法为系数相______，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因
式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的
混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项
式“．
（2）二次根式的运算结果要化为______二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题
途径，往往能事半功倍．
7．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避
免互相干扰．
参考答案：
2.（2）非负数
3.（3）③2
5.（1）加减
6.（2）最简
1. 实数的运算；二次根式的性质与化简．
【例1】（2014•陕西师大附中期末）实数a，b，c 在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|﹣
的
值是（ ）
A．﹣b﹣c
B．c﹣b
C．2（a﹣b+c）
D．2a+b+c
3
【解析】此题考查了绝对值和二次根式的性质，|a|=
，
，由数轴可
知b＜c＜0＜a，|a|＜|b|，所以|a+b|=﹣a﹣b，
=﹣c．
解：a+|a+b|﹣
=a﹣a﹣b+c=c﹣b．
故选B．
练1. 下列计算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】此题考查了二次根式的运算，要注意运算法则和运算顺序．
解：解：A、2
+3
不能合并，故不对；
B、算式中，
无意义，正确计算为：
=
=4，故不对；
C、
=
=
=
，故不对；
D、
=
=
，正确．
故选D．
2. 二次根式的定义．
【例2】（2014•常熟二中月考）下列说法错误的是（ ）
A．零和负数没有算术平方根
B．
是一个非负数，也是二次根式
C．
的最小值是4
D．
的值一定是0
【解析】根据二次根式的定义进行逐一分析即可．
解：A、零的算术平方根是0，负数没有平方根，故错误；
B、a2+b2是非负数，所以
是一个非负数，也是二次根式，故正确；
C、∵x2+16≥16，∴当x=0 时，
有最小值是4，故正确；
D、∵﹣（x﹣1）2≤0，∴
有意义的情况下它的值一定是0，故正确．
故选A．
练2. 对于
，以下说法正确的是（ ）
A．对于任意实数a，它表示a 的算术平方根
B．对于正实数a，它表示a 的算术平方根
4
C．对于正实数a，它表示a 的平方根
D．对于非负实数a，它表示a 的算术平方根b
【解析】根据二次根式的概念可知．
解：
（a≥0）表示的是非负数a 的算术平方根．
故选D．
练3. 若
是二次根式，则下列说法正确的是（ ）
A．x≥0，y≥0
B．x≥0 且y＞0 C．x，y 同号
D．≥0
【解析】二次根式中的被开方数必须是非负数．
解：依题意有
≥0，即≥0．
故选D．
3. 二次根式有意义的条件．
【例3】（2014•辽宁营口一中期中）使
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≤2
C．x≤2 且x≠﹣1
D．x≥2 且x≠﹣1
【解析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求
解．
解：根据题意，得
，
解得x≤2 且x≠﹣1．
故选C．
练4. 如果
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≤1 且x≠﹣2C．x≠﹣2
D．x＜1 且x≠﹣2
【解析】本题考查了代数式有意义的x 的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；
偶次根式被开方数大于或等于0；此题要同时满足这两个条件．
解：由分式的分母不为0，得2+x≠0，即x≠﹣2．
又因为二次根式的被开方数不能是负数，
所以有1﹣x≥0，得x≤1，
所以x 的取值范围是x≤1，且x≠﹣2．
故选：B．
练5. 已知：1＜x≤4，则下列式子中有意义的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据所给范围得到二次根式的被开方数为非负数；分母不为0 的式子即可．
解：A、当x=4 时，
分母为0，无意义，不符合题意；
5
B、当x=4 时，
分母为0，无意义，不符合题意；
C、当1＜x＜2 时，
中的被开方数为负数，无意义，不符合题意；
D、当1＜x≤4 时，分子，分母均有意义，符合题意；
故选D．
4．二次根式的性质与化简．
【例4】（2014•大同阳高中学期末）下列各式运算中，正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2B．
C．a3•a4=a12
D．
【解析】根据完全平方公式，二次根式的化简、同底数幂的乘法法则，平方等概念分别判断．
解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；
B、
=
=3，正确；
C、a3•a4=a12，错误；
D、
=
，错误．
故选B．
练6. 化简二次根式
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据二次根式找出隐含条件a+2≤0，即a≤﹣2，再化简．
解：若二次根式有意义，则﹣
≥0，
﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，
∴原式=
=
．
故选B．
5．函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【例5】（2014 秋•涿州十中期末模拟）在函数
中，自变量x 的取值范围是 ．
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0 可知：x﹣5＞0，
可解自变量x 的取值范围．
解：根据题意得：x﹣5＞0，
解得x＞5．
练7．函数
中自变量x 的取值范围是 ．
6
【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
解：根据题意得：x﹣4＞0，解得x＞4．
1．若代数式
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2
B．x≤
C．x≤且x≠﹣2 D．x≤﹣且x≠﹣2
2．使
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≠1 D．x≥0 且x≠1
3．函数
的自变量x 的取值范围是 ．
4．在函数y=
中，自变量x 的取值范围是 ．
5．已知数a 满足
，求a﹣20042的值．
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1． 使式子
有意义的实数x 的取值范围是（ ）
A．0≤x≤ B．0≤x＜
C．x＜
D．x＞
2．能使
是一个实数的x 有（ ）
A．0 个
B．1 个 C．2 个
D．无数个
3．当
有意义时，x 满足条件（ ）
A．x≥﹣
B．x＜3
C．﹣≤x＜3
D．﹣3＜x＜3
4．下列命题：①当x＜0 时，
在实数范围内有意义．②当x＜2 时，
=1﹣x．③
﹣1 的倒数是
+1．④若
=x，则x 一定是非负数．其中正确的有多少个（ ）
A．1 个
B．2 个 C．3 个 D．4 个
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5．使式子
有意义的实数x 的取值范围是（ ）
A．x≤
B．x＜且x≠0 C．x＜
D．x≤且x≠0
6．如果
有意义，则（ ）
A．a≥0 B．a≥2
C．0＜a≤2
D．a 为一切实数
7．二次根式运算：
（1）
；
（2）
．
8．二次根式计算：﹣22÷（
）﹣|
2|
﹣．
9．已知实数满足
，求x﹣20082的值．
10．已知x、y 为实数，
，试求3x+4y 的值．
8
参考答案：
当堂检测
1.
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求
解．
【解答】解：由题意得
，
解得x≤且x≠﹣2．
故选C．
2．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义时，字母的取值范围，式子中主要有二次根式和分式两部
分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0 可知：
≥0，解得x≥1；
根据分式有意义的条件，x﹣1≠0，解得x≠1．
即x＞1 时，二次根式有意义．
故选A．
3．
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的意义，被开方式不能是负数．据此求解．
【解答】解：根据题意得6﹣x≥0，
解得x≤6．
4．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可求得x 的范
围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3＞0，
解得x＞3．
5．
【考点】二次根式有意义的条件；绝对值．
【分析】根据二次根式的性质可得，a﹣2005≥0，即a≥2005．化简原式即可求解．
【解答】解：根据二次根式的性质可得，a﹣2005≥0，即a≥2005，
由原式可得，a﹣2004+
=a
9
∴
=2004
∴a﹣2005=20042
∴a﹣20042=2005．
故选：A．
家庭作业
1．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求
解．
【解答】解：由题意得
，
解得0≤x＜．
故选B．
2．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据负数没有平方根可以判断：根号里的数一定是0．依此列出不等式计算．
【解答】解：∵
是一个实数，
∴﹣（x﹣1）2≥0，即（x﹣1）2≤0
又（x﹣1）2≥0
∴x﹣1=0，解得x=1，
故选B．
3．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母中有字母时，分母不为0．
【解答】解：依题意有3x+7≥0，
解得x≥﹣，
且3﹣|x|＞0，即﹣3＜x＜3，
所以x 满足条件﹣≤x＜3．
故选C．
4．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数；和二次根式的性质：
=|a|，进
行分析判断．
【解答】解：①当x＜0 时，﹣＞0，故正确；
②当x＜2 时，x﹣1 的符号不能确定，故错误；
③
﹣1 的倒数是
，得
+1，故正确；
10
④若
=x，则x 一定是非负数，正确．
正确的有三个，故选C．
5．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】本题考查了代数式有意义的x 的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；
偶次根式被开方数≥0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的
公共部分．
【解答】解：由分式的分母不为0，得x≠0；
∵二次根式的被开方数不能是负数，
∴2﹣5x≥0，解得x≤，
∴x 的取值范围是x≤且x≠0．故选D．
6．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】本题主要考查了字母的取值范围，表达式中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式
的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数
≥0，
根据分式有意义的条件，a≠0，根据除法的符号法则有，
①2﹣a≥0 且a＞0，解得0＜a≤2；
②2﹣a≤0 且a＜0，此时无解，
所以，二次根式有意义的条件是0＜a≤2．故选C．
7．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）可以把二次根式化简，合并括号里同类二次根式，再做乘法；也可以用分配律计算；
（2）把被开方数通分再开方．
【解答】解：（1）解法一：原式=
=
=15；
解法二：原式=
=6+9=15；
（2）原式=
=
=
=
．
8．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【分析】分别进行乘方、二次根式的化简、绝对值的化简，然后合并求解．
【解答】解：原式=
4÷
﹣
（2
﹣
）+
2
﹣
=﹣
+2
+
2
﹣
=
+2
2
﹣．
9．
11
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到x 的范围，就可去掉式子中的
绝对值符号，求得x 的值．
【解答】解：∵x﹣2009≥0，
∴x≥2009，
则原式可化简为：x﹣2008+
=x，
即：
=2008，
∴x﹣2009=20082，
∴x﹣20082=2009．
10．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根号内是非负数，分母不为0 来综合考虑，得到相应的未知字母的值．
【解答】解：依题意得
∴x2=4，
∴x=±2
又∵x﹣2 是原式分母，
∴x﹣2≠0
∴x≠2
∴x=﹣2，此时，y=﹣，
∴3x+4y=3×（﹣2）+4×（﹣）=﹣7．
课程顾问签字： 教学主管签字：
