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1
分式
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1.掌握分式的概念.基本性质；
2.掌握最简分式的概念和分式的化简；
3.理解最简公分母，会通分和约分。
1.分式的定义
一般地，如果A，B 表示两个整数，并且B 中含有_______，那么式子
叫做分式，A 为
分子，B 为分母。
2.与分式有关的条件
(1)分式有意义：_______不为0（
）
(2)分式无意义：分母为0（
）
(3)分式值为0：______为0 且______不为0（
）
(4)分式值为正或大于0：分子分母同号（
或
）
(5)分式值为负或小于0：分子分母异号（
或
）
(6)分式值为1：分子分母值相等（A=B）
(7)分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
3.分式的基本性质
分式的分子和分母__________同一个不等于0 的整式，分式的值不变。
2
字母表示：
，
，其中A.B.C 是整式，C
0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子.分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值
不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C
0 这个限制条件和隐含条件B
0。
4.分式的约分
定义：根据分式的_______，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子.分母系数的最大公约数，然后
约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
5.分式的通分
(1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同
分母分式，叫做分式的通分。
(2)分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的_____次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简
公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
① 取各分母系数的最小公倍数；
② 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
③ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
④ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
1.分式的定义
【例1】下列各式中，指出哪些是分式：
【解析】根据分式的定义，满足两个条件：一是分数形式，二是分母中含有字母。
【答案】解：分式有
练习1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4,
,
,
,
，
练习2.（2014 云南曲靖三中周测）下列式子是分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.分式有意义
3
【例2】当x 取什么值时，下列分式有意义？
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解
出字母x 的取值范围.
【答案】解：（1）令
，得
所以可知，当
时，
的分母
，所以
是分式
（2）令
，得
所以可知，当
时，
的分母
，所以
是分式
于是可知，当
时，分式
有意义
当
时，分式
有意义
（3）令
=0，得
，易知
，所以
恒成立
所以可知，x 取任何值，分式
有意义
（4）令
，得
，
所以可知，当
时，分式
有意义
练习3. 当x 取什么值时，下列分式有意义？
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
；(5)
；(6)
练习4. 当x 取什么值时，下列分式有意义？
(1)
；(2)
练习5．当x 取什么值时，下列分式有意义？
(1)
；(2)
4
3.分式的值为0
【例3】当x 为何值时，分式
的值为0？
【解析】分式的值为0 时，必须同时满足两个条件：①分子等于零 ②分母不等于零，两个条
件缺一不可。这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
【答案】解：分式
的值为0 的条件是：
可解得
所以当
时，分式
的值为0。
练习6. （2014 湖北恩施一中期中）当x 为何值时，分式的值为0？
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；
练习7. （2014 青海西宁中考）当x 为何值时，分式
的值为0？
练习8.（2014 内蒙古呼和浩特一中月考）当x 为何值时，分式的值为0？
（1）
；（2）
；（3）
4.分式的项的化简
【例4】将分式
的分子.分母的各项系数都化为整数应为( )
A.
；
B.
；
C.
；
D.
。
【解析】此分式分子分母系数中均含有分数，要化简该分式要把分子分母中胡系数都化为整数，
所以要分子分母同乘各个系数的分母的最简公分母，此题分子分母应同乘30.
【答案】B
练习9．将分式
的分子，分母的各项系数都化为整数应为( )
5
A.
；
B.
；
C.
；
D.
练习10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
（1）
； （2）
【例5】不改变分式的值，使分式的分子与分母中最高次项的系数都是正的
(1)
= ； (2)
= ；
(3)
= ； (4)
= 。
【解析】分子分母或者分式三项中任意两项同时加负号，才能使分式的值不变。
【答案】(1) 5 x−4
x−3 (2)−6 x−9
x
2
−3 x
(3)−x−1
x
2
−2
(4) 4x
2
−3 x
x
3
−x+6
练习11. 不改变分式的值，下列各式中成立的是( )
A.
； B.
；
C.
； D.
练习12.不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”号：
【例6】如果把分式
中的x 和y 的值都扩大5 倍，那么分式的值( )
A.扩大5 倍； B.缩小5 倍；
C.不改变； D.扩大25 倍。
【解析】把分子分母中的x、y 都扩大5 倍，代入计算即可得出结果。
【答案】C
练习13.如果把分式
中的x 和y 的值都扩大2 倍，那么分式的值( )
A.扩大2 倍； B.缩小2 倍；
6
C.不改变； D.扩大4 倍。
练习14.把分式
（x≠0，y≠0）中的分子.分母的x，y 同时扩大2 倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2 倍 B．缩小2 倍 C．改变 D．不改变
5.分式的基本性质
【例7 】填空：（1 ）
，
；（2 ）
，
【解析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。
【答案】解：（1）
；（2）
练习15. （1）
；（2）
；（3）
练习16. （1）
；（2）
6.分式的约分
【例8】约分：（1）
；（2）
【解析】把分式中分子与分母的公因式约去（它的依据是分式基本性质）。
【答案】 解：（1）
（2）
练习17.约分：
（1）
；（2）
；（3）
练习18.约分下列分式（1）
；（2）
；（3）
7.分式的通分
【例9】通分：
；
【解析】定义：把各分式变成分母相同的分式变换叫做通分
7
先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做
最简公分母
【答案】解：最简公分母是
；
，
练习19. 通分：
练习20.通分：
（1）
；（2）
1．如果分式
的值为0，那么x 的值是（ ）
A．0
B．5
C．－5
D．±5
2.把分式
中的x，y 都扩大2 倍，则分式的值（ ）
A．不变
B．扩大2 倍
C．扩大4 倍
D．缩小2 倍
3．下列分式中，最简分式有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
4．若2x+y=0，则
的值为（ ）
A．－
C．1 D．无法确定
5．使分式
等于0 的x 值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．不存在
6．下列各式中正确的是（ ）
8
7．当x> ______ 时，分式
的值为正数．
8．（2014 福建南平一中期末）已知分式
，当x= 时，分式没有意义；当x=______时，
分式的值为0；当x=－2 时，分式的值为______．
9．一辆汽车往返于相距akm 的甲.乙两地，去时每小时行mkm，返回时每小时行nkm，则往返
一次所用的时间是________h．
10. 约分：
（1）
（2）
11.通分（1）
和
（2）
和
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1．下列计算结果正确的是（ ）
2．（2014 四川宜宾中考）下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列各分式中，最简分式是（ ）
9
A．
B．
C．
D．
4．（2014 福建三明一模）化简
的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
5．若把分式
中的x 和y 都扩大2 倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2 倍
B．不变
C．缩小2 倍
D．缩小4 倍
6．若分式
的值等于0，则y= ．
7．在比例式9：5=4：3x 中，x= _________．
8.当a=_______时，关于x 的方程
=
的解是x=1．
9. 约分（1）
（2）
10．通分：
（1）
和
（2）
和
课程顾问签字： 教学主管签字：
