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二次跟式的加减
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1.掌握二次根式的概念、性质；
2.掌握二次根式的加减运算.
1.二次根式的有关概念：
(1)二次根式：式子
(a≥0)叫做二次根式。
(2)最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含_______________________。如
不是最简二次根式，因被开方数中含有
4 是可开得尽方的因数，又如
，
，
..........都不是最简二次根式，而
，
，
5
，
都是最简二次根式。
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果_____________，这几个二次根式
就叫做同类二次根式。如
,
,
就是同类二次根式，因为
=2
，
=3
，它们与
的被开方数均为2。
(4)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个
代数式互为有理化因式。如
与
，a+
与a-
，
-
与
+
，互为有理化因式。
2.二次根式的性质：
(1)
(a≥0)是一个非负数, 即
≥0;
1
(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(
)2=a(a≥0)；
(3)某数的平方的算术平方根等于某数的__________，即
=|a|=
(4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即
=
·
（a≥0,b≥0）。
(5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即
=
（a≥0,b>0 ）。
3.二次跟式的加减
法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变。
参考答案：
1.（2）能开得尽方的因数或因式(3) 被开方数相同
2.(3) 绝对值
1.二次根式的概念和性质
【例1】
（2014 湖北宜昌一中期中）在式子
中，一定是二次根
式的有（ ）
A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个
【解析】根据二次根式的定义，被开方数是非负数，符合条件的就是二次根式。
【答案】C
练习1. 在式子
，
中，是二次根式的
有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
练习2. 下列各式中，是二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【例2】x 是怎样的数时，下列各式有意义？
（1）
(2)
(3)
【解析】使
有意义的条件是a≥0
【答案】（1）无论x 去任何数都有
≥0，则
+1 恒大于1；
（2）
为分母，则x-1 一定不能为0 且x-1≥0，所以x-1>0，x>1；
（3）x+1≥0，x-1≠0，x-2≠0 得x≥-1 且x≠1，x≠2.
2
练习3. 当取什么实数时，下列各式有意义?
（1）
； ⑵
； ⑶
；
【答案】（1）x≤0；
（2）x 可以为任意实数；
（3）
练习4. （1）
；（2）
；（3）
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）
.
2. 计算
【例3】
（1）
；
（2）
；
（3）
（a<3）；（4）
（x<
）
【解析】根据二次根式的性质
和
，计算结果即可。
【答案】解：（1）
＝
＝5
（2）
＝|－1.5|＝1.5
（3）∵
，∴
.
∴
＝|a－3|＝－（a－3）＝3－a（a<3）
（4）∵
，∴
.
∴
＝|2x－3|＝－（2x－3）＝3－2x （x<
）
练习5. 计算下列各式：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【答案】（1）13；（2）3.5；（3）6；（4）100
练习6. （1）
（2）
【答案】（1）
（2）
3.二次根式的定义和非负性的应用
【例4】（2014 吉林四平二中期中）已知实数
满足
，求
的值。
【解析】由上述性质②
≥0,即
，
3
∴
,∴原方程可化为
∴
，∴
【答案】
练习7．（2014 浙江温州一中月考）已知
，求
的值．
【答案】原式可化为
+
+
+4c+4=0，即
+
+
=0,。
由二次根式.绝对值.平方的性质可知，
，
，
每一项都不小于0，若它
们的和为0，则必须要求它们每一项皆为0，所以：
，
，
，得
，
b=-3，c=-2。
练习8. 已知实数满足
，求
的值。
【答案】由题意知：
得a≥2009；则原式可化为：
+
=a，化简知，
=2008，
，得
=2009
【例5】实数a，b 在数轴上的位置如图，那么化简
-
的结果是（ ）
A.2a-b B.b C.-b D.-2a+b
【解析】注意判断绝对值内部的数（a-b）和a 的正负，有数轴可得，b＜0＜a，|b|＞|a|，原式=a-b-
a=-b.
【答案】C
练习9．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：
__ ___。
【答案】1
练习10．已知△ABC 的三边分别为a.b.c 则
___ ___
【答案】0
4.二次根式的综合应用
【例6】（2014 浙江湖州中考）已知实数x.y 满足
，求9x＋8y 的值。
【解析】被开方数为非负数，分母不等于0，根据这两个条件，可求x=-2，y=3，进而可求原式的值。
【答案】x=-2,y=3 原式=6
练习11．若
【答案】-24.
4
b
a
O
练习12．若
是实数，且
，化简
.
【答案】-1
【例7】在实数范围内分解因式：
(1)x4－9；
(2)3x3－6x； (3)3x2－5．
【解析】在实数范围内分解因式，主要考察分解到底，比如，（2）先提取公因式，再利用平方差公
式即可。
【答案】（1）（x²+9）（x+3）（x-3） （2）3x（x+
）（x-
） （3）（
x+5）（
x-5）
练习13．在实数范围内分解因式：
1
⑵
【答案】（1）（1）3x（
x+1）（
x-1） （2）（x-
）2
1．下列根式能合并的一组是（ ）【答案】B
A． a a 和
3a
2
B．3a a 和
2
1
a
a
C．
2a 和
2
3a
D．
3
3a 和
4
3a
2．（2014 浙江丽水一中期中）若最简二次根式
3a b
4a
3b
和
2a
b
6
能合并，则a，b 的
值分别是（ ）
【答案】D
A．2 和1
B．1 和2
C．2 和2
D．1 和1
3．若
m n
4n
和3m
n
是能合并的二次根式，则m，n 的值为（ ）【答案】B
A．m=1，n=1
B．m=0，n=2
C．m=1，n=1 或m=0，n=2
D．m=2，n=0
4．下列各式正确的是（ ）【答案】D
①
a
b
a
b
②
2
2
a
b
a
b
③5 x
2 2
3
④a x
b x
a
b x
⑤2 2a
3 3a
5 5a
⑥2 3a
3a
3 3a
A．①③
B．②⑤
C．④
D．⑥
5．计算
1
2 12
4
3 48
27
的值是（ ）【答案】C
5
A．
140 5
9
B．
70 3
3
C．
140 3
9
D．
70 3
9
6．已知
48
4 x
2 3
则x 的值是（ ）【答案】C
A．3
B．
3
2
C．
3
4
D．
3
8
7．若a＞0，b＞0，计算
b
a
a
b
＝______。【答案】
a
b
ab
ab
8．如果
3
x
2 12
4
，那么x＝______。【答案】
14
3
3
9．若a，b 均为有理数，且
1
8
18
a
b 2
8
,则a＋b_____。【答案】
21
4
10．已知x＋y＝5,xy＝3 ，则
x
y
y
x
________。【答案】
5
3
3
11．计算：
3
3
2x
x
1
9x
6x
x
3
4
x
的结果是______。【答案】4x x
12．已知
1
x+
2
10
x
，则
2
2
1
x
x
_______。【答案】12
4 10
13．计算：（1）
2
18
2 216
6
125
27
；
【答案】原式=
2
34
3 2
12 6
6
5 5
3 2
16
5 5
3
3
；
（2）
1
1
1
1
1
( 108
3
6
)
2(
27)
3
2
3
8
3
；
【答案】原式=
1
3
1
1
2
1
6 3
2
2 3
2
2
3
2 3
2
3
2
2 3
3
2
4
2
3
2
（
）- （
）
10
3
2
3
；
6
（3）
2
2
2
2
2
b
b
b
a
8
a
(
ab
)
8
2a
2a
2b
a b
【答案】原式=
1
1
1
1
7
2b
(
2b
2b
2 2b)
2b
(
2b)
4
2
4
4
4
1
7
2b
2b
2 2b
4
4
。
14．已知x
3
1
，y
3
1
，求
2
2
2
2
x
y
x y
xy
的值。
【答案】原式=
(x
y)(x-y)
x
y
( 3
1)
( 3
1)
3
1
3
1
2
1
xy(x
y)
xy
3-1
2
( 3
1)( 3
1)
。
15．已知a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简
2
2
a
a+b
(c
a)
b
c
。
【答案】：解：由题意，知c＜a＜0＜b，且|a|＜|b|＜|c|
a
∴＋b＞0，c－a＜0，b－c＞0，
∴原式=-a-（a+b）-（a-c）-（b-c）
=-a-a-b-a+c-b+c
=-3a-2b+2c
16．已知一个直角三角形的两直角边分别为(5
3)
厘米和(5
3)
厘米，求这个三角形的周
长和面积。
【答案】解：设直角三角形的斜边长为x 厘米，则
2
2
x
(5
3)
(5
3)
25 10 3
3
25 10 3
3
56
。
∴x
56
2 14
。
∴直角三角形的周长为5+ 3
5
3
2 14
10
2 14
（厘米），
直角三角形的面积为
1
1
(5
3)(5
3)
(25
3)
11
2
2
（平方厘米）。
7
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1.计算：
＝____________【答案】0
2.计算：
＝____________【答案】
3.如果最简二次根式
和
是可以合并的，那么
＝__________【答案】5
4.计算：
＝__________【答案】0
5.下列二次根式中，能与
合并的二次根式是（ ）【答案】B
A.
B.
C.
D.
6. 下列计算：①
；②
；③
；④
；⑤
.其中正确的是（ ）【答案】C
A.①和③
B.②和③
C.③和④
D.③和⑤
7.计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
；（2）
；
8.已知
和最简二次根式
的被开方数相同，你能求出使
有意义的
的取值
范围吗？【答案】
课程顾问签字： 教学主管签字：
8
