平方差公式（基础）知识讲解_20190524133903_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

平方差公式（基础） 知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：



2
2
a
b
a
b
a
b




要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
         （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两
个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是
单项式或多项式.
【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——平方差公式
1、（2016•富顺县校级模拟）下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　）
x
①2+y2；②x2
y
﹣2；③﹣x2
y
﹣2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy
y
﹣2．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【思路点拨】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形
式，且符号相反，进而可得答案．
【答案与解析】解：下列各式能用平方差公式分解因式的有；②x2
y
﹣2；④﹣x2+y2；，共2 个，
故选：B．
【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从
项数、符号、平方项等方面来判断．
2、分解因式：
（1）
2
2
9
a
b

；   （2）
2
2
25
1
x y ；  （3）
2
2
16
81
9
4
a
b


；  （4）
2
1
4m

．
【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用
平方差公式进行因式分解.
【答案与解析】
解：（1）
2
2
2
2
9
(3 )
(
3 )(
3 )
a
b
a
b
a
b a
b






．
（2）
2
2
2
2
25
1
(5
)
1
(5
1)(5
1)
x y
xy
xy
xy





．
（3）
2
2
2
2
16
81
9
4
9
4
9
4
9
4
2
3
2
3
2
3
a
b
b
a
b
a
b
a




























．
（4）
2
2
2
1
4
(2 )
1
(2
1)(2
1)
m
m
m
m






．
【总结升华】
（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以
写成“
21
”．（3）一定要把两项写成
2
2
a
b

的形式，再套用平方差公式． 
举一反三：
【变式1】分解因式：
（1）
2
1
25
16 m

；（2）
2
2
(
2)
16(
1)
x
x




．
【答案】
解：（1）
2
1
25
16 m

2
2
1
1
1
5
5
5
4
4
4
m
m
m




















．
（2）
2
2
(
2)
16(
1)
x
x




2
2
16(
1)
(
2)
x
x




[4(
1)
(
2)][4(
1)
(
2)]
x
x
x
x







 
(3
6)(5
2)
3(
2)(5
2)
x
x
x
x






．
【变式2】（2015 春•泗阳县期末）下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
　
A.（2a+b）（2b﹣a）
B.（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C.（a+b）（a﹣2b）
D.（2x﹣1）（﹣2x+1）
【答案】B．
类型二、平方差公式的应用
3、（2015 春•开江县期末）计算20152﹣2014×2016 的结果是（　 　）
　A.﹣2
B.﹣1       C.0
D.1
【思路点拨】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【答案】D； 
【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1，
故选D.
【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形
)
(
b
a 
，把余下的部分
剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（   ）
A.



2
2
a
b
a
b
a
b




     B. 

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




       
C. 

2
2
2
2
a
b
a
ab
b




     D. 


2
2
2
2
a
b
a
b
a
ab
b





【答案】A；
【高清课堂400108 因式分解之公式法 例2】
【变式2】用简便方法计算：（1）
2
1999
1998 2000


；（2）
2
2
535
6
6 465

.
【答案】
解：（1）原式



2
1999
1999 1 1999 1




2
2
1999
1999
1
1




（2）原式


2
2
6
535
456



         



6
535
465
535
465
6 1000 70
420000








4、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96 厘米，它们的面积相差960 平方厘米．
求两个正方形的边长．
【答案与解析】  
 解：设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为(a －24)．
    依题可列
2
2
(
24)
960
a
a



．
    运用平方差公式：[a ＋(a －24)][ a －(a －24)]＝960．
    24(2a －24)＝960．
    解得a ＝32．a －24＝32－24＝8．
答：它们的边长分别为32 厘米，8 厘米．
【总结升华】无论在哪一方面应用因式分解，都须仔细观察，是有公因式还是符合公式，切忌
不能盲目乱用，这样应用起来才能达到真正意义上的化简，不然反而走向误区，就是说不要
为用因式分解而用，要因题用，能用则用，不能用千万别用，千万别硬套.