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全等三角形的判定二（SSS，AAS）（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
要点诠释：如图，如果
'
'
A B ＝AB，
'
'
A C ＝AC，
'
'
B C ＝BC，则△ABC≌△
'
'
'
A B C ．
要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或
“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就
可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者
是前者的推论．
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但
△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等
的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形．
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定3——“边边边”
1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE．
【答案与解析】
证明：在△ABD 和△ACE 中，
AB
AC
AD
AE
BD
CE
∴△ABD≌△ACE（SSS）
∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）．
【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合
应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是
△BDA 和△CAE，然后证这两个三角形全等．
举一反三：
【变式】（2014•静海县模拟）已知点A、D、C、F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使
△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是
．
【答案】AC=DF.
解： 理由是：∵在△ABC 和△DEF 中，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
故答案为：AC=DF．
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
2、（2016•黄陂区模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，过C 点作直线l，点
D，E 在直线l 上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．
【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS 证△ADC≌△CEB．
【答案与解析】
证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC 和△CEB 中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判
定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C 作CE⊥MN 于点E，过
点B 作BF⊥MN 于点F．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A 顺
时针旋转至图2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段
AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【思路点拨】过B 作BH⊥CE 与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可
证得AF＋BF＝2CE．
【答案与解析】
解：图2，AF＋BF＝2CE 仍成立，
证明：过B 作BH⊥CE 于点H，
∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°
∴∠CBH＝∠ACE
在△ACE 与△CBH 中，
90
ACH
CBH
AEC
CHB
AC
BC
∴△ACE≌△CBH．（AAS）
图2
A
D
B
C
E
M
N
F
∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，
∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．
【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．
举一反三：
【变式】已知Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕D 点
旋转，它的两边分别交AC、CB 于E、F．当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 于E 时（如图1），易证
1
2
DEF
CEF
ABC
S
S
S
△
△
△
；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2 情况下，上述结
论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
【答案】
解：图2 成立；
证明图2：
过点D 作DM
AC
DN
BC
，
则
90
DME
DNF
MDN
°
在△AMD 和△DNB 中，
AMD= DNB=90
A
B
AD
BD
∴△AMD≌△DNB（AAS）
∴DM＝DN
∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，
∴∠ MDE＝∠NDF
在△DME 与△DNF 中，
90
EMD
FDN
DM
DN
MDE
NDF
∴△DME≌△DNF（ASA）
∴
DME
DNF
S
S
△
△
∴
DEF
CEF
DMCN
DECF
S
=S
=S
S
.
△
△
四边形
四边形
可知
ABC
DMCN
1
S
=
S
2
△
四边形
，
∴
1
2
DEF
CEF
ABC
S
S
S
△
△
△
．
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、（2014 秋•内丘县期中）如图，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点D 的
竖直高度DB 的长度，欢欢在D 处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C 处垂下一根绳
CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE 的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2 米，求DB 的
长度．
【思路点拨】延长CE 交AB 于F，根据等角的余角相等求出∠ A=∠C，再利用“角角边”证明
△ABD 和△CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得DB=DE．
【答案与解析】
解：如图，延长CE 交AB 于F，
则∠A+∠1=90°，∠C+∠2=90°，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠A=∠C，
在△ABD 和△CDE 中，
，
∴△ABD≌△CDE（AAS），
∴DB=DE，
∵DE=2 米，
∴DB 的长度是2 米．
【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，仔细观察图形求出∠A=∠C 是解题的关键.
