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期末卷 C 卷
考试范围：9 下整册；考试时间：100 分钟；命题人：书生宝剑；满分:120 分
第I 卷（选择题）
一、单选题(共30 分)
1．(本题3 分)直线
与双曲线
相交于点
，点
的纵坐标为4，
的值为（ ）．
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
先把A 点纵坐标代入一次函数求出A 点坐标，再代入反比例函数即可得到k 的值.
【详解】
先把A 点纵坐标=4 代入一次函数
，
解得x=2，∴A（2,4）
k=2×4=8
∴
，
故选D.
【点睛】
此题主要考查反比例函数解析式，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式的方法.
2．(本题3 分)若线段
的长为
，点
是线段
的黄金分割点，则较长的线段
的长为（ ）
A．（
）cm B．
C．（
）cm D．
【答案】A
【解析】
【分析】
较长的线段MP 的长为
cm，则较短的线段长是（2−
）cm．根据黄金分割的定义即可列方程求解
【详解】
解：较长的线段MP 的长为
cm，则较短的线段长是（2−
）cm．
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则
，
解得
或
（舍去）．
故答案选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，解题关键是正确理解黄金分割的定义．
3．(本题3 分)下列四个函数图象中，当x<0 时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
A、根据函数的图象可知y 随x 的增大而增大，故本选项错误；
B、根据函数的图象可知在第二象限内y 随x 的增大而减增大，故本选项错误；
C、根据函数的图象可知，当x＜0 时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增
大而增大，故本选项错误；
D、根据函数的图象可知，当x＜0 时，y 随x 的增大而减小；故本选项正确．
故选 D．
【点睛】
本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.
4．(本题3 分)在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC 的顶点都是格点，则sin BAC
∠
的值为
（ ）
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A．
B．1
C．5
D．
【答案】A
【分析】
由勾股定理求出AC，根据正弦函数的定义可得答案.
【详解】
由勾股定理得
，
sin BAC=
∴
∠
，
故选A.
【点睛】
本题考查求正弦值，熟练掌握正弦函数的定义，找到∠BAC 所在的直角三角形是关键.
错因分析 容易题.失分原因是：①不能利用勾股定理求出AC 的长；②正弦和余弦的计算公式混淆.
5．(本题3 分)已知α 为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα 等于（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据等腰直角三角形的锐角为45°求解．
解：cosα=cos45°=
．
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故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
6．(本题3 分)如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B
向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得
BC=3.2m"，CA=0.8m， 则树的高度为（ ）
A．4.8m B．6.4m C．8m
D．10m
【答案】C
【详解】
解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x 米，则
，即
x=8
∴
故选C．
7．(本题3 分)已知△ABC 的三个顶点A（5，6）、B（7，2）、C（4，3），先将△ABC 向左平移一个单
位，再以原点O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的
得到线段△A′B′C′，则点A 的对应点A′
的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（3，1）C．（2，3）D．（3，3）
【答案】C
【解析】
分析：平移后的三角形记作△A1B1C1，连接OA1、OB1、OC1，分别取OA1、OB1、OC1的中点A′、B′、C′，
△A′B′C′即为所求．
详解：△A′B′C′如图所示，由图象可知，则点A 的对应点A′的坐标为（2，3）．
故选C．
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点睛：本题考查了位似变换、平移变换、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，
属于基础题中考常考题型．
8．(本题3 分)在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把的P'(
，
)称为点P
的“倒影点”．直线y=
2x+1
﹣
上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y
的图象上，若
AB
，则k 的值为( )
A．
B．
C．5
D．10
【答案】A
【分析】
设点A（a，-2a+1），B（b，-2b+1）（a＜b），则A'(
，
)，B'(
，
)，由AB
可得出
b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b 的方程组，解之即可得出k 值．
【详解】
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设点A(a，﹣2a+1)，B(b，﹣2b+1)(a＜b)，则A'(
，
)，B'(
，
)．
∵AB
(b﹣a)
，
∴b﹣a=1，即b=a+1．
∵点A'，B'均在反比例函数y
的图象上，
∴k
•
•
，
解得：k
．
故选：A．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反
比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b 的方程组是解题的关键．
9．(本题3 分)如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 边上，CE、BA 的延长线交于点F，下列结论错误的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
因为，四边形ABCD 是平行四边形，所以，AB CD,AD BC,
∥
∥
由平行线分线段成比例性质定理逐个分析可得
答案.
【详解】
因为，四边形ABCD 是平行四边形，
所以，AB CD,AD BC,
∥
∥
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所以，
，
，
,
;
所以，选项C 错误.
故选C
【点睛】
本题考核知识点：平行线分线段成比例性质定理. 解题关键点：理解平行线分线段成比例性质定理.
10．(本题3 分)如图，已知在Rt
ABC
△
中，AB=35，一个边长为12 的正方形CDEF 内接于△ABC．则
△ABC 的周长为( ).
A．35
B．40
C．81
D．84
【答案】D
【分析】
首先设BC=a，AC=b，由勾股定理与正方形的性质，可得：a2+b2=352，Rt
AFE Rt
ACB
△
△
∽
，再由相似三角
形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab，解方程组即可求得．
【详解】
解：如图，设BC=a，AC=b，
则a2+b2=352=1225．①
又Rt
AFE Rt
ACB
△
△
∽
，
所以
，即
，
故12（a+b）=ab．②
由①②得（a+b）
2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），
解得a+b=49（另一个解-25 舍去），
所以a+b+c=49+35=84．
故答案为D．
【点睛】
考核知识点：相似三角形 判定和性质.
第II 卷（非选择题）
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二、填空题(共40 分)
11．(本题4 分)若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30cm，则宽为_____cm．（结果保留根号）
【答案】15
15
﹣
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义即可进行计算.
【详解】
解：根据题意得：
这本书的宽＝30×
＝（15
15
﹣
）cm．
故答案为：15
15
﹣
．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC（AC＞BC），且使AC 是AB 和BC 的比例中项
（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC＝
AB≈0.618AB，并且线段AB 的黄金分割点有两个．
12．(本题4 分)已知在△ABC 中，AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，sinA＝_____．
【答案】
【分析】
先利用勾股定理可得BC＝5，再根据三角函数的定义求解可得．
【详解】
解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
BC
∴
＝5，
则sinA＝
＝
．
故答案为：
．
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【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义．
13．(本题4 分)如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm）可求得这个几何体的体积
为_______
【答案】
【详解】
试题分析：根据几何体的三视图的特征结合长方体的体积公式即可求得结果.
由图可得这个几何体的体积
考点：几何体的三视图，长方体的体积公式
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握几何体的三视图，即可完成.
14．(本题4 分)如图所示，已知点A 坐标为(5，0)，直线y＝x＋b（b＞0)与y 轴交于点B，连接AB，∠α＝
75°，则b 的值为________．
【答案】
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【分析】
先求出直线y＝x＋b 求出与x 轴的夹角（∠1）的度数，再利用外角的性质求出∠BAO 的度数，利用锐角
三角函数求出OB 即可求出B 点坐标，代入一次函数关系式即可.
【详解】
解：∵直线y＝x＋b 中k=1
1=45°
∴∠
又∵∠α 是三角形的外角
BAO=
∴∠
∠α－∠1
=30°
在Rt
AOB
△
中
OB=OA·tan BAO
∠
=
=
B
∴
点坐标为（0，
）
将B 点坐标代入y＝x＋b
解得b=
故答案为：
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式和三角形外角的性质.
15．(本题4 分)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∠BAC，∠ACB 的平分线相交于点E，
过点E 作EF BC
∥
交AC 于点F，则EF 的长为_____．
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【答案】2﹣
【分析】
过E 作EG AB
∥
，交AC 于G，易得AG＝EG，EF＝CF，依据△ABC
GEF
∽△
，即可得到EG：EF：GF＝1：
1：
，故设EG＝k＝AG，则EF＝k＝CF，FG＝
k，根据AC＝2
，可得k+k+
k＝
，于是得
到结论．
【详解】
解：如图，过E 作EG AB
∥
，交AC 于G，则∠BAE＝∠AEG，
AE
∵
平分∠BAC，
BAE
∴∠
＝∠CAE，
CAE
∴∠
＝∠AEG，
AG
∴
＝EG，
同理可得，EF＝CF，
AB GE
∵
∥
，BC EF
∥
，
BAC
∴∠
＝∠EGF，∠BCA＝∠EFG，
ABC
GEF
∴△
△
∽
，
ABC
∵∠
＝90°，AB＝BC＝2，
AC
∴
＝2
，
EG
∴
：EF：GF＝AB：BC：AC＝1：1：
，
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设EG＝k＝AG，则EF＝k＝CF，FG＝
k，
AC
∵
＝2
，
k+k+
∴
k＝2
，
k
∴＝
（2﹣
），
EF
∴
＝k＝2﹣
．
故答案为：2﹣
【点睛】
本题主要考查三角形相似的判定和性质，通过对应边的比相等和对应角相等这两种方法判定，反过来两三
角形相似也有对应边的比相等和对应角相等．通过平行线构造相似三角形是解本题的关键．
16．(本题4 分)在△ABC 中，∠C=90°，如果sinA=
， AB=6，那么BC=________
【答案】2
【分析】
根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【详解】
sinA=
=
，得
BC=AB×
=6×
=2 ，
故答案为 2.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正
切为对边比邻边.
17．(本题4 分)反比例函数y1＝－
，y2＝
的图象如图所示，点A 为y1＝－
的图象上任意一点，过点
A 作x 轴的平行线交y2＝
的图象于点C，交y 轴于点B．点D 在x 轴的正半轴上，CD OA
∥
．若四边形
AODC 的面积为2，则k 的值为 _____．
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【答案】－1
【分析】
首先根据题意设点A 坐标为
，进而得出点B 坐标为
，点C 坐标为
，然后利用
四边形AODC 的面积构建方程，即可得出k 的值.
【详解】
∵点A 为y1=－
的图象上任意一点
∴设点A 坐标为
，
∵点A 作x 轴的平行线交y2=
的图象于点C，交y 轴于点B
∴点B 坐标为
，点C 坐标为
，
CD OA
∵
∥
，四边形AODC 的面积为2
AC×OB=2
∴
∴
解得
，
故答案为-1.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的几何问题综合应用，解题关键是利用坐标和面积，构建关系式.
18．(本题4 分)如图所示，在
中，
是高，
，
，
，
，则
________．
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【答案】2.4
【解析】
【分析】
根据EF BC
∥
，可以得到△AEF~
ABC
△
，然后根据相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求得AG 的
长，进而可求出GD 的长.
【详解】
∵EF//BC，∴△AEF~△ABC，∴
，即
，解得AG＝
，∴GD＝AD－AG＝6－
＝2.4，
故答案为2.4.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.
19．(本题4 分)如图，在△ABC 中，点D、E 分别在AB、AC 边上，DE BC
∥
，若
，AE=4，则
EC 等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
由DE BC
∥
，AD：AB=3：4，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：AC=AD：AB=2：3，继而求得答
案．
【详解】
解：∵DE BC
∥
，
，
AE
∴
：AC=AD：AB=2：3，
AE
∴
：EC=2：1．
AE=4
∵
，
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CE=2
∴
，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对
应关系．
20．(本题4 分)如图，ABCD 为正方形，∠CAB 的角平分线交BC 于点E，过点C 作CF AE
⊥
交AE 的延长
线于点G，CF 与AB 的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC 相交于点H，则下列结论：①
ABE
CBF；②GF=CG；③BG DG
⊥
；④
，其中正确的是______．
【答案】①②③
【分析】
根据正方形的性质和AG CF
⊥
，找到边，角相等，然后用ASA 证得
ABE
CBF，故①正确；根据条件
证明得出
ACF 是等腰三角形，利用三线合一得出GF=CG，故②正确；延长DG,AB 交于点M，证明得出
DBM 是等腰三角形和G 是DM 中点，根据三线合一得出BG DG
⊥
，故③正确；证
DCH
ACE.所以
=
=
，所以AE=
DH，故④不正确.
【详解】
∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC，∠ABC= CBF=90°
∠
BAE+ AEB=90°
∴∠
∠
AG
CF
∵
⊥
BCF+ CEG=90°
∴∠
∠
BEA= CEG
∵∠
∠
BAE= BCF
∴∠
∠
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∴
ABE
CBF，故①正确；
AG
∵
平分∠FAC，AE CF
⊥
CAG= FAG
∴∠
∠
，∠AGC= AGF=90°
∠
又∵AG=AG，∴
ACG
AFG.
CG=FG
∴
，故②正确；
延长DG，AB 交于点M，在
DCG 和
MFG 中，∠DCG= MFG
∠
，FG=CG，∠MGF= DGC
∠
DCG
MFG
DG=MG
∴
，FM=DC=AB
AF=BM
∴
．
AF=AC
∵
，∴BM=AC=BD
BG DG
∴
⊥
，故③正确；
CDH= CAE
∵∠
∠
，∠DCH= ACE
∠
∴
DCH
ACE
∴
=
=
.
AE=
∴
DH，故④不正确.
故答案为：①②③
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形
相似等知识点，综合性较强难度较大．
三、解答题(共50 分)
21．(本题10 分)已知反比例函数y＝k
x (k≠0，k 是常数)的图象过点P(－3,5)．
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)判断点Q(−15
2 ,2)是否在图象上．
【答案】（1）y＝－15
x （2）反比例函数图象经过点Q
【解析】
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【分析】
(1)直接把点P(－3,5)代入反比例函数y = k
x (k≠0，k 是常数)，求出k 的值即可；
(2)把点Q(−15
2 ,2)代入反比例函数的解析式进行检验即可．
【详解】
解：(1)∵将P(－3,5)代入反比例函数y＝k
x (k≠0，k 是常数)，得5＝k
−3，
解得k＝－15.
∴反比例函数表达式为y＝－15
x ；
(2)反比例函数图象经过点Q(−15
2 ,2).
理由：∵－15
2 ×2＝－15＝k，
∴反比例函数图象经过点Q.
【点睛】
本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图
象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
22．(本题10 分)如图，四边形ABCD 是矩形，AB＝6，BC＝4，点E 在边AB 上（不与点A、B 重合），
过点D 作DF DE
⊥
，交边BC 的延长线于点F．
（1）求证：△DAE
DCF
△
∽
．
（2）设线段AE 的长为x，线段BF 的长为y，求y 与x 之间的函数关系式．
（3）当四边形EBFD 为轴对称图形时，则cos AED
∠
的值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）y＝
x+4；（3）
．
【分析】
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（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A= ADC= DCB=90°
∠
∠
，∠ADE= CDF
∠
，最后运用相似三角形的
判定定理证明即可；
（2）运用相似三角形的性质解答即可；
（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE 的长，最后用余弦的定义解答
即可.
【详解】
（1）证明∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，
∴△DAE∽△DCF；
（2）∵△DAE∽△DCF，
∴
，
∴
∴y＝
x+4；
（3）∵四边形EBFD 为轴对称图形，
∴DE＝BE，
∵AD2+AE2＝DE2，
16+
∴
AE2＝（6﹣AE）
2，
∴AE＝
，
∴DE＝BE＝
，
cos
∴
∠AED＝
＝
，
故答案为：
．
【点睛】
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本题属于相似形三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称图形的
性质等知识，灵活运用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.
23．(本题10 分)设a，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式
的实数x 的所有取值的全体
叫做闭区间，表示为
对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当
，我们就称此
函数是闭区间
上的“闭函数”．
（1）反比例函数
是闭区间
上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数
是闭区间
上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若函数
是闭区间
上的“闭函数”，求实数a，b 的值．
【答案】（1）是，见解析；（2）
；（3）a=0，b=1
【分析】
根据反比例函数
的单调区间进行判断；
根据新定义运算法则列出关于系数k、b 的方程组
或
，通过解该方程组即可求得
系数k、b 的值；
由题意可知二次函数
的图象开口方向向上，最小值是0，且当
时，y 随x 的增大而减小；当
时，y 随x 的增大而增大；分以下三种情况：
、
、
，分别根据闭函数定义列
出关于a、b 的方程组，求解后依据a、b 的范围取舍即可得．
【详解】
解：
反比例函数
是闭区间
上的“闭函数” 理由如下：
反比例函数
在第一象限，y 随x 的增大而减小，
当
时，
；
当
时，
，
所以，当
时，有
，符合闭函数的定义，故反比例函数
是闭区间
上
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的“闭函数”；
分两种情况：
或
．
当
时，一次函数
的图象是y 随x 的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，
，
解得：
．
此函数的解析式是
；
当
时，一次函数
的图象是y 随x 的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，
，
解得：
．
此函数的解析式是
；
该二次函数
的图象开口方向向上，最小值是0，且当
时，y 随x 的增大而减小；当
时，y 随x 的增大而增大；
分以下三种情况讨论：
当
时，根据闭函数定义知：
，
解得：
或
（舍去）或
（舍去）或
（舍去）；
当
时，此时二次函数的最小值为0，由闭函数定义知
，
或
，
解得：
（舍去）或
（舍去）；
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当
时，根据闭函数定义知：
，
解得：
（舍去）或
（舍去）；
综上，
，
．
【点睛】
本题综合考查二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的
关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时也要注意“分类讨论”数学思想的应用．
24．(本题10 分)阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人
（公元前262~190 年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲
线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点
与两定点
，
的距离之比等于定
比
，则点
的轨迹是以定比
内分和外分线段
的两个分点的连线为直径的圆，这个圆
称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．
如图1，点
，
为两定点，点
为动点，满足
，点
在线段
上，点
在
的延长线上且
，则点
的运动轨迹是以
为直径的圆．
下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：
过点
作
交
的延长线于点
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
又∵
，
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∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
如图2，在图1（隐去
，
）的基础上过点
作
交
于点
，可知
，……
任务：
（1）判断
是否平分
，并说明理由；
（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；
（3）应用：如图3，在平面直角坐标系
中，
，
，
，则点
所在圆的圆心坐标
为________．
【答案】（1）
平分
．理由见解析；（2）点
的运动轨迹是以
为直径的圆，见解析；（3）
【分析】
（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1 的证明即可得证；
（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点
的运动轨迹是以
为直径的圆；
（3）结合题目所给的材料分别求得AB 的内分点和外分点的坐标，进而可求得点
所在圆的圆心坐标．
【详解】
解：（1）
平分
．理由如下：
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
，
．
∴
，
即
平分
．
（2）∵
，
，
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且
，
∴
．
∴
为直径．
∴点
的运动轨迹是以
为直径的圆．
（3）∵
，
，
AB
∴
＝3，且AO＝2OB，
∵
，
∴点O 为AB 的内分点，
当点C 为AB 的外分点时，CA＝2CB，
CB
∴
＝AB＝3，
OC
∴
＝OB+BC＝4，
∴点C 的坐标为（4，0），
∴点
所在圆的圆心坐标为（2，0）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关
键．
25．(本题10 分)如图，抛物线
（
为常数）与
轴交于
、
两点，与
轴交于
点，直
线
的函数关系式为
．
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（1）求该抛物线的函数关系式与
点坐标；
（2）已知点
是线段
上的一个动点，过点
作
轴的垂线分别与直线
和抛物线交于
、
两点，当
为何值时，
恰好是以
为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当
恰好是以
为底边的等腰三角形时，动点
相应位置记为点
，将
绕原点
顺时针旋转得到
（旋转角在
到
之间）；
①探究：线段
上是否存在定点
（
不与
、
重合），无论
如何旋转，
始终保持不变，若存
在，试求出
点坐标；若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，
的最小值．
【答案】（1）
，
；（2）当
时，
恰好是以
为底边的等腰三角
形；（3）①存在，
；②
的最小值为
．
【分析】
（1）根据已知条件得到
，
，解方程组得到抛物线的函数关系式为
，
于是得到
；
（2）由点
，过点
作
轴的垂线分别与直线
和抛物线交于
、
两点，得到
，当
为底时，作
于
，根据等腰三角形的性质得到
，
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，列方程即可得到结论；
（3）①根据已知条件得到
，
，由
，特殊的当
时，根
据相似三角形的性质得到
，于是得到结论；
②根据题意得到
在以
为圆心，4 为半径的半圆上，由①知，
，得到
，于是得
到
的最小值
，此时
，
，
三点共线，根据勾股定理得到结论．
【详解】
（1）在
中，令
，则
，令
，则
∴
，
把
，
代入
得
∴
∴抛物线的函数关系式为
令
，则
∴
，
∴
；
（2）∵点
，过点
作
轴的垂线分别与直线
和抛物线交于
、
两点
∴
当
为底时，如图1，作
于
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则
，
∵
∴
解得
，
（不合题意，舍去）
∴当
时，
恰好是以
为底边的等腰三角形；
（3）①存在，如图2
∵
，
∵
∴当
时，
∴
不变，即
∴
；
②∵
在以
为圆心，4 为半径的半圆上，由①知，
∴
∴
的最小值
的最小值
∴当
，
，
三点共线，
取得最小值，最小值为AP
的最小值为
，即
的最小值
．
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【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、相似三角形的性质等知识点，较难的是
题（3）②，结合题（3）①，利用两点之间线段最短公理得出取最小值时点N 的位置是解题关键．
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