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二次函数
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1、能理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如火热根
据实际问题确定自变量的取值范围；
2、通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力；
3、通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，
增强学好数学的愿望与信心．
1．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
其中x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
y═ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为_____，若是整式且仍能化简的要先将
其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0 这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是__________，对实际问
题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
2．二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是______________，对称轴直线____________，二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣
时，y 随x 的增大而减小；x＞﹣
时，y 随x 的增大而增大；x=﹣
时，y 取得最小值
，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣
时，y 随x 的增大而增大；x＞﹣
时，y 随x 的增大而减小；x=﹣
时，y 取得最大值
，即顶点是抛物线的最高点．
2
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|
|个单位，再向上或
向下平移|
|个单位得到的．
3．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需
要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其
他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的
转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立
量与量的等式．
1. 二次函数的定义．
【例1】（2014•山东沂水县中学期末）函数y=3x2+x
4
﹣是（ ）
A．一次函数
B．二次函数
C．正比例函数
D．反比例函数
练1.二次函数y=x2+2x
7
﹣的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）
A．3
B．5
C．﹣3 和5
D．3 和﹣5
练2.下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x
1
﹣）（x+2） B．y= （x+1）2 C．y=2（x+3）2
2x
﹣
2 D．y=1﹣
x2
2. 二次函数求值．
【例2】（2015•辽宁抚顺二中月考）若函数y=4x2+1 的函数值为5，则自变量x 的值应为（ ）
A．1
B．﹣1
C．±1 D．
练3. 若函数y=（m2+m）
是二次函数，则m= ．
3．根据实际问题列二次函数关系式．
【例3】（2015•吉林四平中学月考）如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪
器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表．那么s 与t 之间的函数关系
式是s= ．
时间t/s 1 23 4 …
距离s/m 2 8 18 32…
练4. 在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的
面积为y，y 与x 之间的函数关系是 ．
4．二次函数的顶点、对称轴．
【例4】（2015•天津南开中学月考）抛物线y=（x
1
﹣）2+2 的顶点坐标是 ．
练5. 抛物线y=x2
2x+3
﹣
的顶点坐标是 ．
3
练6.抛物线y=（x
1
﹣）2+3 的对称轴是直线 ．
5．二次函数的变化趋势；
【例5】（2014•陕西安康黄冈中学期末）函数y= （x
1
﹣）2+3，当x 时，函数值y 随x 的增大
而增大．
练7．已知抛物线y=
2
﹣（x+1）2
3
﹣，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 ．
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x
1
﹣）（x+2）
B．y= （x+1）2
C．y=2（x+3）2
2x
﹣
2
D．y=1﹣
x2
2．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
3．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=8x2+1
B．y=8x+1 C．
D．
4．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣
x2 B．y=2（x
1
﹣）2+4
C．y= （x
1
﹣）（x+4）
D．y=（x
2
﹣）2
x
﹣2
5．在半径为4cm 的圆中，挖去一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x 的
函数关系式为（ ）
A．y=πx2
4
﹣
B．y=π（2
x
﹣）2
C．y=﹣（x2+4） D．y=
πx
﹣
2+16π
6．某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都
是x，那么y 与x 的函数关系是（ ）
A．y=x2+a
B．y=a（x
1
﹣）2
C．y=a（1
x
﹣）2
D．y=a（1+x）2
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1．当m= 时，函数y=（m
1
﹣）
是关于x 的二次函数．
2．在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积
为y，y 与x 之间的函数关系是 ．
3．如图，在△ABC 中，AB=AC，点D 在BC 上，DE AC
∥
，交AB 与点E，点F 在AC 上，
DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
4
4．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（﹣1，0）和（0，﹣1），顶点在第
四象限，若n=a+b+c，则n 的取值范围是 ．
5．抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：
x
…
3
﹣
2
﹣
1
﹣
0
1
…
y
…
6
﹣
0
4
6
6
…
容易看出，（﹣2，0）是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为 ．
6．开口向下的抛物线y=（m2
2
﹣）x2+2mx+1 的对称轴经过点（﹣1，3），则m= ．
7．已知，二次函数的表达式为y=4x2+8x．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x
轴的交点的坐标．
8．求二次函数y=x2
2x
1
﹣
﹣的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标．
9．已知抛物线y= x2+x﹣．
（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与x 轴的两个交点为A、B，求线段AB 的长．
10．已知抛物线y=4x2
11x
3
﹣
﹣．
（Ⅰ）求它的对称轴；
（Ⅱ）求它与x 轴、y 轴的交点坐标．
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