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二次函数解析式的判定
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1、会用待定系数法求函数解析式；会根据已知的条件的特点选用恰当的形式设为二次函数的
解析式并求解；
2、在确定二次函数的解析式和研究二次函数的过程中，感受二次函数与平面几何知识的综合
运用；
3、通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，提高数学思维的能力
和品质．
1．二次函数解析式的三种常见形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①_________：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）；
②_________：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k 是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；
③_________：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c 是常数，a≠0）；
2．待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，
从而代入数值求解．
一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为________来求解；
当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为_______来求解．
1. 图像法判断二次函数解析式．
【例1】（2014•太原成成中学期末）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可
能是（ ）
2
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2
练1. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=x2﹣2x+3
B．y=x2﹣2x﹣3
C．y=x2+2x﹣3 D．y=x2+2x+3
2. 一般式求二次函数解析式．菁
【例2】（2015•山西忻州师院附中月考）如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣
x+m 与二次函数y2=ax2+bx﹣3 的图象上．
（1）求m 的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x 的取值范围．
练2. 已知二次函数y=ax2+bx 的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）
（1）求二次函数的解析式；
（2）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y＞0 时，x 的取值范围．
3. 待定系数法求二次函数解析式．
【例3】（2014•四川达州中学期中）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且
过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移
后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．
3
练3. 已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与y 轴交于点A（0，﹣6），与x 轴的一个交点坐标是B（﹣
2，0）．
（1）求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；
（2）将二次函数图象沿x 轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．
4．三点式求二次函数解析式．菁
【例4】（2014•江西南昌实验中学期末）已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），
（2，﹣5），且与x 轴交于A、B 两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，
试说明理由．
练4. 已知二次函数图象的顶点是（﹣1，2），且过点
．
（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在这个二次函数的图象上．
5．顶点式求一次函数解析式．
【例5】（2014•黑龙江双鸭山二中期末）抛物线y=ax2+12x
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﹣
顶点横坐标是3，则a= ．
练5．已知抛物线y=x2+（m
1
﹣）x﹣的顶点的横坐标是2，则m 的值是 ．
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
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A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y= （x﹣1）2+8
D．y=2（x﹣1）2﹣8
2．如图，抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=x2﹣x+2 B．y=x2+x+2 C．y=﹣x2﹣x+2 D．y=﹣x2+x+2
3．由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y 与x 之间的函数关系式正确的是（ ）
x
﹣10 1
ax2
1
ax2+bx+c
8 3
A．y=x2﹣4x+3
B．y=x2﹣3x+4
C．y=x2﹣3x+3
D．y=x2﹣4x+8
4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：
x
…
﹣
﹣1
﹣
0
1
…
y
…
﹣
﹣2
﹣
﹣2
﹣
0
…
则该二次函数的解析式为 ．
5．已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x 轴交于A、B 两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，
试说明理由．
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1．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（ ）
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A．8
B．14
C．8 或14
D．﹣8 或﹣14
2．抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，
则y=ax2+bx+c 的函数关系式为（ ）
A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4x+5
C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+6
3．函数y=ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），则a 的值为（ ）
A．±2
B．﹣2
C．2
D．3
4．已知二次函数图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数图象的关系式是
．
5．已知抛物线经过点A（﹣1，5），B（5，5），C（1，9），则该抛物线上纵坐标为9 的另一点的
坐标是 ．
6．抛物线y=x2﹣2
x+a2的顶点在直线y=2 上，则a= ．
7．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．
8．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移
后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．
9．已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A，B，C 三点，当x≥0 时，其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线y=ax2+bx+c 当x＜0 时的图象；
（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x 为何值时，y＞0．
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