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平行线的判定（提高）知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握平行线的画法；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1.平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行公理及推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
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要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行公理及推论
1．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一
个公共点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过一点有且只有一条直线与已
知直线平行. 其中正确的个数为：( ) .
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【解析】正确的是：（1）(3).
【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理
解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．
举一反三：
【变式】下列说法正确的个数是 ( ) .
（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.
（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．
A．1 个 B .2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
2.证明：平行于同一直线的两条直线平行．
【答案与解析】
已知：如图，
．求证：
．
证明：假设直线a 与直线b 不平行，则直线a 与直线b 相交，设交点为A，如图．
，
则过直线c 外一点A 有两条直线a、b 与直线c 平行，
这与平行公理矛盾，所以假设不成立．
．
【总结升华】本题采用的是“反证法”的证明方法，反证法证题的一般步骤：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．
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类型二、平行线的判定
3. 如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC＝∠BCA；（3）∠ABD＝∠CDB；（4）
∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC 的条件有 （ ）.
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）（4）
【思路点拨】欲证AD∥BC，在图中发现AD、BC 被一直线所截，故可按同位角相等、内错角相等、
同旁内角互补，两直线平行补充条件．
【答案】C
【解析】从分解图形入手，即寻找AD、BC 的截线.
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这
些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．
举一反三：
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐
弯的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．
图B 显然不同向，因为路线不平行．
图C 中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
图D 中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
只有图A 路线平行且同向，故应选A．
4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF
的理由．
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【思路点拨】利用辅助线把AB、EF 联系起来．
【答案与解析】
解法1：如图所示，在∠BCD 的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE 的内部作∠EDN＝10°．
∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，
∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．
∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．
又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，
∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．
∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代换)．
∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．
∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)，
∴ AB∥EF(平行线的传递性)．
解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD 交EF 于M 点、交AB 于N 点．
∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°．
∵ ∠B＝25°，
∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．
又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°．
又∵ ∠E＝10°，
∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．
∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换)．
所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．
【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活
选取．
举一反三：
【变式】已知，如图，BE 平分ÐABD，DE 平分ÐCDB，且Ð1 与Ð2 互余，试判断直线AB、CD 的位
置关系，请说明理由．
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【答案】
解：AB∥CD，理由如下：
∵ BE 平分∠ABD，DE 平分∠CDB，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵ ∠1+∠2＝90°，
∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
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