文档文本内容
全等三角形判定一（ASA，SAS）（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，和判定方法2——“边角边”；
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】
要点一、全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠
'
A ，AB＝
'
'
A B ，∠B＝∠
'
B ，则△ABC≌△
'
'
'
A B C .
要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝
'
'
A B ，∠A＝∠
'
A ，AC ＝
'
'
A C ，则△ABC≌△
'
'
'
A B C .
注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不
全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“角边角”
1、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF，交AC 于
点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG 时，DE＝BF.
【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF
【答案与解析】
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C
∵BF 平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠CBF
∵∠ABC＝2∠ADG
∴∠CBF＝∠ADG
在△DAE 与△BCF 中
C
DAC
BC
AD
CBF
ADG
∴△DAE≌△BCF（ASA）
∴DE＝BF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角
(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出
所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例7】
【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.
【答案】
证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，
∴∠MQN＝∠MRN＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4
∴∠1＝∠2
在△MPQ 和△NHQ 中，
1
2
MQ
NQ
MQP
NQH
∴△MPQ≌△NHQ（ASA）
∴PM＝HN
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB＋AC＞2AD．
【思路点拨】延长AD 到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构
造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明：如图，延长AD 到点E，使AD＝DE，连接CE．
在△ABD 和△ECD 中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．
∴△ABD≌△ECD．
∴AB＝CE．
∵AC＋CE＞AE，
∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．
【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边
之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，
因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点
D 逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD．若题目中有
中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．
3、
（2016•济宁二模）已知：如图，点B、F、C、E 在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且AC∥DF,
求证：△ABC≌△DEF．
【思路点拨】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，再根据SAS 推出全等即可．
【答案与解析】
证明：∵BF=CE
∴BF+FC=CE+FC
∴BC=FE
∵AC∥DF
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【总结升华】本题考查利用“边角边”定理来证明三角形全等，注意等量加等量，和相等.
举一反三：
【变式】（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有（ ）
A.1 组
B.2 组 C.3 组
D.4 组
【答案】C．
解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3 组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3 组．
故选：C．
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD 三段路旁各有一
个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E，M，F 是否恰好在一
条直线上？为什么？
【答案与解析】三个小石凳在一条直线上
证明：∵AB 平行CD（已知）
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）
∵M 在BC 的中点（已知）
∴BM＝CM（中点定义）
在△BME 和△CMF 中
BE
CF
B
C
BM
CM
∴△BME≌△CMF（SAS）
∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性质）
∴E，M，F 在同一直线上
【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已
知易证△BME≌△CMF，可得∠EMB＝∠FMC，再由∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝
∠BMC＝180°得到E，M，F 在同一直线上.
