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考点突破练9 概率与统计的基本计算
一、必备知识夯实练
1.(2023 山东临沂一模)某工厂随机抽取20 名工人,对他们某天生产的产品件数进行统计,数据如下表,
则该组数据的第75 百分位数是( )
件数
7
8
9
10
11
人数
3
7
5
4
1
A.8.5
B.9
C.9.5
D.10
2.(2023 全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6 个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作
文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A.5
6
B.2
3
C.1
2
D.1
3
3.(2023 福建泉州三模)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若在三次射击中,至少有一次击中
目标的概率为63
64 ,则射击一次,击中目标的概率为( )
A.7
8
B.3
4
C.1
4
D.1
8
4.(2021 全国甲,理2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年
收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间
5.(多选题)(2023 山东威海一模)已知事件A,B 满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则( )
A.若B⊆A,则P(AB)=0.5
B.若A 与B 互斥,则P(A+B)=0.7
C.若A 与B 相互独立,则P(AB)=0.9
D.若P(B|A)=0.2,则A 与B 相互独立
6.(2023 云南昆明一模)一个数学兴趣小组共有2 名男生3 名女生,从中随机选出2 名参加交流会,在已
知选出的2 名中有1 名是男生的条件下,另1 名是女生的概率为 .
7.(2023 天津教研联盟一模)某产品的质量检验过程依次为进货检验(IQC)、生产过程检验(IPQC)、出
货检验(OQC)三个环节.已知某产品IQC 的单独通过率为4
5 ,IPQC 的单独通过率为3
4 ,规定上一类检验
不通过则不进入下一类检验,未通过可修复后再检验一次(修复后无需从头检验,通过率不变且每类检
验最多两次),且各类检验间相互独立,则一件该产品能进入OQC 环节的概率为 .
8.(2023 天津北辰三模)有两台车床加工同一型号的零件,第一台车床加工的优秀率为15%,第二台车
床加工的优秀率为10%.假定两台车床加工的优秀率互不影响,则两台车床加工零件,同时出现优秀品
的概率为 ;若把加工出来的零件混放在一起,已知第一台车床加工的零件数占总数的60%,
第二台车床加工的零件数占总数的40%,现任取一个零件,则它是优秀品的概率为 .
2
9.(2023 山东聊城一模)某班共有50 名学生,在期末考试中,小明因病未参加数学考试,参加考试的49
名学生的数学成绩的方差为2.在评估数学成绩时,老师把小明的数学成绩按这49 名学生的数学成绩
的平均数来算,那么全班50 名学生的数学成绩的标准差为 .
二、关键能力提升练
10.(多选题)(2023 广东湛江二模)设某种植园成熟的红橙单果质量M(单位:g)服从正态分布N(165,σ2),
且P(M<162)=0.15,P(165<M<167)=0.3.下列说法正确的是( )
A.若从种植园成熟的红橙中随机选取1 个,则这个红橙的质量小于167 g 的概率为0.7
B.若从种植园成熟的红橙中随机选取1 个,则这个红橙的质量在167 g~168 g 之间的概率为0.05
C.若从种植园成熟的红橙中随机选取600 个,则质量大于163 g 的个数的数学期望为480
D.若从种植园成熟的红橙中随机选取600 个,则质量在163 g~168 g 之间的个数的方差为136.5
11.(多选题)(2023 广东广州二模)有3 台车床加工同一型号的零件,第1 台加工的次品率为8%,第2 台
加工的次品率为3%,第3 台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3 台车床加
工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件,则下列结论正确的是
(
)
A.该零件是第1 台车床加工出来的次品的概率为0.08
B.该零件是次品的概率为0.03
C.如果该零件是第3 台车床加工出来的,那么它不是次品的概率为0.98
D.如果该零件是次品,那么它不是第3 台车床加工出来的概率为1
3
12.(多选题)甲箱中有4 个红球、2 个白球和3 个黑球,乙箱中有3 个红球、3 个白球和3 个黑球,先从
甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以A1,A2和A3表示事件由甲箱取出的球是红球、白球和黑球;再
从乙箱中随机取出一球,以B 表示事件由乙箱取出的球是红球,则下列结论正确的是( )
A.事件B 与事件Ai(i=1,2,3)相互独立
B.P(A1B)= 8
45
C.P(B)=1
3
D.P(A2|B)= 6
31
13.(2023 湖北武汉高三期末)某校采用分层随机抽样的方法采集了高一、高二、高三年级学生的身
高情况,部分调查数据如下:
年级
样本量
样本平均数
样本方差
高一
100
167
120
高二
100
170
150
高三
100
173
150
则总样本的方差s2= .
3
三、核心素养创新练
14.(多选题)现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5 场篮球比赛得分情况的记录数据,已知三位球员
得分情况的数据满足以下条件:
甲球员:5 个数据的中位数是26,众数是24;
乙球员:5 个数据的中位数是29,平均数是26;
丙球员:5 个数据有1 个是32,平均数是26,方差是9.6.
根据以上统计数据,下列统计结论一定正确的是
( )
A.甲球员连续5 场比赛得分都不低于24 分
B.乙球员连续5 场比赛得分都不低于24 分
C.丙球员连续5 场比赛得分都不低于24 分
D.丙球员连续5 场比赛得分的第60 百分位数大于24
4
考点突破练9 概率与统计的基本计算
1.C 解析 抽取的工人总数为20,20×75%=15,那么第75 百分位数是所有数据从小到大排序的
第15 项与第16 项数据的平均数,第15 项与第16 项数据分别为9,10,所以第75 百分位数是
9+10
2
=9.5.
2.A 解析 甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36 种结果,而甲、乙两位同学抽到
同一个主题的结果有6 种,所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率P=1- 6
36 = 5
6.故选A.
3.B 解析 设该运动员射击一次,击中目标的概率为p,
则该运动员在三次射击中,至少有一次击中目标的概率为1-(1-p)3=63
64 ,解得p=3
4 .
4.C 解析 该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1=6%,A 正确;
该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1=10%,B 正确;
该地农户家庭年收入的平均值为
0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02
×14=7.68,C 不正确;
该地农户家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间的比率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=64%,D 正确.
5.BD 解析 对于A,因为P(A)=0.5,P(B)=0.2,B⊆A,
所以P(AB)=P(B)=0.2,故A 错误;
对于B,因为A 与B 互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,故B 正确;
对于C,因为P(B)=0.2,所以P(B)=1-0.2=0.8,又A 与B 相互独立,所以P(AB)=0.5×0.8=0.4,故C 错
误;
对于D,因为P(B|A)=0.2,即P( AB)
P( A ) =0.2,所以P(AB)=0.2×P(A)=0.1,又因为
P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1,所以P(AB)=P(A)P(B),所以A 与B 相互独立,故D 正确.
故选BD.
6.6
7 解析 若A 表示事件“2 名中至少有1 名男生”,B 表示事件“2 名中1 名是男生,另1 名是
女生”,
所以2 名中有1 名是男生的条件下,另1 名是女生的概率为P(B|A)=P( AB)
P( A ) ,而P(AB)=
C2
1C3
1
C5
2
= 3
5,P(A)=1-C3
2
C5
2 = 7
10,
故P(B|A)=6
7.
7. 9
10 解析 设Ai表示第i 次通过进货检验,Bi表示第i 次通过生产过程检验(i=1,2),
C 表示该产品能进入出货检验环节,由题意得
P(C)=P(A1B1+A1A2B1+A1B1B2+A1A2B1B2)=4
5 × 3
4 + 1
5 × 4
5 × 3
4 + 4
5 × 1
4 × 3
4 + 1
5 × 4
5 × 1
4 × 3
4 = 9
10.
8.1.5% 13% 解析 由于第一台车床加工的优秀率为15%,第二台车床加工的优秀率为10%,所
以两台车床加工零件,同时出现优秀品的概率为15%×10%=1.5%.
记事件B=“加工的零件为优秀品”,事件A=“零件为第1 台车床加工”,事件A=“零件为第2 台
车床加工”,P(A)=60%,P(A)=40%,P(B|A)=15%,P(B|A)=10%,
由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=60%×15%+40%×10%=13%.
9.7
5 解析 设参加考试的49 名学生的数学成绩为xi(i=1,2,3,…,49),平均成绩为x,
5
由题意得∑
i=1
49
( xi- x )
2
49
=2,则全班50 名学生数学成绩的标准差为
√
∑
i=1
49
( xi- x )
2+( x - x )
2
50
=√
∑
i=1
49
( xi- x )
2+0
50
=√
49×2+0
50
= 7
5
.
10.BCD 解析 因为M~N(165,σ2),所以P(M<167)=0.5+0.3=0.8,故A 错误;
因为P(165<M<168)=P(162<M<165)=0.5-0.15=0.35,所以P(167<M<168)=0.35-0.3=0.05,故B 正
确;
P(M>163)=P(M<167)=0.8,若从种植园成熟的红橙中随机选取600 个,则质量大于163 g 的个数
X~B(600,0.8),
所以E(X)=600×0.8=480,故C 正确;
因为P(165<M<167)=0.3,所以P(163<M<165)=0.3,又因为P(M<162)=0.15,所以
P(162<M<163)=P(M<165)-P(163<M<165)-P(M<162)=0.5-0.3-0.15=0.05,则
P(167<M<168)=0.05,
所以P(163<M<168)=P(163<M<165)+P(165<M<167)+P(167<M<168)=0.3+0.3+0.05=0.65,
若从种植园成熟的红橙中随机选取600 个,则质量在163 g~168 g 之间的个数Y~B(600,0.65),所以
D(Y)=600×0.65×(1-0.65)=136.5,故D 正确.
故选BCD.
11.BC 解析 记事件A:车床加工的零件为次品,记事件Bi:第i 台车床加工的零件,i=1,2,3,
则P(A|B1)=8%,P(A|B2)=3%,P(A|B3)=2%,P(B1)=10%,P(B2)=40%,P(B3)=50%.
对于A,任取一个零件是第1 台生产出来的次品概率为P(AB1)=P(A|B1)P(B1)=8%×10%=0.008,故
A 错误;
对于B,任取一个零件是次品的概率为P(A)=P(A|B1)·P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=8%×10%
+3%×40%+2%×50%=0.03,故B 正确;
对于C,如果该零件是第3 台车床加工出来的,那么它不是次品的概率为P(A|B3)=1-P(A|B3)=1-
2%=0.98,故C 正确;
对于D,如果该零件是次品,那么它不是第3 台车床加工出来的概率为
1-P(B3|A)=1- P( A B3)
P( A ) =1-P( A |B3) P(B3)
P( A )
=1-2%×50 %
0.03
= 2
3,故D 错误.
故选BC.
12.BD 解析 P(A1)=4
9 ,P(A2)=2
9,P(A3)=3
9 = 1
3.
A1先发生,则乙袋中有4 个红球,3 个白球,3 个黑球,P(B|A1)= 4
10 = 2
5;A2先发生,则乙袋中有3 个红
球,4 个白球,3 个黑球,P(B|A2)= 3
10;A3先发生,则乙袋中有3 个红球,3 个白球,4 个黑球,P(B|A3)= 3
10
.
P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=2
5 × 4
9 = 8
45,故B 正确;
P(A2B)=P(B|A2)P(A2)= 3
10 × 2
9 = 1
15,P(A3B)=P(B|A3)P(A3)= 3
10 × 1
3 = 1
10,
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=31
90 ≠1
3,故C 错误;
P(A1)P(B)≠P(A1B),故A 错误;
P(A2|B)= P( A2B)
P( B)
= P( B| A2) P( A2)
P( B)
=
3
10 × 2
9
31
90
= 6
31,故D 正确.
故选BD.
6
13.146 解析 由题意知,总样本的平均数为x = 100
300×167+100
300×170+100
300×173=170,
则总样本的方差为s2=100
300×[120+(167-170)2]+100
300×[150+(170-170)2]+100
300×[150+(173-170)2]=
1
3×(120+9)+1
3×150+1
3×(150+9)=146.
14.AD 解析 设甲球员的5 场篮球比赛得分按从小到大排列为x1,x2,x3,x4,x5,则
x1≤x2≤x3≤x4≤x5,x3=26,且24 至少出现2 次,故x1=x2=24,故A 正确;
设乙球员的5 场篮球比赛得分按从小到大排列为y1,y2,y3,y4,y5,
则y1≤y2≤y3≤y4≤y5,y3=29,取y1=20,y2=23,y4=29,y5=29,可得其满足条件,但有2 场得分低于24,
故B 错误;
设丙球员的5 场篮球比赛得分按从小到大排列为z1,z2,z3,z4,z5,
由已知1
5 [( z1-26)
2+( z2-26)
2+( z3-26)
2+( z4-26)
2+( z5-26)
2]=9.6,
所以( z1-26)
2+( z2-26)
2+( z3-26)
2+( z4-26)
2+( z5-26)
2=48,
若z4≥32,则z5≥32,所以( z1-26)
2+( z2-26)
2+( z3-26)
2+( z4-26)
2+( z5-26)
2>72,与已知
矛盾,所以z5=32,( z1-26)
2+( z2-26)
2+( z3-26)
2+( z4-26)
2=12,
因为z1,z2,z3,z4,z5的平均数为26,所以z1+z2+z3+z4=98,取z1=23,z2=25,z3=25,z4=25,满足要求,但有一
场得分低于24 分,故C 错误;
因为5×60%=3,所以丙球员连续5 场比赛得分的第60 百分位数为z3+ z4
2
,若z3+ z4
2
≤24,则z1+ z2
2
≤24,故z1+z2+z3+z4<98,与选项C 中结论矛盾,所以z3+ z4
2
>24,所以丙球员连续5 场比赛得分的
第60 百分位数大于24,故D 正确.
故选AD.
