文档文本内容
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则
（ ）
(
)
U A
B
ð
A. {−2，3}
B. {−2，2，3}
C. {−2，−1，0，3}
D. {−2，−1，0，2，3}
2.若α为第四象限角，则（ ）
A. cos2α>0
B. cos2α<0
C. sin2α>0
D. sin2α<0
3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅
增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配
货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天
完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名
B. 18名
C. 24名
D. 32名
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环
绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9
块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天
心石)（ ）
A. 3699块
B. 3474块
C. 3402块
D. 3339块
5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为（ ）
2
3
0
x
y
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A.
B.
C.
D.
5
5
2 5
5
3 5
5
4 5
5
6.数列
中，
，
，若
，则
（ ）
{
}
na
1
2
a
m n
m
n
a
a a
15
5
1
2
10
2
2
k
k
k
a
a
a
k
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M
，在俯视图中对应的点为
，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
N
A.
B.
C.
D.
E
F
G
H
8.设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
O
x
a
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
,
D E
的面积为8，则
的焦距的最小值为（ ）
ODE
A
C
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
9.设函数
，则f(x)（ ）
( )
ln | 2
1|
ln | 2
1|
f x
x
x
A. 是偶函数，且在
单调递增
B. 是奇函数，且在
单调递减
1
( ,
)
2
1 1
(
, )
2 2
C. 是偶函数，且在
单调递增
D. 是奇函数，且在
单调递减
1
(
,
)
2
1
(
,
)
2
10.已知△ABC是面积为9 3
4
的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
3
3
2
3
2
11.若
，则（ ）
2
2
3
3
x
y
x
y
A.
B.
C.
D.
ln(
1)
0
y
x
ln(
1)
0
y
x
ln |
| 0
x
y
ln |
| 0
x
y
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足
，且存在正整数
1
2
n
a a
a
{0,1}(
1,2,
)
ia
i
m
，使得
成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数
(
1,2,
)
i m
i
a
a i
(
1,2,
)
i m
i
a
a i
m
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为这个序列的周期.对于周期为
的0-1序列
，
m
1
2
n
a a
a
1
1
( )
(
1,2,
,
1)
m
i
i k
i
C k
a a
k
m
m
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
1
( )
(
1,2,3,4)
5
C k
k
A.
B.
C.
D.
11010
11011
10001
11001
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同
的安排方法共有__________种.
15.设复数
，
满足
，
，则
=__________.
1z
2z
1
2
| |=| |=2
z
z
1
2
3
i
z
z
1
2
|
|
z
z
16.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①
②
③
④
1
4
p
p
1
2
p
p
2
3
p
p
3
4
p
p
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
ABC
A
（1）求A；
（2）若BC=3，求
周长的最大值.
ABC
A
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的
数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得
到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野
生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
20
1
60
i
ix
20
1
1200
i
iy
20
2
1
)
80
i
i
x
x
（
20
2
1
)
9000
i
iy
y
（
.
20
1
)
)
800
i
i
ix
y
x
y
（（
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
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均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=
，
=1.414.
1
2
2
1
1
)
)
)
)
n
i
i
i
i
i
n
n
i
i
x
y
x
x
y
y
y
x
（（
（（
2
19.已知椭圆C1：
(a>b>0)的
2
2
2
2
1
x
y
a
b
右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2
于C，D两点，且|CD|=
|AB|.
4
3
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
20.如图，已知三棱柱ABC-
A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和
P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
21.已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：
；
3 3
( )
8
f x
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（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
.
3
4
n
n
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，
多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：
（θ为参数），C2：
（t为参数）.
2
2
4cos
4sin
x
y
，
1,
1
x
t
t
y
t
t
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过
极点和P的圆的极坐标方程.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数
.
2
( )
|
2
1|
f x
x
a
x
a
（1）当
时，求不等式
的解集；
2
a
( ) 4
f x …
（2）若
，求a的取值范围.
( ) 4
f x …
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