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微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结
合）
【考点分析】
①转移概率：对于有限状态集合
，定义：
为从状态到状态
的转移概率.
②马尔可夫链：若
，即未来状态
只受当前
状态
的影响，与之前的
无关.
③完备事件组：如果样本空间
中一组事件组
符合下列两个条件：
（1）
；（2）
.
则称
是
的一个完备事件组，也称是
的一个分割.
④全概率公式： 设
是一个完备事件组，则有
⑤一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻
时，位于点
，下一个时刻，它将以概率
或者
（
）向左或者向右平移一个单位. 若记状态
表示：在时刻该点位于位置
，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于
，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在
与
处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再
游走.于是，
.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为
，原地不动，其概率为
，向右
平移一个单位，其概率为
，那么根据全概率公式可得：
【精选例题】
【例1】（2023·新高考1 卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
【例2】某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的
位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：
每位员工前面都有1 个暗盒，第1 个暗盒里有3 个红球与1 个白球.其余暗盒里都恰有2 个红球与1 个白球，
这些球的形状大小都完全相同.第1 位员工从第1 个暗盒里取出1 个球，并将这个球放入第2 个暗盒里，第
2 位员工再从第2 个暗盒里面取出1 个球并放入第3 个暗盒里，依次类推，第
位员工再从第
个暗
盒里面取出1 个球并放入第
个暗盒里.第
位员工从第
个暗盒中取出1 个球，游戏结束.若某员工取出的
球为红球，则该员工获得奖金1000 元，否则该员工获得奖金500 元.设第
位员工获得奖金为
元.
(1)求
的概率；
(2)求
的数学期望
，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.
【例3】网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的
耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90 天的
封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，
若运动员第
天进行有氧训练，则第
天进行有氧训练的概率为
，第
天进行无氧训
练的概率为
；若运动员第
天进行无氧训练，则第
天进行有氧训练的概率为
，第
天进行无氧
训练的概率为
．若运动员封闭集训的第1 天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
(1)封闭集训期间，记3 名运动员中第2 天进行有氧训练的人数为
，求
的分布列与数学期望；
(2)封闭集训期间，记某运动员第
天进行有氧训练的概率为
，求
．
【例4】甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，
另一人没投进，则投进者得1 分，没进者得-1 分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0 分，
当两人各自累计总分相差4 分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概
率为0.6，每次投球都是相互独立的．
(1)若两人起始分都为0 分，求恰好经过4 轮比赛，甲获胜的概率．
(2)若规定两人起始分都为2 分，记
（
）为甲累计总分为i 时，甲最终获胜的概率，则
①求证
（
）为等比数列
②求
的值．
【例5】某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第1 代开
粉红色花和黄色花的概率都是
，从第2 代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率
是
，开黄色花的概率是
；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为
，开黄色花的概率
为
．设第n 代开粉红色花的概率为
．
(1)求第2 代开黄色花的概率；
(2)证明：
．
【跟踪训练】
1.有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61 个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60 依次
标号.一个质点位于第0 个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1 点或2 点，则质点前进1 格，
否则质点前进2 格，每次投掷的结果互不影响.
(1)求经过两次投掷后，质点位于第4 个格子的概率；
(2)若质点移动到第59 个格子或第60 个格子时，游戏结束，设质点移动到第
个格子的概率为
，求
和
的值.
2.重庆南山风景秀丽，可以俯瞰渝中半岛，是徒步休闲的好去处. 上南山的步道很多，目前有标识的步道
共有 18 条. 某徒步爱好者俱乐部发起一项活动，若挑战者连续12 天每天完成一次徒步上南山(每天多次上
山按一次计算) 运动，即可获得活动大礼包. 已知挑战者甲从11 月1 号起连续12 天都徒步上南山一次，每
次只在凉水井步道和清水溪步道中选一条上山. 甲第一次选凉水井步道上山的概率为
而前一次选择了
凉水井步道，后一次继续选择凉水井步道的概率为
前一次选择清水溪步道，后一次继续选择清水溪步
道的概率为
，如此往复. 设甲第n(n=1，2，…， 12)天走凉水井步道上山的概率为
.
(1)求
和
；
(2)求甲在这12 天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天数.
3．有
个编号分别为
的盒子，第1 个盒子中有2 个红球和1 个白球，其余盒子中均为1 个红球和1
个白球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，现从第2 个盒子中任取一球放入第3 个盒子，
，
依次进行．
(1)求从第2 个盒子中取到红球的概率；
(2)求从第
个盒子中取到红球的概率；
(3)设第
个盒子中红球的个数为
，
的期望值为
，求证：
．
4.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第
次状态的概
率分布只跟第
次的状态有关，与第
次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，
盒子中都有大小、形状、质地相同的2 个红球和1 个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行
次操作后，记甲盒子中黑球个数为
，甲盒中恰有1 个黑球的概率为
，恰有2 个黑球的概率
为
.
（1）求
的分布列；
（2）求数列
的通项公式；
（3）求
的期望.
5.足球是一项大众喜爱的运动.2022 卡塔尔世界杯揭幕战将在2022 年11 月21 日打响，决赛定于12 月18 日
晚进行，全程为期28 天.
校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等
可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球
的人为第1 次触球者，第
次触球者是甲的概率记为
，即
．
（1）求
（直接写出结果即可）；
（2）证明：数列
为等比数列，并判断第19 次与第20 次触球者是甲的概率的大小．
6.（2019 全国1 卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行
动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲
药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药
治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮
试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得
分；若施以乙药的白鼠治
愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得
分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙
两种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求
的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则
，
，
，其中
，
，
．假设
，
．
（i）证明：
为等比数列；
（ii）求
，并根据
的值解释这种试验方案的合理性．
1．王老师每天早上7：00 准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个
乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
到校时间
7：30 之前
7：30-7：35
7：35-7：40
7：40-7：45
7：45-7：50
7：50 之后
乘地铁
0.1
0.15
0.35
0.2
0.15
0.05
乘汽车
0.25
0.3
0.2
0.1
0.1
0.05
（例如：表格中0.35 的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40 的概率为
0.35.）
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，
反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45 到校的概率；
(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当
天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10 天乘坐地铁，则不论他前一天到校
的时间是否早于7：40，第11 天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前
坐地铁的次数为
，求
；
(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早
于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐
汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐
地铁去学校.记
为王老师第
天坐地铁去学校的概率，求
的通项公式.
2．现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒子装有2 个红球和2 个白球，乙盒子装有4 个白球，这些球的大小、
形状、质地完全相同．在一次球交换过程中，从甲盒子与乙盒子中各随机选择1 个球进行交换，重复
次
这样的交换过程后，甲盒子里装有红球的个数为
．
(1)求
的概率分布及数学期望；
(2)求
．
3．某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.
为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023 年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进
行了问卷调查，据统计，有
的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024 年的“清明文化节”，
只参加“菊花文化节”的游客记1 分，两个文化节都参加的游客记2 分.假设每位初次参加“菊花文化节”
的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.
(1)从2023 年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；
(2)2024 年的“清明文化节”拟定于4 月4 日至4 月19 日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向
到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的
这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为
，若前一天选择“单车自由行”，后一
天继续选择“单车自由行”的概率为
，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”
的概率为
，如此往复.
（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）求甲第
（
，2，
，16）天选择“单车自由行”的概率
，并帮甲确定在2024 年“清明文化
节”的16 天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.
4．某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6 个红球和4
个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50 元的奖券，抽到黑球则奖励25 元的奖券；第二
次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2 倍，抽到黑球则奖励25 元的奖券，记顾客甲第
n 次抽奖所得的奖券数额
的数学期望为
.
(1)求
及
的分布列.
(2)写出
与
的递推关系式，并证明
为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6 次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：
）
5．现代排球赛为5 局3 胜制，每局25 分，决胜局15 分. 前4 局比赛中，一队只有赢得至少25 分，并领先
对方2 分时，才胜1 局. 在第5 局比赛中先获得15 分并领先对方2 分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球
队获得1 分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回
合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为
；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概
率为
.
(1)假设在第1 局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3 个回合中恰好获得2 分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5 局时，两支球队至少要进行15 个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为
. 假设在第5 局由乙队先开球，求在第15 个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球
的概率的大小.
6．某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D 这4 个选项，4 个选项中仅有两个
或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.已知测试过
程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为
，
并且规定若第
题正确选项为两个，则第
题正确选项为两个的概率为
；第
题正确选项为三个，则第
题正确选项为三个的概率为
.
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n 题正确选项为两个的概率；
(3)若第n 题只选择B、C 两个选项，设Y 表示第n 题得分，求证：
.
7．甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3 枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，
双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲
胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为
，求
的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若
表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则
.证明：
为等比数列.
8．甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1 分；只
有一人答对，该团队得0 分；两人都答错，该团队得－1 分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别
为
，
．
(1)记X 表示该团队一轮答题的得分，求X 的分布列及数学期望
；
(2)假设该团队连续答题n 轮，各轮答题相互独立．记
表示“没有出现连续三轮每轮得1 分”的概率，
，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每
轮得1 分”的概率越大．
