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微考点7-1 分布列概率中的三大最值问题（三大题型）
题型一：二项分布的转化为数列问题求最值
①当
给定时，可得到函数
，这个是数列的最值问题.
.
分析：当
时，
，
随
值的增加而增加；当
时，
，
随
值的增加而减少.如果
为正整数，当
时，
，此时这两项
概率均为最大值.如果
为非整数，而
取
的整数部分，则
是唯一的最大值.
注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量
等于期望时，概率最大.
【精选例题】
【例1】某人在11 次射击中击中目标的次数为X，若
，若
最大，则k＝
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【例2】（多选题）下列选项中正确的是（ ）
A．已知随机变量
服从二项分布
，则
B．口袋中有大小相同的7 个红球、2 个蓝球和1 个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量
，则
的数学期望
C．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为
，令事件
，事件
，则事件
与事件
相互独立
D．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9 次射击中，最有可能击中的次数是7 次
【例3】高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅
读现状，调查者在某校随机抽取100 名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
时间（
小
时/周）
0
人数
20
40
30
10
(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100 名学生中随机抽取
10 名学生，再从这10 人中随机抽取2 名进行详细调查，求这2 名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于
0.5 小时的概率；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10 名学生，用
表示这10 名学生中恰有
名学生数学阅读时间在
小时的概率，求
取最大值时对应的
的值．
【题型专练】
1．（多选题）某同学共投篮12 次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的
次数为随机变量
，下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．该同学投篮最有可能命中9 次
2．若随机变量X 服从二项分布
，则使
取得最大值时，
______．
3．已知随机变量
，若
最大，则
______．
4．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的
个坑进
行播种，每个坑播3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为
，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而
言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当
______时，有3 个坑要补
播种的概率最大，最大概率为______．
5．小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有
力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的
购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5 户.若抽取的5 户中购买量在
（单位：
）的户数为2 户，从5 户中选出3 户进行生活情况调查，记3 户中需求量在
（单位：
）的户数为
，
求
的分布列和期望；
(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于
时，则该居民户
称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10 户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值.
题型二：二项分布的转化为导数问题求最值
当
给定时，可得到函数
，这个是函数的最值问题，
这可以用导数求函数最值与最值点.
分析：
当
时，由于当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，故当
时，
取得最大值，
.又当
，当
时，
，从而
无最小值.
【精选例题】
【例1】（2018 年全国1 卷）．某工厂的某种产品成箱包装，每箱
件，每一箱产品在交付用户之前要
对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取
件作检验，再根
据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
，且各件
产品是否为不合格品相互独立．
（1）记
件产品中恰有
件不合格品的概率为
,求
的最大值点
；
（2）现对一箱产品检验了
件，结果恰有
件不合格品，以（1）中确定的
作为
的值．已知每件产
品的检验费用为
元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付
元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
，求
;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【例2】设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为
，
，
，
，
．指标
可用来刻画X 和Y 的相似程度，其定义为
．设
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)对任意与
有相同可能取值的随机变量
，证明：
，并指出取等号的充要条件
【跟踪训练】
1．某超市推出了一项优惠活动，规则如下：
规则一：顾客在本店消费满100 元，返还给顾客10 元消费券；
规则二：顾客在本店消费满100 元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20 元的奖品．顾客每次抽
奖是否中奖相互独立．
(1)某顾客在该超市消费了300 元，进行了3 次抽奖，每次中奖的概率均为
．记中奖2 次的概率为
，
求
取得最大值时，
的值
．
(2)若某顾客有3 次抽奖的机会，且中奖率均为
，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由．
2.某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP 中特有的“四人赛”答题活动进行比
赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3 分，第二局
获胜得2 分，失败均得1 分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二
局比赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1），
，且各局比赛互不影响.
(1)若
，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)设小张在这5 天的“四人赛”活动中，恰有3 天每天得分不低于4 分的概率为
，试问当p 为何值时，
取得最大值.
题型三：超几何分布的概率最值
将从
件产品中取出
件产品的可能组合全体作为样本点，总数为
.其中，次品出现
次的可能
为
.令
，则所求概率为
即
.令
则当
时，
；当
时，
，即当
时，
是关于
的增函数；当
时，
是关于
的减函数.所以
当
时，
达到最大值.
【精选例题】
【例1】设随机变量
（
且
），
最大时，
（ ）
A．1.98
B．1.99
C．2.00
D．2.01
【例2】（2023 届四省联考）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200 尾鱼，并给鱼作上标识，
然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500 尾鱼，
表示捞出的500 尾鱼中有标识的鱼的
数目．
（1）若
，求
的数学期望；
（2）已知捞出的500 尾鱼中15 尾有标识，试给出N 的估计值（以使得
最大的N 的值作为N 的估
计值）．
【跟踪训练】
1.2023 年中央一号文件指出,艮旋要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的农副特色产
品开设直播带货专部.(公众号浙江省高中数学)直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客中进行体验
调本向卷.已知有
名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活迹次
抽奖都是由系统独立、随机地从这
名顾客中抽取20 名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这
名顾
客都在线,记两次抽中的顾客总人数为
(不重复计数).
（1）若甲是这
名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为
，求
;
（2）求使
取得最大值时的整数
.
1．随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，
培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂
每天都会提供A，B 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天
选择A 套餐的概率为
，选择B 套餐的概率为
.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为
，选择
套餐的概率为
；前一天选择
套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为
，选择
套餐的概率
也是
，如此往复.记同学甲第
天选择
套餐的概率为
.
(1)求同学甲第二天选择
套餐的概率；
(2)证明：数列
为等比数列；
(3)从该校所有学生中随机抽取100 名学生统计第二天选择去A 餐厅就餐的人数
，用
表示这100
名学生中恰有
名学生选择去A 餐厅就餐的概率，求
取最大值时对应的
的值.
2．某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50 只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5 组，
每组10 只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量
表示第组被感染的白鼠数，并将随机
变量
的观测值
绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为
，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记
为事件“
”.
(1)写出
（用
表示，组合数不必计算）；
(2)研究团队发现概率
与参数
之间的关系为
.在统计学中，若参数
时的
值使得概率
最大，称
是
的最大似然估计，求
.
3．N95 型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径
的颗粒的过滤效率达到95%
以上．某防护用品生产厂生产的N95 型口罩对空气动力学直径
的颗粒的过滤效率服从正态分布
．
(1)当质检员随机抽检10 只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径
的颗粒的过滤效率为93．6%
时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道
理，并说明判断的依据．
(2)该厂将对空气动力学直径
的颗粒的过滤效率达到95．1%以上的N95 型口罩定义为“优质品”．
（ⅰ）求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；
（ⅱ）该企业生产了1000 只这种N95 型口罩，且每只口罩互相独立，记
为这1000 只口罩中“优质品”
的件数，当
为多少时可能性最大（即概率最大）？
4．汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新
能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进
行调查，得到下面的统计表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
销量
万辆
10
12
17
20
26
(1)统计表明销量
与年份代码
有较强的线性相关关系，求
关于
的线性回归方程，并预测该地区新能
源汽车的销量最早在哪一年能突破50 万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该
地区200 位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有
名，购置新能源汽车的
有45 名，女性车主中有20 名购置传统燃油汽车．
①若
，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方
程预测该地区2023 年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千
人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为
，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机
抽取5 人，记恰有3 人购置新能源汽车的概率为
，求当
为何值时，
最大．
附：
为回归方程，
，
．
5．学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天
内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2 分，失败得1 分；一天内参与“四人赛”活
动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3 分，次局获胜得2 分，失败均得1 分．已知李明参加“双人
对战”活动时，每局比赛获胜的概率为
；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获
胜的概率分别为p，
．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），
各局比赛互不影响．
(1)求李明这5 天参加“双人对战”活动的总得分X 的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5 天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3 天每天得分不低于3 分的概率为
．求p
为何值时，
取得最大值．
6．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：
阶梯
年用气量（立方米）
价格（元/立方米）
第一阶
梯
不超过228 的部分
3.25
第二阶
梯
超过228 而不超过348 的部分
3.83
第三阶
梯
超过348 的部分
4.70
从该市随机抽取10 户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：
居民用气编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用气量（立方
米）
95
106
112
161
210
227
25
6
313
325
457
（1）求一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；
（2）现要在这10 户家庭中任意抽取3 户，求抽到的年用气量超过228 立方米而不超过348 立方米的用户
数的分布列与数学期望；
（3）若以表中抽到的10 户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10 户，其中恰有k
户年用气量不超过228 立方米的概率为
，求
取最大值时的值．
7．某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取
有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资
的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5 户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在
（单位：
）的概率是多少？
②若抽取的5 户中购买量在
（单位：
）的户数为2 户，从5 户中选出3 户进行生活情况调查，记3
户中需求量在
（单位：
）的户数为
，求
的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于
时，则称该居
民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10 户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k
的值.
8．某家畜研究机构发现每头成年牛感染H 型疾病的概率是
，且每头成年牛是否感染H 型疾病
相互独立．
（1）记
头成年牛中恰有头感染H 型疾病的概率是
，求当概率
取何值时，
有最大值？
（2）若以（1）中确定的
值作为感染H 型疾病的概率，设
头成年牛中恰有
头感染H 型疾病的概率是
，求当
为何值时，
有最大值？
