文档文本内容
1
解密08
与
案例
统计
统计
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
抽样方法
【2013 年新课标1】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地
区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小
学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视
力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
以空间几何体为载
体考查空间角是高
考命题的重点，常
与空间线面关系的
证明相结合，热点
为二面角的求解，
均以解答题的形式
进行考查，难度主
要体现在建立空间
直角坐标系和准确
计算上.
【2019 新课标Ⅰ】某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些
学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距
抽取100 名学生进行体质测验．若46 号学生被抽到，则下面4 名学
生中被抽到的是（ ）
【2018 新课标Ⅲ】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的
评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最
合适的抽样方法是________．
用样本估计
总体
【2020·新高考海南卷】我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有
序推进复工复产，下面是某地连续11 天复工复产指数折线图，下
列说法正确的是( )
【2019 新课标Ⅱ卷】演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始
评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1
个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比，
不变的数字特征是( )
【2018 新课标Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收
入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化
情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得
到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是( )
【2019 新课标Ⅲ卷】试验：将200 只小鼠随机分成A，B 两组，每
组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶
液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后
用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据
分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比
不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表).
回归分析在
实际问题中
的应用
【2020 新课标Ⅰ卷】某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：℃)的关
系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，
yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至
40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x
的回归方程类型的是( )
【2020 新课标Ⅱ】为调查该地区某种野生动物
数量，将其分成面
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2
积相近的200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20
个作为样区，调查得到样本数据
，其中
和
分别表示第个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的
数量，并计算得
，
，
，
，
．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的
估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本
的相关系数（精确到0.01）；
独立性检验
【2020·新高考山东、海南卷】为加强环境保护，治理空气污染，环
境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的
PM2.5 和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
(1)略；(2)根据所给数据，完成下面的2×2 列联表：
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气
中PM2.5 浓度与SO2浓度有关？
核心考点一 抽样方法
抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，
但又各有其特点和适用范围.
1.【2013 年新课标1】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调
查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异
不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(
)
A、简单随机抽样
B、按性别分层抽样
C、按学段分层抽样 D、系统抽样
【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段
分层抽样，故选C.
2．【2019 新课标Ⅰ】某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这
些新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验．若46 号学生被抽到，则下面4 名学生中被抽
到的是（ ）
A．8 号学生
B．200 号学生 C．616 号学生
D．815 号学生
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3
【解析】由已知将1000 名学生分成100 个组，每组10 名学生，用系统抽样，46 号学生被抽到，所以第一
组抽到6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列
，公差
，所以
，若
，解得
，不合题意；若
，解得
，不合题意；若
，
则
，符合题意；若
，则
，不合题意．故选C．
3．【2018 新课标Ⅲ】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评
价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的
抽样方法是________．
【解析】因为不同年龄的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不
同年龄段客户对公司服务的客观评价．故填：分层抽样．
1.总体由编号为01，02，…，49，50 的50 个个体组成，利用下面的随机数表选取6 个个体，选取方法是
从随机数表第6 行的第9 列和第10 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4 个个体的编号为(
)
附：第6 行至第9 行的随机数表
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
A.3
B.19
C.38
D.20
【解析】由题意知，编号为01～50 的个体才是需要的个体.由随机数表依次可得41，48，28，19，16，
20，……故第4 个个体的编号为19.故选B.
2.在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课.我校高一、高二、高三共有学生1 800 名，为了了解
同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1 800 名学生中抽取一个容量为72 的样
本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为( )
A.800
B.750
C.700
D.650
【解析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x－2，2x－4.
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4
由题意可得2x＋(2x－2)＋(2x－4)＝72，∴x＝13.设我校高三年级的学生人数为N，且高三抽取26 人，由分
层抽样，得＝，∴N＝650(人).故选D.
核心考点二 用样本估计总体
统计中的四个数据特征：
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间
两个数据的平均数作为中位数.
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝(x1＋x2＋…＋xn).
(4)方差与标准差.
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，
s＝.
3.直方图的两个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率.
(2)各小长方形的面积之和等于1.
1.【2020·新高考海南卷】我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11
天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )
A.这11 天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3 天至第11 天复工复产指数均超过80%
D.第9 天至第11 天复产指数增量大于复工指数的增量
【解析】由图可知，第1 天到第2 天复工指数减少，第7 天到第8 天复工指数减少，第10 天到第11 天复工
指数减少，第8 天到第9 天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指数与复工指数的差大于
第11 天的复产指数与复工指数的差，所以这11 天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误；
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由图可知，第3 天至第11 天复工复产指数均超过80%，故C 正确；由图可知，第9 天至第11 天复产指数
增量大于复工指数的增量，故D 正确；故选CD.
2.【2020·天津卷】从一批零件中抽取80 个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9 组：[5.31，
5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零
件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( )
A.10
B.18
C.20
D.36
【解析】因为直径落在区间[5.43，5.47)内的频率为0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以个数为0.225×80＝18.故
选B.
3.【2019 新课标Ⅲ卷】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机
分成A，B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的
溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据
试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
【解析】(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
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2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
1.【2019 新课标Ⅱ卷】演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个
原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数
字特征是( )
A.中位数
B.平均数
C.方差
D.极差
【解析】中位数是将9 个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1 个最高分和
1 个最低分，中位数是不变的，平均数、方差、极差均受影响.故选A.
2.【2018 新课标Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了
解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所
示的饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【解析】设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，则由饼图可得新农村建设前种植
收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖
收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的.故选
A.
3.【2019 新课标Ⅱ卷】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到
这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.
y 的分组
[－0.20，0)
[0，0.20)
[0.20，0.40)
[0.40，0.60)
[0.60，0.80]
企业数
2
24
53
14
7
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7
①分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
②求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到
0.01)附：≈8.602.
【解析】①频数分布表得，所调查的100 个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.
产值负增长的企业频率为＝0.02.
所以用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的
企业比例为2%.
②100 个企业的产值增长率平均数为
y＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，
s2＝∑ni(yi－y)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，
s＝＝0.02×≈0.17.
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.
核心考点三 回归分析在实际问题中的应用
回归直线y＝bx＋a经过样本点的中心(x，y)，若x 取某一个值代入回归直线方程y＝bx＋a中，可求出y
的估计值.
1.求回归直线方程的关键及实际应用：
(1)关键：正确理解b，a的计算公式和准确地计算.
(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否
具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.
2.相关系数：
(1)当r>0 时，表明两个变量正相关；当r<0 时，两个变量负相关.
(2)当|r|>0.75 时，认为两个变量具有较强的线性相关关系.
1.【2020 新课标Ⅰ卷】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：℃)的关系，在
20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
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由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类
型的是( )
A.y＝a＋bx
B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋bex
D.y＝a＋bln x
【解析】由散点图可以看出，这些点大致分布在对数型函数的图象附近.故选D.
2.【2020 新课标Ⅱ】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地
区某种野生动物
数量，将其分成面积相近的200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20 个
作为样区，调查得到样本数据
，其中
和
分别表示第个样区的植物覆盖面积(单位：
公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本
的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生
动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附相关系数：
，
．
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9
【解析】（1）样区野生动物平均数为
，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
．
（2）样本
的相关系数为：
．
（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖
面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构
与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
1．【2012 新课标文】在一组样本数据
，
，……，
（
，
，
，……，
不全
相等）的散点图中，若所有样本点
都在直线
上，则这组样本数据的样本相
关系数为（ ）
A．−1 B．0 C． D．1
【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.
2．【2015 新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
（单位：千元）对
年销售量
（单位：t）和年利润
（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费
和年销售量
（=1，
2，······，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
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10
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中
，
=
．
（Ⅰ）根据散点图判断，
与
哪一个适宜作为年销售量
关于年宣传费
的回归方
程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立
关于
的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率
与
、
的关系为
．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费
=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费
为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据
，
，
，
，其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计
分别为
，
．
【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，
适宜作为年销售量
关于年宣传费
的回归方程类型．
（Ⅱ）令
，先建立
关于
的线性回归方程，由于
．
，
所以
关于
的线性回归方程为
，因此
关于
的回归方程为
．
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当
时，年销售量
的预报值
年利润
的预报值
．
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11
（ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润
的预报值
．
所以当
，即
时，
取得最大值．
故年宣传费为
千元时，年利润的预报值最大．
核心考点四 独立性检验
1.独立性检验：对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X 和Y，其样本频数列联表是：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n
则K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d 为样本容量).
2.独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列成2×2 列联表；
(2)根据公式K2＝，计算K2的值；
(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断.
2.K2的观测值k 越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大.
1.某省二线城市地铁正式开工建设，地铁时代的到来能否缓解该市的交通拥堵状况呢？某社团进行社会调
查，得到的数据如下表：
男性市民
女性市民
认为能缓解交通拥堵
48
30
认为不能缓解交通拥堵
12
20
则下列结论正确的是( )
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
A.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”
B.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”
C.有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”
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12
D.有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”
【解析】由2×2 列联表，可求K2的观测值，
k＝≈5.288>3.841.
由统计表P(K2≥3.841)＝0.05，∴有95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”.故选A.
2.【2020·新高考山东、海南卷】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，
随机抽查了100 天空气中的PM2.5 和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
SO2
PM2.5
[0，50]
(50，150]
(150，475]
[0，35]
32
18
4
(35，75]
6
8
12
(75，115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2 列联表：
SO2
PM2.5
[0，150]
(150，475]
[0，75]
(75，115]
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5 浓度与SO2浓度有关？
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)根据抽查数据，该市100 天的空气中PM2.5 浓度不超过75，且SO2浓度不超过150 的天数为32
＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75，且SO2浓度不超过150 的概率的估计值为
＝0.64.
(2)根据抽查数据，可得2×2 列联表：
SO2
PM2.5
[0，150]
(150，475]
[0，75]
64
16
(75，115]
10
10
(3)根据(2)的列联表得
K2的观测值k＝≈7.484.
由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5 浓度与SO2浓度有关.
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13
1．【2019 新课标Ⅰ】某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该商
场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
．
P
（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为
，
因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为
．
女顾客中对该商场服务满意的比率为
，
因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为
．
（2）由题可得
．由于
，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
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