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规范练1
(时间:45 分钟,满分:46 分)
1.(10 分)(2023 全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n 项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n 项和Tn.
2.(12 分)(2022 新高考Ⅰ,18)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos A
1+sin A =
sin 2B
1+cos2B .
(1)若C=2π
3 ,求B;
(2)求a
2+b
2
c
2
的最小值.
3.(12 分)(2023 新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标
有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
2
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c 的人判定为阳性,小于或等于c 的
人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判
定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c 和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
4.(12 分)(2023 山东泰安一模)在如图所示的几何体中,底面ABCD 是边长为6 的正方形,
AE⊥AB,EG∥AD,EG=1
2AD,EF∥AB,EF=1
2AB,AE=6,点P,Q 分别在棱GD,BC 上,且
GP=PD,BQ=3QC,AD⊥PQ.
(1)证明:AE⊥平面ABCD;
(2)设H 为线段GC 上一点,且三棱锥A-CDH 的体积为18,求平面ACH 与平面ADH 夹角的余弦值.
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规范练1
1.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意,得{
a1+d =11,
10a1+ 45d = 40,解得{
a1=13,
d =-2,
所以an=a1+(n-1)d=15-2n.
(2)设等差数列{an}的前n 项和为Sn,
则Sn=n(a1+an)
2
= n(13+15-2n)
2
=14n-n2,
由(1)可知,an=15-2n,令an≥0,解得n≤15
2 ,
所以该数列的前7 项是正数,从第8 项起为负数,
当n≤7 时,Tn=Sn=14n-n2,
当n≥8 时,Tn=-Sn+2S7=n2-14n+98.
综上所述,Tn={
14 n-n
2,n≤7,
n
2-14 n+98,n≥8.
2.解 ∵cos A
1+sin A =
sin2B
1+cos2B = 2sin Bcos B
2co s
2B
,且cos B≠0,
∴由cos A
1+sin A = sin B
cos B 得cos Acos B=sin B(1+sin A),
∴cos Acos B=sin B+sin Asin B,
∴sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C>0.∴sin B>0,cos C<0,∴π
2
<C<π,0<B<π
2 .
∴sin B=sin(C - π
2),∴B=C-π
2 或B+C-π
2 =π(舍去).
(1)若C=2π
3 ,则0<B<π
3 ,
∴sin B=-cos C=-cos2π
3 = 1
2.∴B=π
6 .
(2)(方法一)由正弦定理得a
2+b
2
c
2
= sin
2 A + sin
2B
sin
2C
,
(*)
∵C=π
2 +B,A+B+C=π,∴A+B+π
2 +B=π,∴A=π
2 -2B.又0<A<π
2 ,∴0<B<π
4 .
∴(*)式为
sin
2(
π
2 -2B)+ sin
2B
sin
2(
π
2 + B)
= co s
22B+ sin
2B
co s
2B
= co s
22B+1-co s
2B
co s
2B
=(2co s
2B -1)
2+1-co s
2B
co s
2B
.
令cos2B=t,则t∈(
1
2 ,1),于是原式=(2t -1)
2+1-t
t
= 4t
2- 4t +1+1-t
t
= 4t
2-5t +2
t
=4t+2
t
-5≥2√4t · 2
t -5=4√2-5,当且仅当{
4t = 2
t ,
1
2 <t <1,
即t=√2
2 时取等号.
4
∴a
2+b
2
c
2
的最小值为4√2-5.
(方法二)∵sin B=-cos C,B=C-π
2 ,∴A=π-(B+C)=3 π
2 -2C.又0<A<π
2 ,∴π
2 <C<3 π
4 ,∴1
2<sin2C<1.
∴sin A=sin(B+C)=sin(2C - π
2)=-cos 2C,
∴
a
2+b
2
c
2
= sin
2 A + sin
2B
sin
2C
=(-cos2C )
2+(-cosC )
2
sin
2C
=(1-2sin
2C )
2+(1- sin
2C )
sin
2C
= 2+ 4 sin
4C -5 sin
2C
sin
2C
=
sin
+4sin2C-5
≥2√
2
sin
2C
·4 sin
2C-5=4√2-5,
当且仅当sin2C=√2
2 时,a
2+b
2
c
2
有最小值4√2-5.
3.解 (1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,∴c=
95+100
2
=97.5.
由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.
(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;
当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.
∴f(c)={
-0.008c +0.82,c∈[95,100),
0.01c -0.98,c∈[100,105].
故当c=100 时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.
4.(1)证明 取线段AD 的中点R,RD 的中点K,连接GR,PK,QK.∵EG∥AD,EG=1
2AD,
∴E,A,D,G 四点共面,且EG∥AR,EG=AR,
∴四边形ARGE 为平行四边形,∴GR∥AE.
又GP=PD,RK=KD,∴PK∥GR,∴PK∥AE.
∵BQ=3QC,AK=3KD,∴AB∥QK,∴AD⊥QK.
又AD⊥PQ,PQ,QK⊂平面PQK,PQ∩QK=Q,
∴AD⊥平面PQK.
又PK⊂平面PQK,∴AD⊥PK,∴AE⊥AD.
又AE⊥AB,AB,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A,
∴AE⊥平面ABCD.
(2)解 设点H 到平面ABCD 的距离为h,则三棱锥A-CDH 的体积为VA-CDH=VH-ACD=1
3
×S△ACD×h=6h=18,∴h=3.
又点G 到平面ABCD 的距离为6,∴H 为GC 的中点.
由(1)知,AE⊥平面ABCD,以A 为原点,AB,AD,AE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示
的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(6,6,0),D(0,6,0),G(0,3,6),H(3, 9
2 ,3),
5
∴⃗AH =(3, 9
2 ,3),⃗AD=(0,6,0),⃗AC=(6,6,0).
设平面ACH 的法向量为m=(x1,y1,z1),则{
m·⃗AH =0,
m·⃗AC =0,
∴{
3 x1+ 9
2 y1+3 z1=0,
6 x1+6 y1=0,
取x1=2,解得{
y1=-2,
z1=1,
∴m=(2,-2,1).
设平面ADH 的法向量为n=(x2,y2,z2),则{
n·⃗AH =0,
n·⃗AD =0,
∴{
3 x2+ 9
2 y2+3 z2=0,
6 y2=0,
取x2=1,解得{
y2=0,
z2=-1,
∴n=(1,0,-1).∴cos<m,n>= m·n
|m||n| =
1
3×√2 = √2
6 ,
∴平面ACH 与平面ADH 夹角的余弦值为√2
6 .
