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专题十三
推理与证明
第三十八讲
推理与证明
2019
年
2019
年
8.
2019
（
全国I
理）
4
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底
的长度之比是
5 1
2
−（
5 1
2
−
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如
此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5 1
2
−．若某人满
足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高
可能是
A．
165 cm
B．
175 cm
C．
185 cm
D．190 cm
8
8
8
8
8
解析
解析
解析
解析
解析头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
5-1
0.618
2
，
可得咽喉至肚脐的长度小于
26
42
0.618
，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5-1
2
，可得肚脐至足底的长度小
42+26 =110
0.618
，
即有该人的身高小于
110
68 178cm
+
=
，
又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm 之间．故选B．
9. （2019 全国II 理4）2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面
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软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问
题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿
着围绕地月拉格朗日
2
L 点的轨道运行．
2
L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球
质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，
2
L 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和
万有引力定律，r 满足方程：
1
2
1
2
2
3
(
)
(
)
M
M
M
R
r
R
r
r
R
+
=
+
+
.
设
r
R
=
，由于的值很小，因此在近似计算中
3
4
5
3
2
3
3
3
(1
)
+
+
+
，则r 的近似值为
A．
2
1
M R
M
B．
2
1
2
M
R
M
C．
2
3
1
3M R
M
D．
2
3
1
3
M R
M
9 解析
解析
解析
解析
解析
解法一（直接代换运算）：由
1
2
1
2
2
3
(
)
(
)
M
M
M
R
r
R
r
r
R
+
=
+
+
及
r
R
=
可得
1
2
1
2
2
2
2
(1
)
(1
)
M
M
M
R
r
R
+
=
+
+
，
3
2
3
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
[(1
)
1]
(3
3
)
(1
)
(1
)
(1
)
(1
)
M
M
M
M
M
r
R
R
R
R
+
−
+
+
=
+
−
=
=
+
+
+
.
因为
3
4
5
3
2
3
3
3
(1
)
+
+
+
，所以
2
1
1
2
2
3
3
3
M
M
M r
r
r
R
R
R
=
，则
3
3
2
1
3
M R
r
M
，
2
3
1
3
M
r
R
M
.
故选D.
解法二（由选项结
解法二（由选项结
解法二（由选项结
解法二（由选项结
解法二（由选项结构特征
构特征
构特征
构特征
构特征入手
入手
入手
入手
入手）：因为
r
R
=
，所以r
R
=
，
r 满足方程：
1
2
1
2
2
3
(
)
(
)
M
M
M
R
r
R
r
r
R
+
=
+
+
．
所以
3
4
5
3
2
2
1
3
3
3
(1
)
M
M
+
+
=
+
，
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所以
2
3
1
3
M
r
R
R
M
=
=
故选D.
2010-2018
年
一、选择题
1．(2018 浙江)已知
1a ，2a ，
3a ，
4a 成等比数列，且
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
．若
1
1
a
，则
A．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
B．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
C．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
D．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
2．(2018 北京)设集合
{( , )|
1,
4,
2},
A
x y
x
y
ax
y
x
ay
=
−
+
−
≥
≤
则
A．对任意实数a，
(2,1)
A
B．对任意实数a，
(2,1)
A
C．当且仅当 0
a
时，
(2,1)
A
D．当且仅当
3
2
a≤
时，
(2,1)
A
3．（2017 新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有
位优秀，
2
2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给
丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩
．丁可以知道四人的成绩
B
C．乙、丁可以知道对方的成绩
．乙、丁可以知道自己的成绩
D
4．（2017 浙江）如图，已知正四面体
D
ABC
−
（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，
R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，
AP
PB
=
，
2
BQ
CR
QC
RA
=
=
，分别记二面角
D
PR
Q
−
−
，
D
PQ
R
−
−
，
D
QR
P
−
−
的平面角为，，，则
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R
Q
P
A
B
C
D
A．<<
B
．< <
C
．<< D．<<
5
(2016
)
．
北京某学校运动会的立定跳远和
秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶
30
段．下表为
名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊
10
.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：米）
1.96 1.92
1.82
1.80 1.78
1.76 1.74
1.72
1.68
1.60
30 秒跳绳（单位：次）
63
a
75
60
63
72
70
a−1
b
65
在这
名学生中，进入立定跳远决赛的有
人，同时进入立定跳远决赛和
秒跳绳决
10
8
30
赛的有
人，则
6
A
2
．号学生进入
秒跳绳决赛
．号学生进入
秒跳绳决赛
30
B
5
30
C
8
．号学生进入
秒跳绳决赛
．号学生进入
秒跳绳决赛
30
D
9
30
6
(2015
)
．
广东若集合
(
)
{
, , ,
0
4,0
4,0
4
Ε
p q r s
p
s
q
s
r
s
=
≤
≤
≤
≤
≤
≤
，且
, , ,
}
p q r s，
(
)
, , ,
0
4,0
4
, , ,
F
t u v w
t
u
v
w
t u v w
=
≤
≤
≤
≤且
，
用
(
)
card Χ 表示集合Χ 中的元素个数，则
( )
( )
card
card
Ε
F
+
=
A．200
B．150
C．100
D．50
7
2014
．（
北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不
合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于
乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩
好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有
A．2
人
．
B
3
人
．
C
4
人
．
D
5人
8
2014
．（
山东）用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程
3
0
x
ax
b
+
+
=
至少有一个实根”
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时，要做的假设是
A．方程
3
0
x
ax
b
+
+
=
没有实根
．方程
B
3
0
x
ax
b
+
+
=
至多有一个实根
C．方程
3
0
x
ax
b
+
+
=
至多有两个实根
．方程
D
3
0
x
ax
b
+
+
=
恰好有两个实根
9
2011
．（
江西）观察下列各式:
5 5
3125
=
，
6
5
15 625
=
，
7 5
78125
=
，，则
2011
5
的
末四位数字为
A
3125 B
5625 C
0625 D
8125
．
．
．
．
10．（ 2010 山东）观察
2
(
)
2
x
x
=
，
4
3
(
)
4
x
x
=
，
(cos )
sin
x
x
= −
，由归纳推理可得：若
定义在R 上的函数
( )
f x 满足
(
)
( )
f
x
f x
−
=
，记( )
g x 为
( )
f x 的导函数，则(
)
g
x
−
=
A．
( )
f x
B．
( )
f x
−
C．( )
g x
D．
( )
g x
−
二、填空题
11．
已知集合
(2018 江苏)
*
{ |
2
1,
}
A
x x
n
n
=
=
−
N
，
*
{ |
2 ,
}
n
B
x x
n
=
=
N
．将A
B 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列{
}
na
．记
n
S 为数列{
}
na
的前n 项和，则使得
1
12
n
n
S
a +
成立的n 的最小值为
．
12．（2017 北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点
iA
的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点
iB 的横、纵坐标分
别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，，
2
3．
①记
iQ 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则
1
Q ，
2
Q ，
3
Q 中最大的是_ ___
．
②记
ip 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则
1
p ，
2
p ，
3
p 中最大的
是______
．
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13．(2016 新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走
一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡
片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，
则甲的卡片上的数字是 ．
14．（ 2016 山东）观察下列等式：
2
2
π
π
2
4
(sin
)
(sin
)
1 2
3
3
3
−
−
+
=
；
2
2
2
2
π
π
π
π
2
3
4
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
2 3
5
5
5
5
3
−
−
−
−
+
+
+
=
；
2
2
2
2
π
π
π
π
2
3
6
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
3 4
7
7
7
7
3
−
−
−
−
+
+
++
=
；
2
2
2
2
π
π
π
π
2
3
8
4
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
4 5
9
9
9
9
3
−
−
−
−
+
+
++
=
；
……
照此规律，
2
2
2
2
π
2π
π
π
3
2
(sin
)
(sin
)
(sin
)
(sin
)
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
−
−
−
−
+
+
++
=
+
+
+
+
_______．
15．（ 2015 陕西）观察下列等式：
1－1
1
2
2
=
1－
1
1
1
1
1
2
3
4
3
4
+
−
=
+
1－
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
4
5
6
+
−
+
−
=
+
+
……
据此规律，第n 个等式可为______________________．
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16．（
山东）观察下列各式：
2015
0
0
1
4
C =
；
0
1
1
3
3
4
C
C
+
=
；
0
1
2
2
5
5
5
4
C
C
C
+
+
=
0
1
2
3
3
7
7
7
7
4
C
C
C
C
+
+
+
=
……
照此规律，当
*
N
n
时，
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
C
C
C
C −
−
−
−
−
+
+
++
=
．
17．（ 2014 安徽）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边
2 2
BC =
，过点A作BC 的垂
线，垂足为
1
A ；过点
1
A 作AC 的垂线，垂足为
2
A ；过点
2
A 作
1
AC 的垂线，垂足为
3
A ；…，依此类推，设
1
BA
a
=
，
1
2
AA
a
=
，
1
2
3
A A
a
=
，…，
5
6
7
A A
a
=
，则
7 a = __．
A
B
C
A1
A2
A 3
A4
18．(2014
)
福建若集合
},
4,3,2,1
{
}
,
,
,
{
=
d
c
b
a
且下列四个关系：①
1
=
a
；②
1
b
；③
2
=
c
；
④
4
d
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组
)
,
,
,
(
d
c
b
a
的个数是____
．
19．(2014
)
北京顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石
各制成一件工艺品，工艺师带一
原料
位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，
两件工艺品都完成后交付顾客，两件
工序所需时间（单位：工作日）如下：
原料每道
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
21
则最短交货期为
个工作日．
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20．(2014
)
陕西已知
0
,
1
)
(
+
=
x
x
x
x
f
，若
+
+
=
=
N
n
x
f
f
x
f
x
f
x
f
n
n
)),
(
(
)
(
),
(
)
(
1
1
，则
)
(
2014 x
f
的表达式为________．
21．(2014
)
陕西观察分析下表中的数据：
多面体
面数（F ）
顶点数（V )
棱数（E )
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，
E
V
F
，
，
所满足的等式是_________
．
22．(2013
)
陕西观察下列等式:
2 1
1
=
2
2
1
2
3
−
= −
2
2
2
1
2
6
3
+
−
=
2
2
2
2
1
2
4
3
10
−
+
−
= −
…
照此规律第
,
n 个等式可为
．
23．(2013
)
湖北古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数，
1
3，6，
10，…，第n 个三角形数为
(
)
2
1
1
1
2
2
2
n n
n
n
+
=
+
．记第n 个k 边形数为
(
)
,
N n k
(
)
3
k
，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数
(
)
2
1
1
,3
2
2
N n
n
n
=
+
正方形数
(
)
2
,4
N n
n
=
五边形数
(
)
2
3
1
,5
2
2
N n
n
n
=
−
六边形数
(
)
2
,6
2
N n
n
n
=
−
……
可以推测
(
)
,
N n k 的表达式，由此计算
(
)
10,24
N
=
．
24．(2012
)
陕西观察下列不等式
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2
1
3
1
2
2
+
2
3
1
1
5
1
2
3
3
+
+
，
4
7
4
1
3
1
2
1
1
2
2
2
+
+
+
，
……
照此规律，第五个
．．．不等式为
．
25．(2012
)
湖南设
2
n
N =
*
(
,
2)
n
N
n
…
，将N 个数
1
2
,
,
,
N
x x
x
依次放入编号为1,2，…，
N 的N 个位置，得到排列
0
1
2
N
P
x x
x
=
．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数
取出，并按原顺序依次放入对应的前
2
N
和后2
N
个位置，得到排列
1
1
3
1
2
4
N
N
P
x x
x
x x
x
−
=
，将此操作称为
变换，将
C
1
P 分成两段，每段2
N 个数，并
对每段作
变换，得到
C
2P ；当2
2
i
n−
剟
时，将
iP 分成2
i 段，每段2
i
N 个数，并对
每段
变换，得到
C
1
iP+ ，例如，当N =8 时，
2
1
5
3
7
2
6
4
8
P
x x x x x x x x
=
，此时
7
x 位于
2P 中
的第
个位置
4
.
（）当
1
N =16 时，
7x 位于
2P 中的第
个位置；
（）当
2
2 n
N =
（
8
n… ）时，
173
x
位于
4
P 中的第
个位置
.
26．(2011 陕西)观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n 个等式为
．
27．(2010
)
浙江设
1
1
2,
,(2
)
(3
)
2
3
n
n
n
n
N
x
x
+
−
+
2
0
1
2
n
n
a
a x
a x
a x
=
+
+
++
，将
(0
)
k
a
k
n
的最小值记为
nT ，则
2
3
4
5
3
3
5
5
1
1
1
1
0,
,
0,
,
,
2
3
2
3
T
T
T
T
=
=
−
=
=
−
,
n
T 其中
nT =__________________
．
28．(2010
)
福建观察下列等式：
关注微信公众号：加油高三
① cos2=2
2
cos −1
；
② cos4=8
4
cos −8
2
cos + 1
；
③ cos6=32
6
cos −48
4
cos + 18
2
cos −1
；
④ cos8=128
8
cos −256
6
cos + 160
4
cos −32
2
cos + 1
；
⑤ cos10= m
10
cos −1280
8
cos + 1120
6
cos +n
4
cos + p
2
cos −1
．
可以推测，
m
n
p
−+
=
．
三、解答题
29．（
北京）设
2018
n 为正整数，集合
1
2
={
|
( , ,
,
),
{0,1},
1,2,
, }
n
k
A
t t
t
t
k
n
=
=
．对
于集合A 中的任意元素
1
2
(
,
,
,
)
n
x x
x
=
和
1
2
(
,
,
,
)
n
y y
y
=
，记
( ,
)
M =
1
1
1
1
2
2
2
2
1
[(
|
|)
(
|
|)
(
|
|)]
2
n
n
n
n
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
+
−
−
+
+
−
−
+
+
+
−
−
．
(1)当 3
n = 时，若
(1,1,0)
=
，
(0,1,1)
=
，求
( , )
M 和
( ,
)
M 的值；
(2)当 4
n =
时，设B 是A的子集，且满足：对于B 中的任意元素,
，当,
相同时，
( ,
)
M 是奇数；当,
不同时，
( ,
)
M
是偶数．求集合B 中元素个数的最大
值；
(3)
2
给定不小于
的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素
,
，
( ,
)
0
M =
．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．
30．(2018
)
江苏设
*
nN
，对，，
1
2
···，的一个排列
n
1 2
n
i i
i ，如果当s
t
时，有s
t
i
i
，
则称
( , )
s
t
i i
是排列
1 2
n
i i
i 的一个逆序，排列
1 2
n
i i
i 的所有逆序的总个数称为其逆序
数．例如：对，
1
2
3
，的一个排列
，只有两个逆序
，
，
231
(2
1)
(3，1)，则排列
的
231
逆序数为．记
2
( )
nf
k
为，
1
2
···
，
，的所有排列中逆序数为
n
k 的全部排列的个数．
(1)求
3
4
(2),
(2)
f
f
的值；
(2)求
(2)(
5)
nf
n≥
的表达式(用n 表示．
)
31．（ 2017 江苏）对于给定的正整数k ，若数列{
}
na
满足
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1
1
1
1
2
n k
n k
n
n
n k
n k
n
a
a
a
a
a
a
ka
−
−+
−
+
+ −
+
+
++
+
++
+
=
对任意正整数n (
)
n
k
总成立，则称数列{
}
na
是“
( )
P k
数列”．
（）证明：等差数列
1
{
}
na
是“
(3)
P
数列”；
（）若数列
2
{
}
n
a
既是“
(2)
P
数列，又是
”
“
(3)
P
数列，证明：
”
{
}
na
是等差数列．
32．（2017 北京）设{
}
na
和{ }
nb
是两个等差数列，记
1
1
2
2
max{
,
,
,
}
n
n
n
c
b
a n b
a n
b
a n
=
−
−
−
(
1,2,3,
)
n =
，
其中
1
2
max{ ,
,
,
}
s
x x
x
表示1
2
,
,
,
s
x x
x
这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若
na
n
=
，
2
1
nb
n
=
−，求
1
2
3
,
,
c c c 的值，并证明{ }
nc
是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n
m
≥
时，
nc
M
n
；或者存在
正整数m ，使得
1
2
,
,
,
m
m
m
c
c
c
+
+ 是等差数列．
33．(2016
)
江苏记
1,2,
,100
U =
．对数列
na
（
*
nN ）和U 的子集T ，若
T = ，定义
0
T S =
；若
1
2
, ,
, k
T
t t
t
=
，定义
1
2
k
T
t
t
t
S
a
a
a
=
+
+
+
．例如：
1,3,66
T =
时，
1
3
66
T
S
a
a
a
=
+
+
．现设
na （
*
nN ）是公比为3的等比数列，且当
2,4
T =
时，
30
T S =
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)对任意正整数k （
1
100
k
≤≤
），若
1,2,
,
T
k
，求证：
1
T
k
S
a +
；
(3)设C
U
，D
U
，
C
D
S
S
≥
，求证：
2
C
C
D
D
S
S
S
+
≥
．
34．(2016
)
浙江设函数
( )
f x =
3
1
1
x
x
+ +
，
[0,1]
x
．证明：
(1)
2
( )
1
f x
x
x
−
+
≥
；
(2) 3
3
( )
4
2
f x
≤
．
35．(2015 湖北)已知数列{
}
na
的各项均为正数，
1
(1
)
(
)
n
n
n
b
n
a
n
n
+
=
+
N
，
为自然对数的
e
底数．
(1)求函数
( )
1
ex
f x
x
= +
−
的单调区间，并比较
1
(1
)n
n
+
与
的大小；
e
关注微信公众号：加油高三
(2)计算
1
1
b
a ，
1 2
1
2
b b
a a ，
1 2
3
1
2
3
b b b
a a a ，由此推测计算
1 2
1
2
n
n
b b
b
a a
a 的
，并给出证明；
公式
(3)令
1
1
2
(
) n
n
n
c
a a
a
=
，数列{
}
na
，{ }
nc
的前n 项和分别记为
n
S ,
n
T , 证明：
e
n
n
T
S
．
36．(2015 江苏)已知集合
*
{1,2,3},
{1,2,3,....., }(
)
n
X
Y
n n
N
=
=
，设
{( , ) |
n
S
a b
=
a 整除
b 或
,
,
}
n
b
a a
X b
Y
除
，令
( )
f n 表示集合
n
S 所含元素的个数．
(1)写出
(6)
f
的值；
(2)当
6
n≥
时，写出
( )
f n 的表达式，并用数学归纳法证明．
37．(2014
)
天津已知q 和n
均为给定的大于
的自然数
1
.设集合
{0,1,2
,
1
,
}
M
q
=
-
，
集合
1
1
2
,
,
1,2,
,
{
}
n
n
i
x q
x
M i
n
A
x x
x
x q
-
+
?
=
=
+
+
.
(1)当
2
q =
，
3
n =
时，用列举法表示集合A ；
(2)设
,s t
A
Î
，
1
1
2
n
n
s
a
a q
a q -
=
+
+
+
，
1
1
2
n
n
t
b
b q
b q -
=
+
+
+
，其中
ia ，
ib
M
，
1,2,
,
i
n
=
．证明：若
n
n
a
b
，则s
t
．
38．(2013
)
江苏设
na
是首项为a ，公差为d 的等差数列 (
)
0
d
，
nS 是其前n
项和记
.
2
n
n
nS
b
n
c
=
+
，
N
n
*
，其中c为实数.
(1)若
0
c =
，且
1b ，
2b ，
4b 成等比数列，证明：
(
)
2
N
nk
k
S
n S
k,n
*
=
；
(2)若
nb
是等差数列，证明：
0
c =
．
