1
规范练2
(时间:45 分钟,满分:46 分)
1.(10 分)(2023 河北张家口二模)已知数列{an}的首项a1=1,Sn为其前n 项和,且nan+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=
1
anan+1
,数列{bn}的前n 项和为Tn,求证:Tn<3
8.
2.(12 分)(2023 山东淄博一模)已知在多面体ABCDEF 中,AD∥BC∥EF,且
AD=CD=DE=4,BC=EF=2,∠BCD=∠FED=π
3 .
(1)证明:AD⊥BF;
(2)若BF=2√6,求直线CD 与平面ABF 所成角的正弦值.
3.(12 分)(2023 山东日照一模)已知在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边,asin A +C
2
=bsin A,且
a=1.
(1)求角B;
(2)若AC=BC,在△ABC 的边AB,AC 上分别取D,E 两点,使△ADE 沿线段DE 折叠到平面BCED 后,顶
点A 正好落在边BC(设为点P)上,求AD 的最小值.
2
4.(12 分)(2023 新高考Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,
若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中
率均为0.8,由抽签确定第1 次投篮的人选,第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i 次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(∑
i=1
n
Xi)=∑
i=1
n
qi.记前n 次
(即从第1 次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
3
规范练2
1.(1)解 由题意,当n=1 时,a2=2S1+2=2a1+2=4.当n≥2 时,(n-1)an=2Sn-1+2.又nan+1=2Sn+2(n∈N*),
所以当n≥2 时,有nan+1-(n-1)an=2an,即an+1
n+1 = an
n .这表明从第二项起,数列an
n 是以a2
2 =2 为首项的
常数列,即an
n =2(n≥2).a1
1 =1,不符合该式.所以,数列{an}的通项公式为an={
1,n=1,
2n,n≥2.
(2)证明 由(1)可得,b1= 1
a1a2
= 1
4 ,T1=b1=1
4 < 3
8.
当n≥2 时,bn=
1
anan+1
=
1
4 n(n+1) = 1
4(
1
n -
1
n+1),
所以Tn=b1+b2+…+bn=1
4 + 1
4
1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
4 +…+1
n -
1
n+1 =1
4 + 1
8 -
1
4(n+1) < 3
8.
综上所述,对n∈N*,都有Tn<3
8.
2.(1)证明 连接BD,DF.
在△BCD 中,DC=4,BC=2,∠BCD=π
3 ,
则BD2=BC2+DC2-2BC·DC·cosπ
3 =12,可得∠DBC=π
2 ,即BD⊥BC.
同时AD∥BC,可得BD⊥AD,同理可得DF⊥AD.
因为BD⊥AD,DF⊥AD,且BD⊂平面BDF,DF⊂平面BDF,BD∩DF=D,所以AD⊥平面BDF.
又因为BF⊂平面BDF,所以AD⊥BF.
(2)解 在△BDF 中,易得BD=FD=2√3,且BF=2√6,
所以BD⊥FD,同时BD⊥AD,DF⊥AD,
以DA 所在直线为x 轴,以DB 所在直线为y 轴,以DF 所在直线为z 轴,如图所示,建立空间直角坐
标系D-xyz.其中A(4,0,0),B(0,2√3,0),F(0,0,2√3),C(-2,2√3,0),⃗
AF=(-4,0,2√3),⃗AB=(-4,2√3,0).
设向量n=(x,y,z)为平面ABF 的法向量,
满足{
n·⃗AB =0,
n·⃗AF =0, 即{
- 4 x +2√3 y =0,
- 4 x +2√3 z =0, 不妨取n=(√3,2,2),⃗DC=(-2,2√3,0),
直线CD 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos<⃗DC,n>|=
|⃗
DC ·n
|⃗DC ||n||=|
2√3
√(-2)
2+(2√3)
2×√(√3)
2+2
2+2
2|= √33
22 .
4
3.解 (1)因为asin A +C
2
=bsin A,所以由正弦定理得sin Asin A +C
2
=sin Bsin A.因为A∈(0,π),sin
A≠0,A+C=π-B,所以sin(
π
2 - B
2)=sin B,即cosB
2 =sin B,所以cosB
2 =2sinB
2 cosB
2 .因为B∈(0,π),所
以B
2 ∈(0, π
2),cosB
2 ≠0,所以sinB
2 = 1
2,所以B
2 = π
6 ,即B=π
3 .
(2)因为AC=BC,B=π
3 ,所以△ABC 为等边三角形,即AC=BC=AB=1.设AD=m,则BD=1-m,PD=m,
所以在△BPD 中,由余弦定理得cos B=B P
2+ B D
2- P D
2
2BP·BD
= B P
2+(1-m)
2-m
2
2BP·(1-m)
= 1
2,整理得
BP2+(1-2m)=BP·(1-m).
设BP=x,0≤x≤1,所以m= x
2- x +1
2- x
=(2- x )
2-3(2- x )+3
2- x
=2-x+ 3
2- x -3,由于0≤x≤1,故
1≤2-x≤2,所以m=2-x+ 3
2- x -3≥2√3-3,当且仅当2-x= 3
2- x 且0≤x≤1,即x=2-√3时,等号成立,
所以AD 的最小值为2√3-3.
4.解 (1)第2 次投篮的人是乙分两种情况:
第1 次投篮的人是甲且投篮未命中,其概率为0.5×(1-0.6)=0.2;
第1 次投篮的人是乙且投篮命中,其概率为0.5×0.8=0.4,
所以第2 次投篮的人是乙的概率为0.2+0.4=0.6.
(2)设第i 次投篮的人是甲为事件Ai,则P(A1)=0.5,P(Ai+1)=P(Ai)×0.6+(1-P(Ai))×(1-0.8)=2
5P(Ai)+1
5,
所以P(Ai+1)-1
3 = 2
5[P( Ai)- 1
3],
所以{P( Ai)- 1
3}是以1
6为首项,2
5为公比的等比数列,
所以P(Ai)-1
3 = 1
6 ×(
2
5)
i-1
,
所以P(Ai)=1
3 + 1
6 ×(
2
5)
i-1
,i∈N*.
(3)由(2)知,第i 次投篮的人是甲的概率为P(Ai)=1
3 + 1
6 ×(
2
5)
i-1
,i∈N*,第i 次投篮的人是甲记为
Xi=1,否则记为Xi=0,则Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1
3 + 1
6 ×(
2
5)
i-1
,由题意知E(Y)=E(∑
i=1
n
Xi)=∑
i=1
n
qi=∑
i=1
n
P(Xi=1)=∑
i=1
n 1
3 + 1
6 ×(
2
5)
i-1
=6n+5
18
- 1
9 ·(
2
5)
n-1
.
