十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式
目录
题型一： 不等式的性质及其应用.............................................................1
题型二： 解不等式.....................................................................................2
题型三： 基本不等式.................................................................................3
题型四： 简单的线性规划.........................................................................8
题型五： 不等式综合问题.......................................................................39
题型一： 不等式的性质及其应用
1．(2019·天津·文·第5 题)已知
，
，
，则
的大小关系为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
【解析】由题意，可知：
，
，
，所以
．
故选A．
2．(2019·全国Ⅰ·文·第3 题)已知
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由对数函数的图像可知：
；再有指数函数的图像可知：
，
，于是可得到：
.
3．(2014 高考数学四川文科·第5 题)若
则一定有
( )
A．
＞
B．
＜
C．
＞
D．
＜
【答案】B
解析:因为
，所以
＜
＜0，即－
＞－＞0，与
对应相乘得，－
＞－
＞0，
所以
＜
，故选B．
4．(2018 年高考数学北京(文)·第11 题) 能说明若
，则
为假命题的一组
的值依次为
．
【答案】
(答案不唯一)
解析：使“若
，则
为假命题，则使若
，则
为真命题即可．
只需让
即可满足，所以满足条件的一组
的值为
(答案不唯一)．
5．(2017 年高考数学北京文科·第14 题)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;
(ⅱ)女学生人数多于教师人数;
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4 ,则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
【答案】6,12
【解析】设男生数,女生数,教师数为, ,
a b c ,则2c
a
b
c
,
*
, ,
a b c
N
．
第一小问:
max
8
4
6
a
b
b
．
第二小问:
min
3,6
a
b
3
a
5,b
4
a
b c
12
c
．
6．(2017 年高考数学北京文科·第13 题)能够说明“设, ,
a b c 是任意实数．若a
b
c
,则a
b
c
”是假
命题的一组整数, ,
a b c 的值依次为______________________________．
【答案】1, 2, 3
【解析】由a
c
当
0
b
时有a
b
a
c
成立,故原命题是假命题,必须有
0
b
,可举例子如下:
1
2
3, 1
2
3
．
题型二： 解不等式
1．(2014 高考数学大纲文科·第3 题)不等式组
的解集为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析: 原不等式组可化为
，所以
，故选C．
2．(2015 高考数学上海文科·第16 题)下列不等式中，与不等式
解集相同的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因为
恒成立，所以由不等式的性质可得
，选
择B．
3．(2019·天津·文·第10 题)设
，使不等式
成立的
的取值范围为_________．
【答案】
【思路分析】解一元二次不等式即可．
【解析】
，将
分解因式即有：
；
；由一元二
次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：
；即：
；或
；故
答案为
；
4．(2015 高考数学广东文科·第11 题)不等式
的解集为 ．(用区间表示)
【答案】
解析：由
得：
，所以不等式
的解集为
，所以答案
应填：
．
5．(2015 高考数学江苏文理·第7 题)不等式2x2−x<4 的解集为_______．
【答案】
解析：由题意得：
，解集为
6．(2017 年高考数学上海(文理科)·第7 题)不等式
1
1
x
x
的解集为________．
【答案】
,0
【解析】
1
1
1
1
0
0
x
x
x
,解集为(
,0)
．
题型三： 基本不等式
1．(2014 高考数学重庆文科·第9 题)若
，则
的最小值是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
解析：由
可知
，经过化简得：
，即
，
于是
．
2．(2014 高考数学福建文科·第9 题)要制作一个容积为4 m3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的
底面造价是每平方米20 元，侧
面造价是是每平方米10 元，则该溶器的最低总造价是
( )
A．80 元
B．120 元
C．160 元
D．240 元
【答案】C
解析：设池底长和宽分别为a 和b ,成本为y ．则因为长方体容器的容积为4m3,高为1m ,所以底面面
积S=ab=4 ,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80,因为a+b≥2√ab=4 ,当且仅当a=b=2时,
y 取最小值160,即容器的总造价最小值为160．
3．(2015 高考数学湖南文科·第7 题)若实数
满足
，则
的最小值为
( )
A．
B．2
C．2
D．4
【答案】C
解析：
，(当且仅当
时取等号)，所以
的最小值为
，故选C．
4．(2015 高考数学福建文科·第5 题)若直线
过点
，则
的最小值等于
(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
解析：由已知得
，则
，因为
，所以
，故
，当
，即
时取等号．
5．(2022 年全国高考甲卷数学(文)·第16 题)已知
中，点D 在边BC 上，
．当
取得最小值时，
________．
【答案】
或
【解析】设
，
则在
中，
，
在
中，
，
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
取最小值时，
．
故答案为：
．
6．(2021 高考天津·第13 题)若
，则
的最小值为____________．
【答案】
解析：
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立， 所以
的最小值为
．
故答案
：
．
7．(2020 天津高考·第14 题)已知
，且
，则
的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
，
,
，当且仅当
=4 时取等号，
结合
,解得
，或
时，等号成立．
故答案为：
8．(2020 江苏高考·第12 题)已知
，则
的最小值是_______．
【答案】
【解析】
,
且
，当且仅当
，即
时取等
号．
的最小值为
．故答案为：
．
9．(2019·天津·文·第13 题)设
，
，
，则
的最小值为________．
【答案】
【思路分析】利用基本不等式求最值．
【解析】法一：
，
，
，则
；
，
，
，由基本不等式有：
，
所以
，
，所以
；
(当且仅当
时，即：
，
时，等号成立)，
故
的最小值为
．故答案为
法二：
，
等号当且仅当
，即
时成立，故所求的最小值为
．
10．(2019·上海·文理·第7 题)若
，且
，则
的最大值为________.
【答案】
【解析】法一：
，∴
；
法二：由
，
(
)，求二次最值
.
11．(2019·江苏·文理·第10 题)在平面直角坐标系
中，
是曲线
上一动点，则点
到直
线
的距离最小值是______.
【答案】4
【解析】法1：由已知，可设
，所以
.
当且仅当
，即
时取等号，故点
到直线的距离的最小值为4.
法2：距离最小时，
，则
，所以
,所以最小值为4.
12．(2018 年高考数学江苏卷·第13 题)在
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于点D，且
，则
的最小值为 ．
【答案】9
解析：由题意可知，
，由角平分线性质和三角形面积公式得，
，化简得
，
，因此
，当且仅当
时取等号，所以
的最小值
为9．
13．(2018 年高考数学天津(文)·第13 题)已知
，且
，则
的最小值为
．
【答案】
解析：由
，得
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最小值为
．
14．(2014 高考数学上海文科·第6 题)若实数
满足
则
的最小值为_________________．
【答案】
解析:
15．(2014 高考数学辽宁文科·第16 题)对于c>0 ，当非零实数a ，b 满足4 a2−2ab +b2−c=0 ，且使
|2a+b|最大时，
1
a + 2
b + 4
c 的最小值为__________．
【答案】-1
解析：由已知得
，
令
因而
，此时
整理得
，
，故填-1
16．(2015 高考数学重庆文科·第14 题)设
,则
的最大值为 ________．
【答案】3√2
解析：由
两边同时加上
得
两边同时开方即得：
(
且当且仅当
时取
“=”)，
从而有
(当且仅当
,即
时，
“=”成立)
故填：3√2．
题型四： 简单的线性规划
1．(2021 年高考浙江卷·第5 题)若实数x，y 满足约束条件
，则
的最小值是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析:画出满足约束条件
的可行域，如下图所示：
目标函数
化为
，由
，解得
，设
，当直线
过
点时，
取得最小值为
,故选B．
2．(2021 年全国高考乙卷文科·第5 题)若
满足约束条件
则
的最小值为( )
A．18
B．10
C．6
D．4
【答案】C
解析：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由
可得点
,
转换目标函数
为
，
上下平移直线
，数形结合可得当直线过点
时,
取最小值，
此时
．
故选：C．
3．(2020 年浙江省高考数学试卷·第3 题)若实数x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的取值范围
是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：
，
其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，
联立直线方程：
，可得点A 的坐标为：
，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是
．故选：B
4．(2022 年浙江省高考数学试题·第3 题)若实数x，y 满足约束条件
则
的最大值
是
( )
A．20
B．18
C．13
D．6
【答案】B
解析:不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线
过
时
有最大值．
由
可得
，故
，
故
，故选,B．
5．(2022 年高考全国乙卷数学(文)·第5 题)若x，y 满足约束条件
则
最大值是
(
)
A．
B．4
C．8
D．12
【答案】C
解析：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数
为
，
上下平移直线
，可得当直线过点
时，直线截距最小，z 最大，
所以
．
故选：C．
6．(2019·浙江·文理·第3 题)若实数
，
满足约束条件
则
的最大值是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中
．由
得
，当直线
过
时，在
轴上的截距最大，所以
有最大值为
．故选C．
7．(2019·天津·文·第2 题)设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
(
)
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】【答案】C
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最
优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】由约束条件
作出可行域如图
联立
，解得
，化目标函数
为
，由图可知，当直线
过
时，
有最大值为5．故选C．
8．(2018 年高考数学天津(文)·第2 题)设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最
大值为
( )
A．6
B．19
C．21
D．45
【答案】C
解析：作可行域为如图所示的四边形
，其中
，由
，可得
，表示斜率为
，纵截距为
的直线，作直线
并平移，
当直线经过点
时，直线在
轴上的截距最大，此时
取得最大值，
．
x
y
O
A
B
C
D
5
x y
2
4
xy
1
xy
9．(2014 高考数学天津文科·第2 题)设变量x，y 满足约束条件
则目标函数
的最小
值为
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
解析：由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线
经过点
时，
，故选
B．
10．(2014 高考数学山东文科·第10 题)已知
满足约束条件
当目标函数
在该约束条件下取到最小值
时，
的最小值为
( )
A．5
B．4
C．
D．2
【答案】
解析：画出可行域(如图所示)，由于
,所
以
经过直线
与直线
的
交点
时，
取得最小值
，即
,
代
入
得
,
所
以
时
，
．
11．(2014 高考数学课标2 文科·第9 题)设
，
满足约束条件
，则
的最大值为
( )
A．8
B．7
C．2
D．1
【答案】B
解析：画出可行域，
知道可行域为三角形，两两求解，得三点坐标
，
，
，分别代入
，算出的最大值为
。∴选Ｂ。
12．(2014 高考数学课标1 文科·第11 题)设a>0,b>0,，
1
a
+
1
b
=√ab满足约束条件a3+b3
且a , b 的最小值为7，
则2a+3b=6
( )
A．-5
B．3
C．-5 或3
D．5 或-3
【答案】B
解析：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示．
在平面区域内，平移直线
，可知在点 A
处，z 取得最值，故
解之得a 5 或a 3．但a 5 时，z 取得最大值，故舍去，答案为a
3． 选B．
13．(2014 高考数学湖北文科·第4 题)若变量x 、y 满足约束条件
{x+y≤4¿{x−y≤2¿¿¿¿
，则2 x+ y 的最大值是
(
)
A．2
B．4
C．7
D．8
【答案】C
解析：作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示．
设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4 与直线x－y＝2 的交点A(3，1)处，z＝2x＋y 取
得最大值7．故选C．
o
x-y-1=0
x
x-3y+3=0
x+y-1=0
y
14．(2014 高考数学广东文科·第4 题)若变量
满足约束条件
，则
的最大值等于(
)
A．7
B．8
C．10
D．11
【答案】C
解析：作出不等式组
所表示的可行域如下图所示，
直线
交直线
于点
，作直线
，则
为直线在
轴上的截距，当
直线
经过可行域上的点
时，直线
在
轴上的截距最大，此时
取最大值，即
，故选C．
15．(2014 高考数学福建文科·第11 题)已知圆C :( x−a)2+( y−b)2=1，设平面区域
Ω={
x+ y−7≤0
x−y+3≥0
y≥0
，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴
相切，则a2+b2 的最大值为
( )
A．5
B．29
C．37
D．49
【答案】C
解析：做出不等式组对应的平面区域如图:圆心为(a,b),半径为1．因为圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,
所以b=1,则a2+b2=a2+1,所以要使a2+b2 取得最大值,只需a 取最大即可,由图象可知,当圆心C 位
于B 点时,a 取值最大, 由{¿x+y−7=0
y=1
, 解得{¿ y=6
x=1
, 即B(6,1), 所以当a=6,b=1时,
a2+b2=62+1=37,即最大值取37,故选C．
16．(2015 高考数学重庆文科·第10 题)若不等式组
,表示的平面区域为三角形，且其面积等
于
，则
的值为
( )
A．
B．1
C．
D．3
【答案】B
解析：如图，
，
由于不等式组
,表示的平面区域为
，且其面积等于
，
再注意到直线
与直线
互相垂直，所以
是直角三角形，
易
知
，
,
;
从
而
=
，
化简得：
，解得
,或
，检验知当
时，已知不等式组不能表示一个三角
形区域，故舍去，所以
;故选B．
17．(2015 高考数学湖南文科·第4 题)若变量
满足约束条件
，则
的最小值为
(
)
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
解析：
由约束条
作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立
,
∴
在点A 处取得最小值为
．故选：A．
18．(2015 高考数学广东文科·第4 题)若变量
，
满足约束条件
，则
的最大值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：作出可行域如图所示：
作直线
，再作一组平行于
的直线
，当直线经过点
时，
取得最大值，由
得：
，所以点
的坐标为
，所以
，故选B．
19．(2015 高考数学福建文科·第10 题)变量
满足约束条件
，若
的最大值为
2，则实数
等于
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
x
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
1
2
3
B
O
C
解析：将目标函数变形为
，当
取最大值，则直线纵截距最小，故当
时，不满足题
意；当
时，画出可行域，如图所示， 其中
．显然
不是最优解，故只
能
是最优解，代入目标函数得
，解得
，故选C．
20．(2015 高考数学安徽文科·第5 题)已知x，y 满足约束条件{an}
，则z=−2 x+ y 的最大值是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：
令z=−2 x+ y ⇒y=−2x−z ，可知在图中A(1,1)处，z=−2 x+ y 取到最大值-1,故选A．
21．(2017 年高考数学浙江文理科·第4 题)若,x y 满足约束条件
0,
3
0,
2
0,
x
x
y
x
y
则
2
z
x
y
的取值范围是(
)
A．
0,6
B．
0,4
C．
6 +
，
D．
4 +
，
【答案】 D
【解析】由图可知,
2
2
x
z
y
在点
2,1 取到z 的最小值为
2
2 1
4
z
, z 没有最大值, 故
[4,
)
z
．故选D．
22．(2017 年高考数学山东文科·第3 题)已知,x y 满足约束条件
2
5
0
3
0
2
x
y
x
y
,则
2
z
x
y
的最大值是(
)
A．3
B．1
C．1
D．3
【答案】 D
【解析】由
-2 +5
0
+3
0
2
x
y
x
x
画出可行域及直线
2
0
x
y
如图所示,平移
2
0
x
y
发现,
当其经过直线-2 +5
0
x
y
与y
2
的交点( 1,2)
时,
2
z
x
y
最大为
1
2 2
3
z
．
23．(2017 年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第5 题)设x
y
，满足约束条件
3
2
6
0
0
0
x
y
x
y
,则z
x
y
的取值
范围是
( )
.A [ 3,0]
-
.
B [ 3,2]
-
.
C [
]
0,2
.
D [
]
0,3
【答案】 B
【解析】先作出约束条件
3
2
6
0
0
0
x
y
x
y
表示的可行域，如下图，目标函数z
x
y
中z 相当于直
线y
x
z
中的纵截距，z 的范围就是直线y
x
z
在可行域内平行移动时纵截距的取值范围，当
直线y
x
z
经过点
0,3
A
时，直线y
x
z
取得纵截距的最大值，z 取得最小值
0
3
3
z
，
当直线y
x
z
经过点
2,0
B
时，直线y
x
z
的纵截距最小，z 取得最大值
2
0
2
z
，故
3,2
z
．
24．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷文科·第7 题)设x、y 满足约束条件
2
3
3
0
2
3
3
0
3
0
x
y
x
y
y
．则 = 2
z
x
y
+
的最
小值是
( )
A．15
B．9
C．1D9
【答案】 A
【解析】在平面直角坐标系内画出约束条件满足的平面区域为如图所示的阴影部分的三角形ABC(包
含边界), 其中
( 6, 3),
(6, 3),
(0,1)
A
B
C
, 由图可知
2
z
x
y
过点
( 6, 3)
A
时, 取得最大值
min
12
3
15
z
．故选A．
y = h(x)
O
y
x
C 0,1
(
)
B 6,-3
(
)
A -6,-3
(
)
q x
( ) = 2∙x
y = 3
25．(2017 年高考数学课标Ⅰ卷文科·第7 题)设
,x y
满足约束条件
3
3,
1,
0,
x
y
x
y
y
则
z
x
y
的最大值为
(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】 D
【解析】如图,目标函数z
x
y
经过
(3,0)
A
时最大,故
max
3
0
3
z
,故选D．
方法二: 线性目标函数一定在边界上取到最值, 可行域为一个三角形, 三个顶点坐标分别为
(3,0),
(1,0)
A
B
,
3 1
( , )
2 2
C
,所以
max
3,
1,
2,
3
A
B
C
A
z
z
z
z
z
26．(2017 年高考数学北京文科·第4 题)若
,x y
满足
3,
2,
,
x
x
y
y
x
则
2
x
y
的最大值为
( )
A．1
B．3
C．5
D．9
【答案】 D
【解析】
令
2
z
x
y
,则
1
2
2
z
y
x
,其表示与
1
2
y
x
平行的一组直线,当
1
2
2
z
y
x
在经过可行域平移时,截
距越大, z 的值越大,当平移到过点
3,3
A
时,截距有最大值,即
max
3
3 3
9
z
．
27．(2016 高考数学浙江文科·第4 题)若平面区域
夹在两条斜率为1 的平行直线之间，则这
两条平行直线间的距离的最小值是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：画出不等式组的平面区域如图所示，由
得
，由
的
，由题意可知，当斜率为1 的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即
．故选B．
28．(2016 高考数学山东文科·第4 题)若变量
满足
，则
的最大值是
( )
A．4
B．9
C．10
D．12
【答案】C
解析：画出可行域如图所示，点
到原点距离最大
所以
，选C．
29．(2023 年全国乙卷文科·第15 题)若x，y 满足约束条件
，则
的最大值为______．
【答案】8
解析：作出可行域如下图所示：
，移项得
，
联立有
，解得
，
设
，显然平移直线
使其经过点
，此时截距
最小，则
最大，
代入得
，
故答案为：8．
30．(2023 年全国甲卷文科·第15 题)若x，y 满足约束条件
，设
的最大值为
____________．
【答案】15
解析：作出可行域，如图，
x
y
–1
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
1
2
3
4
A
B
C
O
由图可知，当目标函数
过点
时，
有最大值，
由
可得
，即
所以
．
故答案为：15
31．(2020 年高考课标Ⅰ卷文科·第13 题)若x，y 满足约束条件
则z=x+7y 的最大值为
______________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数
即：
，
其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程：
，可得点A 的坐标为：
，
据此可知目标函数的最大值为：
．
故答案
：1．
32．(2020 年高考课标Ⅱ卷文科·第15 题)若x，y 满足约束条件
则
的最大值是
__________．
【答案】
【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线
，当直线经过点
时，直线
在纵轴上的截距最大，
此时点
的坐标是方程组
的解，解得：
，
因此
的最大值为：
．
故答案为：
．
33．(2020 年高考课标Ⅲ卷文科·第13 题)若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
_________．
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为
，所以
，易知截距
越大，则
越大，
平移直线
，当
经过A 点时截距最大，此时z 最大，
由
，得
，
，
所以
．
故答案为：7．
34．(2019·上海·文理·第5 题)已知
满足
，求
的最小值为________.
【答案】【答案】
【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当
，
时，
.
35 ．(2019· 全国Ⅱ· 文· 第13 题) 若变量
满足约束条件
则
的最大值是
___________.
【答案】【答案】9
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形
区域，根据直线
中的
表示纵截距的相反数，当直线
过点
时，
取最大值为9．
36．(2019·北京·文·第10 题)若
，
满足
则
的最小值为 ；最大值为
．
【答案】【答案】
；．
【解析】由约束条件
作出可行域如图
，
，令
，作出直线
，由图可知，平移直线
，当直线
过
时，
有最小值为
，过
时，
有最大值．
37．(2018 年高考数学浙江卷·第12 题)若
满足约束条件
，则
的最小值是______，
最大值是______．
【答案】
，
解法1：由图可得，当直线
过
时，
；当直线
过
时，
．
解法2：由条件知，构成的可行域为封闭区域，最大值最小值只能在三个顶点处取得，
把
分别代入，可得
，
．
38．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第15 题)若变量
满足约束条件
则
的最
大值是________．
【答案】3
解析：画出变量
满足约束条件
表示的平面区域如图：解得
．
变形为
，作出目标函数对应的直线，当直线过
时，直线的纵截距最小，
最大，最大值为
．
39．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第14 题)若
满足约束条件
则
的最大值为
__________．
【答案】9
解析：由
满足约束条件
作出可行域如图，化目标函数
为
，由图
可知，当直线
过
时，
取得最大值，由
，解得
，目标函数有最大值，
为
．故答案为：9．
40．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第14 题)若
满足约束条件
，则
的最
大值为________．
【答案】6
解法1：(直接法)约束条件可行域如下图：
可行域如上图阴影部分：目标函数
可化为
，
将
进行平移，可得在
处距最大，即
最大，将
，代入得
解法2：(交点法)将方程
两两求解得交点坐标为
，代入一一检验即可，
．
41．(2018 年高考数学北京(文)·第13 题) 若
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】3
解析：不等式可转化为
即
所以满足条件的
在平面直角坐标系中的可行域为
O
x
y
(1,2)
x= 1
y= 2x
y= x+1
2y- x= z
2y- x= 0
令
，则
．
由图像可知，当
过点
时，
取最小值，此时
，
所以
的最小值为3．
42 ．(2014 高考数学浙江文科· 第12 题) 若实数
满足
，则
的取值范围是
_____________；
【答案】[1,3]
解析:作出可行域，如图，作直线
0
x
y
，向右上
平移，过点B 时，x
y
取得最小值，过点A 时取得最大值．由
(1,0)
B
，
(2,1)
A
得
min
(
)
1
x
y
，
max
(
)
3
x
y
．
所以x
y
的取值范围是[1,3]．
43．(2014 高考数学辽宁文科·第14 题)已知x ，y 满足约束条件
{2x+y−2≥0¿{x−2y+4≥0¿¿¿¿
,则目标函数z=3 x+4 y
的最大值为__________．
【答案】18
解析：目标函数转化为平行直线系：
如图所示画出可行域，
第14 题解析图
观察知当直线过点B 时，
取最大值，
容易求得B 点坐标为
，代入到目标函数中，求得最大值为18，故填18
44．(2014 高考数学湖南文科·第13 题)若变量x，y 满足约束条件{
y≤x
x+ y≤4
y≥1
，则z=2 x+ y 的最大值为
．
【答案】7
解析：基本的线性规划题目，画图，可以直接看出(3,1)时有最大值，此时，
45．(2014 高考数学大纲文科·第15 题)设x，y 满足约束条件
则
的最大值为________．
【答案】5
解析: 作出可行域如图：C
，即
，当直线过
时，
，
C
的最大值为5．
46．(2014 高考数学北京文科·第13 题)若
、
满足
，则
的最小值为
．
【答案】．
解析：由约束条件
作出可行域如图，
化目标函数
为
，
由图可知，当直线
过
时直线在y 轴上的截距最小．
此时
．
故答案为：．
47．(2014 高考数学安徽文科·第13 题)不等式组
表示的平面区域的面积为________．
【答案】
7
3
解析：由题意可得可行域如图所示：
三条直线分别交于A、B、D 三点，其
中A(0，2)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，−2)，
所以不等式组表示的平面区域的面积为
S△ABC +S△DBC =1
2×|BC|×( y A -yD)=4
．
48．(2015 高考数学浙江文科·第14 题)已知实数
，
满足
，则
的最
大值是 ．
【答案】15
解析：
由图可知当
时，满足的是如图的
劣弧，则
在点
处取得最大值
；
当
时，满足的是如图的
优弧，则
与该优弧相切时取得最大值，故
，所以
，故该目标函数的最大值为
．
49．(2015 高考数学新课标2 文科·第14 题)若
满足约束条件
,则
的最大值为
．
【答案】8
分析：不等式组
表示的可行域是以
为顶点的三角形区域,
的最大值必在顶点处取得,经验算,
时
．
50．(2015 高考数学新课标1 文科·第15 题)若
，
满足约束条件
则
的最大值为
_________________．
【答案】4
分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线
0l ：3
0
x
y
，平移直线0l ，当直线:z=3x+y 过点
A 时，z 取最大值，由
2=0
2
1=0
x
y
x
y
解得A(1,1)，∴z=3x+y 的最大值为4．
51．(2015 高考数学上海文科·第9 题)若
满足
，则目标函数
的最大值为 ．
【答案】3
y
x
O
0
x
y
2
x
y
1,1
A
2,0
B
2
f
x
y
解析：根据题意作出可行域，如图所示：由图可知，当直线
过
时有
的
最大值为
．
52．(2015 高考数学山东文科·第12 题)若
满足约束条件
则
的最大值为 ．
【答案】
解析：
画出可行域及直线
，平移直线
，当其经过点
时，直线的纵截距最大，所
以
最大为
．
53．(2015 高考数学湖北文科·第12 题)若变量
满足约束条件
则
的最大值是
_________．
【答案】
．
解析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函
数
过点
取得最大值，即
，故应填
．
考点：本题考查线性规划的最值问题，属基础题．
54．(2015 高考数学北京文科·第13 题)如图，
及其内部的点组成的集合记为
，
为
中任
意一点，则
的最大值为 ．
【答案】
解析：由题图可知，目标函数
，因此当
，即在点
处时
取得最大值为
．
55．(2016 高考数学上海文科·第7 题)若
满足
则
的最大值为 ．
【答案】−2
【解析】由不等式组画出可行域，如图，令z=x−2 y ，当直线
y=1
2 x−1
2 z
经过点P(0,1)时，z 取
得最大值，且为−2．
56．(2016 高考数学课标Ⅲ卷文科·第13 题)设
满足约束条件
则
的最
小值为______．
【答案】
【解析】如图所示，可行域为一个三角形及其内部，其中三角形三个顶点分别为
，当直线
过点
时取最小值
．
P
y
x
P
x
y
O
A
57．(2016 高考数学课标Ⅱ卷文科·第14 题)若
满足约束条件
，则
的最小值为
__________．
【答案】
【解析1】可行域如图所示，则直线
，所以当直线的纵截距最大时，
取得
最小值，故当直线经过
时，
有最小值
．
y
O
A
B
C
x
【解析2】由
得
，点
，由
得
，点
，由
得
，点
，分别将
，
，
代入
得：
，
，
，所以
的最小值为
．
58．(2016 高考数学课标Ⅰ卷文科·第16 题)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．
生产一件产品A 需要甲材料
，乙材料
，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料
，
乙材料
，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100 元，生产一件产品B 的利润为900 元．该
企业现有甲材料
，乙材料
，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利
润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品A、产品B 分别为
件，利润之和为
元，那么
目标函数为
，二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组表示的平面区域(如图)，即可行域，
将
变形，得
，平行直线
，当直线
经过点
时，
取得最大值．
解方程组
，得
的坐标
．
所以当
，
时，
．
故生产产品
、产品
的利润之和的最大值为
元．
59．(2016 高考数学江苏文理科·第12 题)已知实数
满足
则
的取值范围是
．
【答案】
．
解析：在平面直角坐标系中画出可行域如下
M
O
x
y
x
y
B
A
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中
点距离原点最近，此时距离为原点
到
直线
的距离，
，则
，图中
点距离原点最远，
点为
与
交点，则
，则
．
题型五： 不等式综合问题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第9 题)已知a，b
R 且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0 在x≥0 上恒成立，
则
( )
A．a<0
B．a>0
C．b<0
D．b>0
【答案】C
解析：因为
，所以
且
，设
，则
零点
为
当
时，则
，
，要使
，必有
，且
，
即
，且
，所以
；
当
时，则
，
，要使
，必有
．
综上一定有
． 故选：C
2．(2023 年全国乙卷文科·第11 题)已知实数
满足
，则
的最大值是
(
)
A．
B．4
C．
D．7
【答案】C
解析：法一：令
，则
，
代入原式化简得
，
因为存在实数
，则
，即
，
化简得
，解得
，
故
的最大值是
，
法二：
，整理得
，
令
，
，其中
，
则
，
，所以
，则
，即
时，
取得最大值
，
法三：由
可得
，
设
，则圆心到直线
的距离
，
解得
故选：C
3 ．(2015 高考数学天津文科· 第12 题) 已知
0,
0,
8,
a
b
ab
则当
的值为 时
2
2
log
log
2
a
b
取得最大值．
【答案】4
解析：
2
2
2
2
2
2
2
2
log
log
2
1
1
log
log
2
log 2
log 16
4,
2
4
4
a
b
a
b
ab
当
2
a
b
时取等
号,结合
0,
0,
8,
a
b
ab
可得
4,
2.
a
b
4．(2015 高考数学山东文科·第14 题)定义运算“
”：
(
)．当
时，
的最小值是 ．
【答案】
解析：
由新定义运算知，
，因为，
，
所以，
，当且仅当
时，
的最小值是
．
5．(2017 年高考数学天津文科·第13 题)若a，bR ，
0
ab
，则
4
4
4
1
a
b
ab
的最小值为____________ ．
【答案】4
【基本解法1】(两次均值)
4
4
1
4
1
4
2
1
4
2
2
4
4
4
4
ab
ab
ab
b
a
ab
b
a
ab
b
a
当且仅当
2
1
2
2
1
2
1
2
1
4
4
2
2
2
2
2
2
4
4
a
b
ab
b
a
b
a
b
a
取等号
【基本解法2】(两次均值)
4
1
4
1
4
2
1
4
1
4
3
3
3
3
4
4
ab
ab
ab
a
b
b
a
ab
a
b
b
a
ab
b
a
【基本解法3】(4 维均值不等式)
ab
b
a
b
a
b
a
4
2
1
2
1
4
4
2
1
2
1
4
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
1
4
4
4
ab
ab
ab
b
a
【基本解法4】(换元)令
2
2
2
,
b
n
a
m
2
mn
ab
故
mn
n
m
mn
n
m
ab
b
a
1
2
2
1
1
4
2
2
2
2
4
4
2
2
2
n
m
mn
4
)
1
(
2
2
1
4
2
2
2
2
4
4
n
m
n
m
ab
b
a
6．(2017 年高考数学山东文科·第12 题)若直线
1(
0
0)
x
y
a
b
a
b
＞，＞
过点
1,2 ,则2a
b
的最小值为
_________．
【答案】8
【解析】由题意:
1
2
1
a
b
,故
1
2
4
2
(2
)(
)
4
8
b
a
a
b
a
b a
b
a
b
．
7．(2017 年高考数学江苏文理科·第10 题)某公司一年购买某种货物600 吨,每次购买x 吨,运费为6 万元/次,
一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是______．
【答案】30
解析:总费用
600
900
4
6
4(
)
4
2 900
240
x
x
x
x
,当且仅当
900
x
x
,即
30
x
时等号成立．
8．(2018 年高考数学天津(文)·第14 题)已知
，函数
，若对任意
，
恒成立，则a 的取值范围是 ．
【答案】
解析：当
时，
恒成立，即
，
设
，则
的对称轴为
，所以当
或
时，
取得最大值
，所以
，即
；
当
时，
恒成立，即
恒成立，设
，则当
时，
取得最小值
，所以
，
．
综上可知，实数
的取值范围是
．
9．(2021 年高考浙江卷·第11 题)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的
直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形直角边的长分别是
3，4，记大正方形的面积为
，小正方形的面积为
，则
___________．
【答案】25
解析:由题意可得，大正方形的边长为：
，则其面积为：
，小正方形的面积：
，从而
,故答案为25．
10．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11 题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
解析：对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD
11．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12 题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
解析：对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确；故选：ABD
