文档文本内容
模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）
（测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
.
故选：C
2．已知集合
，
，
，
，若
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
则由题意可设
，
，其中
，
则
，且
，
故
，
故选：D．
3．已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若
与
的夹角为锐角，则
且
与
不共线，
所以
，解得
且
，
所以“
”是“
与
的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B．
4．“不等式
恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
恒成立，
当
时，则
，解得
，
综上所述，不等式
恒成立时，
，
所以选项中“不等式
恒成立”的一个充分不必要条件是
.
故选：D.
5．设
，则函数
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．-1
D．
【答案】C
【解析】设
，
，则
，
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：C.
6．是虚数单位，复数
满足
，其中
.
：“复数在复平面内对应的点在第一象限”，
则下列条件是
的充分不必要条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，
若复数
在复平面内对应的点在第一象限，则
，解得
，
即
：
，
因为选项中只有
为
的真子集，
所以选项中只有
是
的充分不必要条件.
故选：D.
7．已知关于
的不等式组
仅有一个整数解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，可得
或
，
由
，即
，得
，
，
当
，即
时，不等式
的解为
，
此时不等式组
的解集为
，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则
，解得
；
当
，即
时，不等式
的解为
，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则
，解得
；
综上所述，
的取值范围为
.
故选：B.
8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果任意的
，有
，则称S 关于数的乘法是封闭的.若
、
是Z 的两个没有公共元素的非空子集，
．若任意的
，有
，同时，任意的
，有
，则下列结论恒成立的是( )
A．
、
中至少有一个关于乘法是封闭的
B．
、
中至多有一个关于乘法是封闭的
C．
、
中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．
、
中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
【解析】若
为奇数集，
为偶数集，满足题意，此时
与
关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若
为负整数集，
为非负整数集，也满足题意，此时只有
关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得
、
中至少有一个关于乘法是封闭的，A 正确.
故选：A．
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知
表示集合
的整数元素的个数，若集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
，
因此
，
由
，
因此
.
A：因为集合
中的整数有
，共10 个，
所以
，因此本选项正确；
B：因为
，
所以本选项不正确；
C：因为集合
中的整数有
，共9 个，
所以
，因此本选项正确；
D：因为
，所以
，
因为
，所以
，因此本选项正确，
故选：ACD
10．下列结论正确的是（ ）
A．若a，b 为正实数，
，则
B．若a，b，m 为正实数，
，则
C．若
，则“
”是“
”的充分不必要条件
D．不等式
成立的充分不必要条件是
，则m 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，
为正实数，
，
所以
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，
，
为正实数，
，所以
，所以
，故B 错误；
对于C，由
，可得
或
，故由
可得
，
但是
不一定得到
，故“
”是“
”的充分不必要条件，故C 正确；
对于D，由
可得
，由于
成立的充分不必要条件是
，
所以
或
，解得
，故D 正确．
故选：ACD
11．设
，
，
是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若
且
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【解析】对于A：
，则
，则
或
，
即
或
，故A 正确；
对于B：
，
，且
，
所以
，
，故B 正确；
对于C：设
，则
，
，
，故C 正确；
对于D，取
，
，则
，但
，
，
则
，故D 错误．
故选：ABC
12．若
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最大值
B．
有最大值2
C．
有最小值4
D．
有最小值
【答案】AC
【解析】对于A，
，
当且仅当
时取等号，
所以
有最大值
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
有最大值
，故B 错误；
对于C，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
有最小值4，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
有最小值
，故D 错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．设命题
：
，
.写出一个实数
，使得
为真命题.
【答案】
(答案不唯一)
【解析】若
正确，
时,
有解，
时,则
或
，
所以
，
综上，
真，则
，即
中任取一个值都可以.
故答案为：
(答案不唯一)
14．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会
打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个
体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人
数为 ．
【答案】20
【解析】首先设
是会打乒乓球的教师，
是会打羽毛球球的教师，
是会打蓝球的教师，
根据题意得
，
，
，
，
，
再使用三元容斥原理得：
，
有
，
而
中把
的区域计算了3 次，
于是要减掉这3 次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.
因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为
.
故答案为：20.
15．若复数z 满足
，则
的最小值为
【答案】
/
【解析】设
，（
不同时为0），
，
由题意可知
，得
或
，
当
时，
的轨迹是
轴（除原点外），此时
的几何意义表示复数表示的点和
的距离，此时
，
当
时，复数
的轨迹是以原点为圆心，
为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知，
的几何意义是圆上的点到
的距离，如图可知，
的最小值是点
与
的距离
.
故答案为：
.
16．已知正实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】12
【解析】因为正实数
，
满足
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
，
当且仅当
，即
时取等号，符合题意，
故
的最小值为12，
故答案为：12
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
设命题
：“对任意
，
恒成立”．且命题
为真命题．
(1)求实数
的取值集合
；
(2)在（1）的条件下，设非空集合
，若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围．
【解析】（1）对任意
，
恒成立，即
，
即
对任意
恒成立，
而
，即
，故
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
，则实数
的取值集合
.
（2）解
，即
，得
或
，
由于“
”是“
”的充分条件，故
,
故
，即
，
所以实数
的取值范围为
或
.
18．（12 分）
已知复数
，
，其中i 为虚数单位，且满足
，且
为纯虚数.
(1)若复数
，
在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求
；
(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程
的一个根，求实数m，n 的值.
【解析】（1）因为复数
，
，所以
，
又
为纯虚数，所以
，
又
，所以
，
又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，
所以
，故
.
（2）由（1）可知
当
时，
，
当
时，
.
（3）法一：由（1）可知
是关于x 的方程
的一个根，
所以把
，代入
得
，
化简得
，
即
，解得：
，
法二：由（1）可知
是关于x 的方程
的一个根，
所以此方程的另一根为：
，则
，
解得：
，
19．（12 分）
第31 届世界大学生夏季运动会将于2023 年7 月28 日至8 月8 日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活
动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商
品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和
营销策略改革，并提高定价到
元．公司拟投入
万元作为技改费用，投入50 万元作为固定宣传
费用，投入
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量
至少应达到多少万件时，才可能
使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【解析】（1）设每件定价为元，依题意得
，
整理得
，
解得
．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元．
（2）依题意知当
时，不等式
有解，
等价于
时，
有解．
由于
，当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故当该商品改革后的销售量
至少达到10.2 万件时，
才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30 元．
20．（12 分）
已知关于
的不等式
的解集为
或
.
(1)求
，
的值；
(2)当
，
且满足
时，有
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）因为不等式
的解集为
或
，
所以1 和
是方程
的两个实数根，且
，
所以
，解得
，
即
，
.
（2）由（1）知
，于是有
，
故
，
当且仅当
，结合
，即
时，等号成立，
依题意有
，即
，
得
，即
，
所以
的取值范围为
.
21．（12 分）
已知函数
．
(1)若不等式
的解集是空集，求m 的取值范围；
(2)当
时，解不等式
；
(3)若不等式
的解集为D，若
，求m 的取值范围．
【解析】（1）当
时，即
，则由
，得
，不合题意，
当
，即
时，由不等式
的解集为
得
，解得
，
所以
的取值范围为
；
（2）因为
，所以
，即
，
当
，即
时，解得
，所以不等式的解集为
，
当
，即
时，
，
因为
，所以不等式的解集为
，
当
，即
时，
，
因为
，所以
，所以
，
所以不等式的解集为
，
综上，当
，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
（3）因为不等式
的解集为
，且
，
所以对任意的
，不等式
恒成立，
即
，
因为
，
所以
恒成立，
令
，则
，
，
所以
，
由基本不等式可得
，当且仅当
，即
时取等号，
所以当
时，
取最大值，最大值为
，
所以
的取值范围为
.
22．（12 分）
已知集合
的元素全为实数，且满足：若
，则
．
(1)若
，求出
中其它所有元素；
(2)0 是不是集合
中的元素？请你设计一个实数
，再求出
中的所有元素？
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．
【解析】（1）由题意，可知
，
则
，
，
，
，
所以A 中其他所有元素为
，
，2．
（2）假设
，则
，
而当
时，
不存在，假设不成立，
所以0 不是A 中的元素．
取
，则
，
，
，
，
所以当
时，A 中的元素是3，
，
，
．
（3）猜想：A 中没有元素
，0，1；A 中有4 个元素，其中2 个元素互为负倒数，另外2 个元素也互为负
倒数．
由（2）知0，
，
若
，则
，与
矛盾，
则有
，即
，0，1 都不在集合A 中．
若实数
，则
，
，
，
．
结合集合中元素的互异性知，A 中最多只有4 个元素
，
，
，
且
，
．
显然
，否则
，即
，无实数解．
同理，
，即A 中有4 个元素．
所以A 中没有元素
，0，1；A 中有4 个元素，其中2 个元素互为负倒数，另外2 个元素也互为负倒数．
