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实际问题与一元一次不等式（提高）知识讲解
【学习目标】
1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；
2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：
.
要点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个
步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键
字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
要点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至
少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的
文字补上．如下面例1 中 “设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中 “至少需要11 台B 型车 ”．
这一点要应十分注意．
【典型例题】
类型一、简单应用题
1.蓝天运输公司要将300 吨物资运往某地，现有A、B 两种型号的汽车可供调用．已知A
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型汽车每辆最多可装该物资20 吨，B 型汽车每辆最多可装该物资15 吨．在每辆车不超载的
条件下，要把这300 吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7 辆A 型车的前提下至少还需调
用B 型车多少辆？
【思路点拨】本题的数量关系是：7 辆A 型汽车装载货物的吨数+B 型汽车装货物的吨数≥300
吨，由此可得出不等式，求出自变量的取值范围，找出符合条件的值．
【答案与解析】
解：设需调用B 型车x 辆，由题意得：
，
解得：
，
又因为x 取整数，所以x 最小取11．
答：在已确定调用7 辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车11 辆．
【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．
举一反三：
【变式】某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6 辆，那么15 天的
产量就超过了原来20 天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车？
【答案】
解：设原来每天能生产x 辆汽车，则
15(x+6)＞20x
解得：x＜18
依题意：x=17
答：原来每天最多能生产17 辆汽车．
类型二、阅读理解型
2. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种
原料的价格如下表：
甲种原料
乙种原料
维生素C 含量（单位•千克）
600
100
原料价格（元•千克）
8
4
现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200 单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg，
则x 应满足的不等式为（ ）
A．600x+100（10-x）≥4200 B．8x+4（100-x）≤4200
C．600x+100（10-x）≤4200 D．8x+4（100-x）≥4200
【思路点拨】首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表
格中的数据，根据“至少含有4200 单位的维生素C”这一不等关系列不等式．
【答案】A
【解析】
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解：若所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10-x）kg．
根据题意，得600x+100（10-x）≥4200．
【总结升华】能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言．
【变式2】某公司为了扩大经营，决定购进6 台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供
选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购
买机器耗资不能超过34 万元.
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6 台机器的日生产能力不低于380 个，那么为了节约资金应选择哪种方
案？
【答案】
解：设购买x 台甲种机器，则依据题意得：
（1）
7x+5(6-x)≤34
解得x≤2
∵x 取非负整数，∴x 取0,1 或2；
∴有三种购买方案，即购买甲、乙两种机器分别0 台、6 台或1 台、5 台或2 台、4 台．
（2）100x＋60（6-x）≥380，
解得：x≥0.5．
由（1）知，1≤x≤2 且x 为整数，
所以x＝1 或2，
当x＝1 时，所需资金为：7×1＋5×5＝32（万元）；
当x＝2 时，所需资金为：7×2＋5×4＝34（万元）．
∵ 32＜34，
∴应选择（1）中的第二种方案．
类型三、方案选择型
3. 某乒乓球训练馆准备购买10 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)个乒乓
球，已知A，B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20
元，每个乒乓球的标价都为1 元，现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折(按原价的
90％付费)销售，而B 超市买1 副乒乓球拍送3 个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，
请解答下列问题：
(1)如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算?
(2)当x＝12 时，请设计最省钱的购买方案．
【思路点拨】先列式表示出在A 超市购买所需球拍和乒乓球的费用y1元，在B 超市购买相同
物品所需的费用y2元，再比较y1与y2的大小．
【答案与解析】
解：(1)设在A 超市购买需花费y1元，在B 超市购买需花费y2元，
根据题意，得
，即y1＝180+9x；
y2＝10×20+(10x-30)×1，即y2＝170+10x．
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令y1＞y2，得180+9x＞170+10x，解得x＜10；
令y1＝y2，得180+9x＝170+10x，解得x＝10；
令y1＜y2，得180+9x＜170+10x，解得x＞10．
即当每副球拍配10 个以上球时，A 超市优惠，少于10 个球时B 超市优惠，每副球拍配
10 个球时，两超市价格相等．
(2)购买方案：在B 超市购买10 副乒乓球拍，获赠30 个乒乓球，再在A 超市购买
(10x-30)＝90(个)乒乓球，最省钱．
【总结升华】在表示y1与y2时，x 表示每幅球拍所配的球数，通过比较y1与y2之间的关系，得
出结论，注意本例中分类讨论思想的应用．
举一反三：
【变式】黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70 名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门
票每人60 元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆
60 元，十一座车每人10 元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000 元，问公司租用
的四座车和十一座车各多少辆?
【答案】
解：设四座车租x 辆，则十一座车租
辆．
依题意 70×60+60x+(70-4x)×10≤5000，
将不等式左边化简后得：20x+4900≤5000，
不等式两边减去3500 得 20x≤100，
不等式两边除以20 得 x≤5，
又∵
是整数，∴
，
．
答：公司租用四座车l 辆，十一座车6 辆．
4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电
冰箱80 台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2 倍，购买三种电冰箱的总金额不超
过132 000 元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200 元/台、1600 元/台、2000
元/台．
（1）至少购进乙种电冰箱多少台？
（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？
【思路点拨】（1）关系式为：甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款≤132000，根
据此不等关系列不等式即可求解；（2）关系式为：甲种电冰箱的台数≤丙种电冰箱的台数，以
及（1）中得到的关系式联合求解．
【答案与解析】
解：（1）设购买乙种电冰箱x 台，则购买甲种电冰箱2x 台，丙种电冰箱（80-3x）台，
根据题意得1200×2x+1600x+（80-3x）×2000≤132000
解这个不等式得x≥14
∴至少购进乙种电冰箱14 台；
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（2）根据题意得2x≤80-3x
解这个不等式得 x≤16
由（1）知 x≥14
∴14≤x≤16
又∵x 为正整数
∴x=14，15，16．
所以，有三种购买方案
方案一：甲种电冰箱为28 台，乙种电冰箱为14 台，丙种电冰箱为38 台.
方案二：甲种电冰箱为30 台，乙种电冰箱为15 台，丙种电冰箱为35 台.
方案三：甲种电冰箱为32 台，乙种电冰箱为16 台，丙种电冰箱为32 台．
【总结升华】探求不等关系时，要注意捕捉“大于”、“超过”、“不少于”、“不足”、“至
多”等表示不等关系的关键词，通过这些词语，可以直接找到不等关系．
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