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专题四
三角函数与解三角形
第十二讲解三角形
答案部分
2019
年
1. 解：（
）由已知得
1
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
B
C
A
B
C
+
−
=
，故由正弦定理得
2
2
2
b
c
a
bc
+
−
=
．
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
−
=
=
．
因为 0
180
A
，所以
60
A
=
．
（）由（
2
1）知
120
B
C
=
−
，由题设及正弦定理得
(
)
2sin
sin 120
2sin
A
C
C
+
−
=
，
即
6
3
1
cos
sin
2sin
2
2
2
C
C
C
+
+
=
，可得
(
)
2
cos
60
2
C
+
= −
．
由于 0
120
C
，所以
(
)
2
sin
60
2
C
+
=
，故
(
)
sin
sin
60
60
C
C
=
+
−
(
)
(
)
sin
60 cos60
cos
60 sin60
C
C
=
+
−
+
6
2
4
+
=
．
2.解析：由余弦定理有
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
−
，
因为 6
b =
，
2
a
c
=
，
π
3
B =
，所以
2
2
2
π
36
(2 )
4
cos 3
c
c
c
=
+
−
，
所以
2
12
c =
，
2
1
sin
sin
6 3
2
ABC
S
ac
B
c
B
=
=
=
△
.
3.解析
解析
解析
解析
解析（1）由题设及正弦定理得
sin
sin
sin
sin
2
A
C
A
B
A
+
=
．
因为
sin
0
A
，所以
sin
sin
2
A
C
B
+
=
．
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由
180
A
B
C
+
+
=
，可得
sin
cos
2
2
A
C
B
+
=
，故
cos
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
=
．
因为
cos
0
2
B
，故
1
sin 2
2
B =
，因此
60
B =
．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积
3
4
ABC
S
a
=
△
．
由正弦定理得
(
)
sin 120
sin
3
1
sin
sin
2tan
2
C
c
A
a
C
C
C
−
=
=
=
+
．
由于
ABC
△
为锐角三角形，故
0
90
A
，
0
90
C
，由（1）知
120
A C
+
=
，
所以
30
90
C
，故1
2
2
a
，从而3
3
8
2
ABC
S
△
．
因此，
ABC
△
面积的取值范围是
3
3
,
8
2
．
4.解析
解析
解析
解析
解析 设
(
)
2
AD
AB
A
AO
C
=
=
+
，
1
(
)
(1
)
3
AO
AE
EO
AE
EC
AE
AC
AE
AE
AC
AB
AC
−
=
+
=
+
=
+
−
=
−
+
=
+
，
所以
1
2
3
2
−
=
=
，解得
1
2
1
4
=
=
，
所以
1
1(
)
2
4
AO
AD
AB
AC
=
=
+
，
1
3
EC
AC
AE
AB
AC
=
−
= −
+
，
2
2
1
1
3
1
2
6
6
(
) (
)
(
)
4
3
2
3
3
AO EC
AB
AC
AB
AC
AB
AB AC
AC
=
+
−
+
=
−
+
+
=
2
2
1
3
2
2
AB
AB AC
AC
−
+
+
，
因为
2
2
1
3
2
2
AB AC
AB
AB AC
AC
= −
+
+
，所以
2
2
1
3
2
2
AB
AC
=
，
所以
2
2
3
AB
AC
=
，所以
3
AB
AC =
.
5.解析
解析
解析
解析
解析 （1）由余弦定理
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
+
−
=
，得
2
2
2
2
(3 )
( 2)
3
2 3
c
c
c c
+
−
=
，即
2
1
3
c =
.
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所以
3
3
c =
.
（）因为
2
sin
cos
2
A
B
a
b
=
，
由正弦定理
sin
sin
a
b
A
B
=
，得
cos
sin
2
B
B
b
b
=
，所以
cos
2sin
B
B
=
.
从而
2
2
cos
(2sin
)
B
B
=
，即
(
)
2
2
cos
4 1 cos
B
B
=
−
，故
2
4
cos
5
B =
.
因为
sin
0
B
，所以
cos
2sin
0
B
B
=
，从而
2 5
cos
5
B =
.
因此
π
2 5
sin
cos
2
5
B
B
+
=
=
.
6.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：在直角三角形
中，
ABC
4
AB =
，
3
BC =
，
5
AC =
，
4
sin
5
C =
，
在
BCD
△
中，
sin
sin
BD
BC
C
BDC
=
，可得
12 2
5
BD =
；
135
CBD
C
=
−
，
2
2
4
3
7 2
sin
sin(135
)
(cos
sin
)
2
2
5
5
10
CBD
C
C
C
=
−
=
+
=
+
=
，
所以
(
)
7 2
cos
cos 90
sin
10
ABD
CBD
CBD
=
−
=
=
.
7.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：（I）由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
−
，得
2
2
2
1
3
2 3
2
b
c
c
=
+
−−
.
因为
2
b
c
= +
，所以 (
)
2
2
2
1
2
3
2 3
2
c
c
c
+
=
+
− −
.解得
5
c =
，
所以 7
b =
.
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（）由
II
1
cos
2
B = −
得
3
sin
2
B =
.由正弦定理得
5 3
sin
sin
14
c
C
B
b
=
=
.
在
ABC
△
中，
B
是钝角，所以C
为锐角.所以
2
11
cos
1 sin
14
C
C
=
−
=
.
所以
(
)
4 3
sin
sin
cos
cos
sin
7
B
C
B
C
B
C
−
=
−
=
.
8.解析
解析
解析
解析
解析（Ⅰ）在
ABC
△
中，由正弦定理
sin
sin
b
c
B
C
=
，得
sin
sin
b
C
c
B
=
，又由
3 sin
4 sin
c
B
a
C
=
，得
3 sin
4 sin
b
C
a
C
=
，即3
4
b
a
=
.又因为
2
b
c
a
+
=
，得到
4
3
b
a
=
，
2
3
c
a
=
.
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
4
16
1
9
9
cos
2
2
4
2
3
a
a
a
a
c
b
B
a
a
+
−
+
−
=
=
= −
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
2
15
sin
1 cos
4
B
B
=
−
=
，
从而
15
sin 2
2sin
cos
8
B
B
B
=
= −
，
2
2
7
cos2
cos
sin
8
B
B
B
=
−
= −
，
故
π
π
π
15
3
7
1
3 5
7
sin 2
sin2 cos
cos2 sin
6
6
6
8
2
8
2
16
B
B
B
+
+
=
+
= −
−
= −
.
2010-2018
年
1
A
．【解析】因为
2
1
3
cos
2cos
1
2
1
2
5
5
=
−=
−= −
C
C
，所以由余弦定理，
得
2
2
2
3
2
cos
25 1 2 5 1 (
)
32
5
=
+
−
=
+ −−
=
AB
AC
BC
AC BC
C
，
所以
4 2
=
AB
，故选
．
A
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2
C
．【解析】根据题意及三角形的面积公式知
2
2
2
1
sin
2
4
a
b
c
ab
C
+
−
=
，
所以
2
2
2
sin
cos
2
a
b
c
C
C
ab
+
−
=
=
，所以在ABC
中，
4
C
=
．故选
．
C
3
A
．【解析】由
sin
(1 2cos )
2sin
cos
cos
sin
B
C
A
C
A
C
+
=
+
，
得
sin
2sin
cos
sin
cos
sin
B
B
C
A
C
B
+
=
+
，
即
2sin
cos
sin
cos
B
C
A
C
=
，所以
2sin
sin
B
A
=
，即2b
a
=
，选
．
A
4
A
．【解析】由余弦定理得
2
13
9
3
1
AC
AC
AC
= +
+
=
,
选A.
5
C
．【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得
1
2
sin
3
4
2
a
c
c
=
=
，则
3 2
2
a
c
=
．在△ABC 中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
9
5
2
3
2
2
b
a
c
ca
c
c
c
c
=
+
−
=
+
−
=
，则
10
2
b
c
=
．
由余弦定理，可得
2
2
2
2
2
2
5
9
10
2
2
cos
2
10
10
2
2
c
c
c
b
c
a
A
bc
c
c
+
−
+
−
=
=
= −
，故选
．
C
6
B
．【解析】1
1
sin
2
2
AB BC
B
=
，∴
2
sin
2
B =
，所以
45
B =
或
135
B =
．
当
45
B =
时，
2
2
2
cos
1
AC
AB
BC
AB BC
B
=
+
−
=
，
此时
1,
2
AB
AC
BC
=
=
=
，易得
90
A =
与“钝角三角形”矛盾；
当
135
B =
时，
2
2
2
cos
5
AC
AB
BC
AB BC
B
=
+
−
=
．
7
A
．【解析】因为
A
B
C
+
+
=
，由
1
sin2
sin(
)
sin(
)
2
A
A
B
C
C
A
B
+
−
+
=
−
−
+
得
1
sin2
sin 2
sin2
2
A
B
C
+
+
=
，
即
1
sin[(
)
(
)]
sin[(
)
(
)]
sin2
2
A
B
A
B
A
B
A
B
C
+
+
−
+
+
−
−
+
=
，
整理得
1
sin
sin
sin
8
A
B
C =
，
又
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ac
B
=
=
=
，
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因此
3
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
sin
sin
8
64
S
a b c
A
B
C
a b c
=
=
，由
1
2
S
≤
≤
得
2
2
2
3
1
1
2
64
a b c
≤
≤
，
即
8
16 2
abc
≤
≤
，因此选项
、
不一定成立．又
C
D
0
b
c
a
+
，
因此
(
)
8
bc b
c
bc a
+
≥
，即
(
)
8
bc b
c
+
，选项
一定成立．又
A
0
a
b
c
+
，
因此
(
)
8
ab a
b
+
，显然不能得出
(
)
16 2
ab a b
+
，选项
不一定成立．综上所述，
B
选
．
A
8．C【解析】由
2
2
(
)
6
c
a
b
=
−
+
可得
2
2
2
2
6
a
b
c
ab
+
−
=
−
①，由余弦定理及
3
C
=
可得
2
2
2
a
b
c
ab
+
−
=
②．所以由①②得
6
ab =
，所以
1
3 3
sin
2
3
2
ABC
S
ab
=
=
．
9
C
．【解析】∵
tan15
tan(60
45 )
2
3
=
−
= −
，
∴
60tan60
60tan15
120( 3 1)
BC =
−
=
−
．
10．D【解析】
2
25cos
1
0
A−=
，
1
cos
5
A =
，由余弦定理解得
5
b =
．
11．A【解析】边换角后约去sin B ，得
1
sin(
)
2
A
C
+
=
，所以
1
sin
2
B =
，但B 非最大角，
所以
6
B
=
．
12．C【解析】由余弦定理可得
5
AC =
，再由正弦定理得
3 10
sin
10
A =
．
13．B【解析】∵
cos
cos
sin
b
C
c
B
a
A
+
=
，
∴由正弦定理得
2
sin
cos
sin
cos
sin
B
C
C
B
A
+
=
，
∴
2
sin(
)
sin
B
C
A
+
=
，∴
2
sin
sin
A
A
=
，∴
sin
1
A= ，∴△
是直角三角形．
ABC
14．B【解析】由正弦定理得：
3 2
2 3
sin
sin
sin60
sin45
BC
AC
AC
AC
A
B
=
=
=
．
15．D【解析】由正弦定理，得
2
2
sin
sin
sin
cos
2 sin
A
B
B
A
A
+
=
，
即
2
2
sin
(sin
cos
)
2sin
B
A
A
A
+
=
，
sin
2sin
B
A
=
，∴
sin
2
sin
b
B
a
A
=
=
．
16．D【解析】设
AB
c
=
，则
AD
c
=
，
2
3
c
BD =
，
4
3
c
BC =
，在ΔABD中，由余弦定
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理得
2
2
2
2
4
1
3
cos
2
3
c
c
c
A
c
+
−
=
=
，则
2 2
sin
3
A=
，在ΔABC 中，
由正弦定理得
4
3
sin
sin
2 2
3
c
c
BC
C
A
=
=
，解得
6
sin
6
C =
．
17．A【解析】因为
120
C
=
，
2
c
a
=
，
所以
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
，
2
2
2
1
2
2
(
)
2
a
a
b
ab
=
+
−
−
所以
2
2
,
0,
ab
a
b
ab a
b
a
b
a
b
−
=
−
=
+
因为
0,
0
a
b
，所以
0
ab
a
b
a
b
−
=
+
，所以a
b
．故选
．
A
18．9【解析】因为
120
ABC
=
，
ABC
的平分线交AC 于点D ，
所以
60
ABD
CBD
=
=
，
由三角形的面积公式可得
1
1
1
sin120
sin60
sin60
2
2
2
ac
a
c
=
+
，
化简得
ac
a c
=
+
，又 0
a
，
0
c
，所以1
1
1
a
c
+
=
，
则
1
1
4
4
4
(4
)(
)
5
5
2
9
c
a
c
a
a
c
a
c
a
c
a
c
a
c
+ =
+
+
=
+
+
+
=
≥
，
当且仅当
2
c
a
=
时取等号，故4a
c
+
的最小值为．
9
19．21
7
；【解析】因为
3
7
a =
， 2
b =
， 60
A =
，所以由正弦定理得
3
2
sin
21
2
sin
7
7
b
A
B
a
=
=
=
．由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
−
可得
2
2
3
0
c
c
−
−=
，所以 3
c =
．
20．15
2
, 10
4
【解析】由余弦定理可得，
2
2
2
2
2
2
4
2
4
1
cos
2
2 4 2
4
AB
BC
AC
ABC
AB
BC
+
−
+
−
=
=
=
，
由
2
2
sin
cos
1
ABC
ABC
+
=
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所以
2
1
15
sin
1 cos
1
16
4
ABC
ABC
=
−
=
−
=
，
1
sin
2
BDC
S
BD
BC
DBC
=
1
1
sin(
)
sin
2
2
BD
BC
ABC
BD
BC
ABC
=
−
=
1
15
15
2 2
2
4
2
=
=
．
B
C
A
D
因为
BD
BC
=
，所以
D
BCD
=
，所以
2
ABC
D
BCD
D
=
+
=
，
1
1
1
cos
10
4
cos
cos
2
2
2
4
ABC
ABC
BDC
+
+
=
=
=
=
．
21．3 3
2
【解析】单位圆内接正六边形是由
个边长为
的正三角形组成，所以
6
1
6
1
3 3
6
1 1 sin60
2
2
S =
=
．
22．21
13
【解析】∵
4
cos
5
A =
，
5
cos
13
C =
，
所以
3
sin
5
A =
，
12
sin
13
C =
，
所以
(
)
63
sin
sin
sin
cos
cos
sin
65
B
A
C
A
C
A
C
=
+
=
+
=
，
由正弦定理得：
sin
sin
b
a
B
A
=
解得
21
13
b =
．
23
1
．
【解析】由
1
sin
2
B =
得
6
B
=
或5
6
，因为
6
C
=
，所以
5
6
B
，所以
6
B
=
，
于是
2
3
A
=
．有正弦定理，得
3
2
1
sin 3
2
b
=
，所以 1
b =
．
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24．7【解析】由已知得
ABC
的面积为1
sin
20sin
2
AB AC
A
A
=
10 3
=
，
所以
3
sin
2
A=
，
(0,
)
2
A
，所以
3
A
=
．
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
A
=
+
−
= 49 ，
7
BC =
．
25．
( 6
2, 6
2)
−
+
【解析】如图作PBC
，使
75
=
=
B
C
，
2
BC =
，作出直线AD分别交线段PB 、
PC 于A、D 两点（不与端点重合），且使
75
=
BAD
，则四边形ABCD 就是符合
题意的四边形，过C 作AD的平行线交PB 于点Q ，在PBC
中，可求得
6
2
BP =
+
，在QBC
中，可求得
6
2
BQ =
−
，所以AB 的取值范围为
( 6
2, 6
2)
−
+
．
Q
D
A
P
B
C
26．1【解析】∵
2
2
2
3
cos
2
4
b
c
a
A
bc
+
−
=
=
，
而
sin2
2sin
cos
2
4
3
cos
2
1
sin
sin
6
4
A
A
A
a
A
C
C
c
=
=
=
=
．
27．8 【解析】因为
0
A
，所以
2
15
sin
1 cos
4
A
A
=
−
=
，
又
1
15
sin
3 15
2
8
ABC
S
bc
A
bc
=
=
=
，
24
bc
=
，
解方程组
2
24
b
c
bc
−
=
=
，得 6
b =
， 4
c =
，由余弦定理得
2
2
2
2
2
1
2
cos
6
4
2 6 4
64
4
a
b
c
bc
A
=
+
−
=
+
−−
=
，所以
8
a =
．
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28．
100 6 【解析】依题意，
30
=
BAC
，
105
=
ABC
，在ABC
中，
由
180
=
+
+
ACB
BAC
ABC
，
所以
45
=
ACB
，因为
600
=
AB
，由正弦定理可得
30
sin
45
sin
600
BC
=
，
即
2
300
=
BC
m，在
BCD
Rt
中，因为
30
=
CBD
，
2
300
=
BC
，
所以
2
300
30
tan
CD
BC
CD =
=
，所以
6
100
=
CD
m．
29．150【解析】在三角形ABC 中，
100 2
AC =
，在三角形MAC 中，
sin60
sin45
MA
AC
=
，解得
100 3
MA =
，
在三角形MNA中，
3
sin60
2
100 3
MN
=
=
，故
150
MN =
．
30．2【解析】由
b
B
c
C
b
2
cos
cos
=
+
得：
sin
cos
sin
cos
2sin
B
C
C
B
B
+
=
，
即
sin(
)
2sin
B
C
B
+
=
，
sin
2sin
A
B
=
，∴
2
a
b
=
，故
2
a
b =
．
31．
3
2
【解析】
3sin
5sin
A
B
=
，
3
2
2
1
2
cos
2
,
5
3
2
2
2
=
−
=
−
+
=
=
+
=
C
ab
c
b
a
C
a
c
b
b
a
，所以
3
2
．
32．3【解析】∵
2 2
sin
sin(
)
cos
2
3
BAC
BAD
BAD
=
+
=
=
∴根据余弦定理可得
2
2
2
cos
2
AB
AD
BD
BAD
AB
AD
+
−
=
•
，
2
2
2
2 2
(3 2)
3
3
3
2 3 2 3
BD
BD
+
−
=
=
．
33．①②③【解析】①
2
2
2
2
2
1
cos
2
2
2
3
a
b
c
ab
ab
ab
c
C
C
ab
ab
+
−
−
=
=
②
2
2
2
2
2
2
4(
)
(
)
1
2
cos
2
8
2
3
a
b
c
a
b
a
b
a
b
c
C
C
ab
ab
+
−
+
−
+
+
=
③当
2
C
时，
2
2
2
3
2
2
3
3
c
a
b
c
a c
b c
a
b
+
+
+
与
3
3
3
a
b
c
+
=
矛盾
④取
2,
1
a
b
c
=
=
= 满足
(
)
2
a
b c
ab
+
得：
2
C
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⑤取
2,
1
a
b
c
=
=
= 满足
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b c
a b
+
得：
3
C
．
34．4【解析】根据余弦定理可得
2
2
1
4
(7
)
2 2 (7
) (
)
4
b
b
b
=
+
−
−
−
−
，解得
．
b=4
35．2 7
【解析】在
ABC
中，根据
sin
sin
sin
AB
AC
BC
C
B
A
=
=
，
得
3
sin
sin
2sin
sin
3
2
AC
AB
C
C
C
B
=
=
=
，同理
2sin
BC
A
=
，
因此
2
2sin
4sin
AB
BC
C
A
+
=
+
2
2sin
4sin(
)
3
C
C
=
+
−
4sin
2 3cos
2 7sin(
)
C
C
C
=
+
=
+
．
36．
15 3
4
【解析】根据
sin
sin
AB
AC
C
B
=
得
5
3
5 3
sin
sin
7
2
14
AB
C
B
AC
=
=
=
，
2
5 3
11
cos
1 (
)
14
14
C =
−
=
，
所以
sin
sin[
(
)]
sin
cos
cos
sin
A
B
C
B
C
B
C
=
−
+
=
+
=
3
11
1
5 3
3 3
2
14
2
14
14
−
=
．
37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角
、
和边、具有轮换性．
A
B
a
b
当
或
时满足题意，此时有
A B
=
a b
=
：
1
cos
3
C =
，
2
1 cos
1
tan
2
1 cos
2
C
C
C
−
=
=
+
，
2
tan 2
2
C =
，
1
tan
tan
2
tan 2
A
B
C
=
=
=
，
tan
tan
tan
tan
C
C
A
B
+
= 4．
（方法二）
（方法二）
（方法二）
（方法二）
（方法二）
2
2
6cos
6
cos
b
a
C
ab
C
a
b
a
b
+
=
=
+
，
2
2
2
2
2
2
2
2
3
6
,
2
2
a
b
c
c
ab
a
b a
b
ab
+
−
=
+
+
=
tan
tan
sin
cos
sin
sin
cos
sin
sin(
)
tan
tan
cos
sin
sin
cos
sin
sin
C
C
C
B
A
B
A
C
A
B
A
B
C
A
B
C
A
B
+
+
+
=
=
2
1
sin
cos
sin
sin
C
C
A
B
=
．
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由正弦定理，得：上式
2
2
2
2
2
2
1
4
1
1 3
cos
(
)
6
6
2
c
c
c
c
C ab
a
b
=
=
=
=
+
．
38．6
【解析】由
sin
cos
2
B
B
+
=
得
1 2sin
cos
2
B
B
+
=
，即
sin2
1
B = ，
因0
2B
，所以2
,
2
4
B
B
=
=
.又因为
2,
2,
a
b
=
=
由正弦定理得
2
2
sin
sin 4
A
=
，
解得
1
sin
2
A =
，而
,
a
b
则0
4
A
B
=
,故
6
a
=
．
39．【解析】(1)在ABC
中，∵
1
cos
7
B = −
，∴
(
, )
2
B
，
∴
2
4 3
sin
1
cos
7
B
B
=
−
=
．
由正弦定理得
sin
sin
a
b
A
B
=
7
8
sin
4 3
7
A =
，∴
3
sin
2
A =
．
∵
(
, )
2
B
，∴
(0,
)
2
A
，∴
π
3
A
=
．
(2)在
ABC
中，∵
sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
=
3
1
1
4 3
(
)
2
7
2
7
−
+
= 3 3
14
．
如图所示，在ABC
中，∵sin
h
C
BC
=
，∴
sin
h
BC
C
=
=
3 3
3 3
7
14
2
=
，
∴AC 边上的高为3 3
2
．
40．【解析】(1)在
ABD
△
中，由正弦定理得
sin
sin
BD
AB
A
ADB
=
．
由题设知，
5
2
sin 45
sin
ADB
=
，所以
2
sin
5
ADB
=
．
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由题设知，
90
ADB
，所以
2
23
cos
1
25
5
ADB
=
−
=
．
(2)由题设及(1)知，
2
cos
sin
5
BDC
ADB
=
=
．
在
BCD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
BC
BD
DC
BD DC
BDC
=
+
−
2
25 8
2 5 2 2
5
=
+ −
25
=
．
所以
5
BC =
．
41．【解析】(1)在
ABC
△
中，由正弦定理
sin
sin
a
b
A
B
=
，可得
sin
sin
b
A
a
B
=
，
又由
π
sin
cos(
)
6
b
A
a
B
=
−
，得
π
sin
cos(
)
6
a
B
a
B
=
−
，
即
π
sin
cos(
)
6
B
B
=
−
，可得
tan
3
B =
．
又因为
(0
π)
B
，
，可得
3
B
=
．
(2)在
ABC
△
中，由余弦定理及 2
a =
， 3
c =
，
3
B
=
，
有
2
2
2
2
cos
7
b
a
c
ac
B
=
+
−
=
，故
7
b =
．
由
π
sin
cos(
)
6
b
A
a
B
=
−
，可得
3
sin
7
A =
．因为a
c
，故
2
cos
7
A =
．
因此
4 3
sin2
2sin
cos
7
A
A
A
=
=
，
2
1
cos2
2cos
1
7
A
A
=
−=
．
所以，
sin(2
)
sin2 cos
cos2 sin
A
B
A
B
A
B
−
=
−
=
4 3
1
1
3
3 3
7
2
7
2
14
−
=
．
42．【解析】（）由题设得
1
2
1
sin
2
3sin
a
ac
B
A
=
，即1 sin
2
3sin
a
c
B
A
=
由正弦定理得 1
sin
sin
sin
2
3sin
A
C
B
A
=
．
故
2
sin
sin
3
B
C =
．
（）由题设及（
2
1）得
1
2
1
cos(
)
cos
cos
sin
sin
6
3
2
B
C
B
C
B
C
+
=
−
=
−
= −
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所以
2π
3
B
C
+
=
，故
π
3
A =
．
由题设得
2
1
sin
2
3sin
a
bc
A
A
=
，即
8
bc =
．
由余弦定理得
2
2
9
b
c
bc
+
−
=
，即
2
(
)
3
9
b
c
bc
+
−
=
，得
33
b
c
+
=
．
故
ABC
△
的周长为 3
33
+
．
43．【解析】（）由已知得
1
tan
3
A = −
，所以
2
3
A
=
．
在
ABC
中，由余弦定理得
2
2
28
4
4 cos 3
c
c
=
+
−
，即2
+2
24=0
c
c −
．
解得
6
c = −
（舍去）， 4
c =
（）有题设可得
2
2
CAD
=
，所以
6
BAD
BAC
CAD
=
−
=
．
故
ABD
面积与ACD
面积的比值为
1
sin
2
6
1
1
2
AB AD
AC AD
=
．
又
ABC
的面积为1
4 2sin
2 3
2
BAC
=
，所以ABD
的面积为3 ．
44．【解析】由题设及
A
B
C
+
+
=
得
2
sin
8sin 2
B
B =
，故
sin
4(1 cos )
B
B
=
−
．
上式两边平方，整理得
2
17cos
32cos
15
0
B
B
−
+
=
，
解得
cos
1
B = （舍去），
15
cos
17
B =
．
（）由
2
15
cos
17
B =
得
8
sin
17
B =
，故
1
4
sin
2
17
ABC
S
ac
B
ac
=
=
．
又
2
ABC
S
=
，则
17
2
ac =
．
由余弦定理及
6
a
c
+
=
得
2
2
2
2
2
cos
(
)
2
(1 cos )
b
a
c
ac
B
a
c
ac
B
=
+
−
=
+
−
+
17
15
36
2
(1
)
4
2
17
=
−
+
=
．
所以 2
b =
．
45．【解析】（Ⅰ）在
ABC
△
中，因为a
b
，故由
3
sin
5
B =
，可得
4
cos
5
B =
．
由已知及余弦定理，有
2
2
2
2
cos
13
b
a
c
ac
B
=
+
−
=
，所以
13
b =
.
由正弦定理
sin
sin
a
b
A
B
=
,得
sin
3 13
sin
13
a
B
A
b
=
=
.
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所以，b 的值为13，
sin A 的值为 3 13
13
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a
c
，得
2 13
cos
13
A =
，所以
12
sin 2
2sin
cos
13
A
A
A
=
=
，
2
5
cos2
1 2sin
13
A
A
= −
= −
．
故
π
π
π
7 2
sin(2
)
sin2 cos
cos2 sin
4
4
4
26
A
A
A
+
=
+
=
．
46．【解析】（Ⅰ）在△
中，因为
ABC
60
A
=
，
3
7
c
a
=
，
所以由正弦定理得
sin
3
3
3 3
sin
7
2
14
c
A
C
a
=
=
=
．
（Ⅱ）因为
3
7
c
a
a
=
，所以
60
C
A
=
，
由 7
a =
，所以
3 7
3
7
c =
=
．
由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
−
得
2
2
2
1
7
3
2
3
2
b
b
=
+
−
，
解得 8
b =
或
5
b = −（舍）．
所以△
的面积
ABC
1
1
3
sin
8 3
6 3
2
2
2
S
bc
A
=
=
=
．
47．【解析】(
)
Ⅰ由
tan
tan
2(tan
tan )
cos
cos
A
B
A
B
B
A
+
=
+
得
sin
sin
sin
2
cos cos
cos cos
cos cos
C
A
B
A
B
A
B
A
B
=
+
，
所以
C
B
C
sin
sin
sin
+
=
2
，由正弦定理，得
c
b
a
2
=
+
．
（Ⅱ）由
ab
c
ab
b
a
ab
c
b
a
C
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
+
=
−
+
=
)
(
cos
2
2
2
3
3
3
1
1
1
1
2
2
2
2(
)
2
c
c
a
b
ab
=
−
−=
−=
+
…
．
所以
C
cos
的最小值为1
2
．
48．【解析】（I）证明：由正弦定理
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
可知
原式可以化解为
cos
cos
sin
1
sin
sin
sin
A
B
C
A
B
C
+
=
=
关注微信公众号：加油高三
∵A和B 为三角形内角 , ∴
sin
sin
0
A
B
则，两边同时乘以
sin
sin
A
B，可得
sin
cos
sin
cos
sin
sin
B
A
A
B
A
B
+
=
由和角公式可知，
(
)
(
)
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
B
A
A
B
A
B
C
C
+
=
+
=
−
=
原式得证。
（II）由题
2
2
2
6
5
b
c
a
bc
+
−
=
,根据余弦定理可知，
2
2
2
3
cos
2
5
b
c
a
A
bc
+
−
=
=
∵A 为三角形内角，
(
)
0,
A
，
sin
0
A
则
2
3
4
sin
1
5
5
A
=
−
=
，即
cos
3
sin
4
A
A =
由（I）可知
cos
cos
sin
1
sin
sin
sin
A
B
C
A
B
C
+
=
=
，∴
cos
1
1
sin
tan
4
B
B
B
=
=
．
∴
tan
4
B =
．
49．【解析】(1)
(
)
2cos
cos
cos
C a
B
b
A
c
+
=
由正弦定理得：
(
)
2cos
sin
cos
sin
cos
sin
C
A
B
B
A
C
+
=
(
)
2cos
sin
sin
C
A
B
C
+
=
∵
π
A
B
C
+
+
=
，
(
)
0
π
A
B
C
、、
，
∴
(
)
sin
sin
0
A
B
C
+
=
∴
2cos
1
C =
，
1
cos
2
C =
∵
(
)
0
π
C
，
∴
π
3
C =
．
⑵由余弦定理得：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
2
2
1
7
2
2
a
b
ab
=
+
−
(
)
2
3
7
a
b
ab
+
−
=
1
3
3 3
sin
2
4
2
S
ab
C
ab
=
=
=
∴
6
ab =
∴ (
)
2
18
7
a
b
+
−
=
关注微信公众号：加油高三
5
a
b
+
=
∴
ABC
△
周长为
5
7
a
b
c
+
+
=
+
50．【解析】(
)
Ⅰ
1
sin
2
ABD
S
AB AD
BAD
=
1
sin
2
ADC
S
AC AD
CAD
=
因为
2
ABD
ADC
S
S
=
，
BAD
CAD
=
，所以
2
AB
AC
=
．
由正弦定理可得
sin
1
sin
2
B
AC
C
AB
=
=
．
(Ⅱ)因为
:
:
ABD
ADC
S
S
BD DC
=
，所以
2
BD =
．在ABD
和
ADC
中，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AB
AD
BD
AD BD
ADB
=
+
−
，
2
2
2
2
cos
AC
AD
DC
AD DC
ADC
=
+
−
．
2
2
2
2
2
2
3
2
6
AB
AC
AD
BD
DC
+
=
+
+
=
．由(Ⅰ)知
2
AB
AC
=
，所以
1
AC =
．
51．【解析】（1）由
tan
a
b
A
=
及正弦定理，得
sin
sin
cos
cos
A
b
B
A
a
B
=
=
，
所以
sin
cos
B
A
=
，即
sin
sin(
)
2
B
A
=
+
．
又B 为钝角，因此2
+ A ( 2
，)，故B = 2
+ A，即B
A
-
= 2
；
（）由（）知，
2
1
C = - ( A +B )= - (2A +
2
)=
2
- 2 A >0，
所以A
0, 4
，
于是
sin
sin
sin
sin(
2 )
2
A
C
A
A
+
=
+
−
=
sin
cos2
A
A
+
=
2
2sin
sin
1
A
A
−
+
+
=
2
1
9
2(sin
)
4
8
A
−
−
+
，
因为0< A < 4
，所以0<
sin A <
2
2
，因此
2
2
<−2
2
1
9
9
sin
4
8
8
A
≤
−
+
．
由此可知
sin
sin
A
C
+
的取值范围是（
2
2
，9
8
]
．
52．【解析】（I）在ABC
中，由题意知
2
3
sin
1 cos
3
A
A
=
−
=
，
关注微信公众号：加油高三
又因为
2
B
A
=
+
，所有
6
sin
sin(
)
cos
2
3
B
A
A
=
+
=
=
，
由正弦定理可得
6
3
sin
3
3 2
sin
3
3
a
B
b
A
=
=
=
．
（）由
II
2
B
A
=
+
得，
3
cos
cos(
)
sin
2
3
B
A
A
=
+
= −
= −
，
由
A
B
C
+
+
=
，得
(
)
C
A
B
=
−
+
．
所以
sin
sin[
(
)]
sin(
)
C
A
B
A
B
=
−
+
=
+
sin
cos
cos
sin
A
B
A
B
=
+
3
3
6
6
(
)
3
3
3
3
=
−
+
1
3
=
．
因此，ABC
的面积
1
1
1
3 2
sin
3 3 2
2
2
3
2
S
ab
C
=
=
=
．
53．【解析】：（Ⅰ）∵
2
A
B
=
，∴
sin
sin2
2sin
cos
A
B
B
B
=
=
，
由正弦定理得
2
2
2
2
2
a
c
b
a
b
ac
+
−
=
∵
3,
1
b
c
=
=
，∴
2
12,
2 3
a
a
=
=
．
（Ⅱ）由余弦定理得
2
2
2
9 1 12
1
cos
2
6
3
b
c
a
A
bc
+
−
+ −
=
=
= −
，
由于 0
A
，∴
2
2
1
2 2
sin
1 cos
1 (
)
3
3
A
A
=
−
=
−−
=
，
故
2 2
2
1
2
4
2
sin(
)
sin
cos
cos
sin
(
)
4
4
4
3
2
3
2
6
A
A
A
−
+
=
+
=
+ −
=
．
54．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=
o
60 ，∴∠PBA=30o
，在△
中，由余弦定理得
PBA
2
PA =
o
1
1
3
2
3
cos30
4
2
+
−
= 7
4
，∴PA=
7
2
；
（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=sin，在△PBA 中，
关注微信公众号：加油高三
由正弦定理得，
o
o
3
sin
sin150
sin(30
)
=
−
，化简得，
3 cos
4sin
=
，
∴tan=
3
4
，∴
tan
PBA
=
3
4
．
55．【解析】（）因为
Ⅰ
cos
sin
a
b
C
c
B
=
+
，所以由正弦定理得：
sin
sin
cos
sin
sin
A
B
C
C
B
=
+
，
所以
sin(
)
sin
cos
sin
sin
B
C
B
C
C
B
+
=
+
，
即
cos
sin
sin
sin
B
C
C
B
=
，因为sinC 0，所以
tan
1
B =
，解得B= 4
；
（）由余弦定理得：
Ⅱ
2
2
2
2
cos 4
b
a
c
ac
=
+
−
，即
2
2
4
2
a
c
ac
=
+
−
，由不等式得：
2
2
2
a
c
ac
+
，当且仅当a
c
=
时，取等号，所以
4
(2
2)ac
−
，解得
4
2 2
ac
+
，
所以△
的面积为
ABC
1
sin
2
4
ac
2
(4
2 2)
4
+
= 2
1
+ ，所以△ABC 面积的最
大值为
2
1
+ ．
56．【解析】（Ⅰ）
, ,
(0, )
sin(
)
sin
0
A
C
B A B
A
C
B
+
=
−
+
=
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
B
A
A
C
A
C
A
C
B
=
+
=
+
=
1
cos
2
3
A
A
=
=
（）
II
2
2
2
2
2
2
2
cos
3
2
a
b
c
bc
A
a
b
a
c
B
=
+
−
=
=
+
=
在
Rt ABD
中，
2
2
2
2
3
7
1
(
)
2
2
AD
AB
BD
=
+
=
+
=
．
57．【解析】（）由正弦定理得：
1
cos
3 sin
0
sin
cos
3sin
sin
sin
sin
a
C
a
C
b
c
A
C
A
C
B
C
+
−−
=
−
=
+
sin
cos
3sin
sin
sin(
)
sin
1
3sin
cos
1
sin(
30 )
2
30
30
60
A
C
A
C
a
C
C
A
A
A
A
A
+
=
+
+
−
=
−
=
−
=
=
（）
2
1
sin
3
4
2
S
bc
A
bc
=
=
=
关注微信公众号：加油高三
2
2
2
2
cos
4
a
b
c
bc
A
b
c
=
+
−
+
=
，解得：
2
b
c
=
=
．
58．【解析】（）由正弦定理，设
I
,
sin
sin
sin
a
b
c
k
A
B
C
=
=
=
则
2
2 sin
sin
2sin
sin
,
sin
sin
c
a
k
C
k
A
C
A
b
k
B
B
−
−
−
=
=
所以
cos
2cos
2sin
sin
.
cos
sin
A
C
C
A
B
B
−
−
=
即
(cos
2cos
)sin
(2sin
sin )cos
A
C
B
C
A
B
−
=
−
，
化简可得
sin(
)
2sin(
).
A
B
B
C
+
=
+
又
A
B
C
+
+
=
，
所以
sin
2sin
C
A
=
，因此sin
2.
sin
C
A =
（）由
II
sin
2
sin
C
A =
得
2 .
c
a
=
由余弦定理
2
2
2
2
2
2
1
1
2
cos
cos
,
2,
4
4
.
4
4
b
a
c
ac
B
B
b
a
a
a
=
+
−
=
=
+
−
及
得4=
解得
．因此
．
a=1
c=2
又因为
1
cos
,
0
.
4
B
B
=
且
所以
15
sin
.
4
B =
因此
1
1
15
15
sin
1 2
.
2
2
4
4
S
ac
B
=
=
=
59．【 解析】由
A
C
B
C
B
−
=
+
=
+
+
和
0
)
cos(
2
1
，得
.
2
3
sin
,
2
1
cos
,0
cos
2
1
=
=
=
−
A
A
A
再由正弦定理，得
.
2
2
sin
sin
=
=
a
A
b
B
.
2
2
sin
1
cos
,
2
,
,
=
−
=
B
B
B
B
A
B
a
b
从而
不是最大角
所以
知
由
由上述结果知
).
2
1
2
3
(
2
2
)
sin(
sin
+
=
+
=
B
A
C
设边
上的高为
BC
h ，则有
.
2
1
3
sin
+
=
=
C
b
h
60．【解析】由题意知
(
)
5 3
3
AB=
+
海里，
关注微信公众号：加油高三
90
60
30 ,
45 ,
DBA
DAB
=
−
=
=
105
ADB
=
在
DAB
中，由正弦定理得
sin
sin
DB
AB
DAB
ADB
=
sin
5(3
3) sin45
5(3
3) sin45
sin
sin105
sin45
cos60
sin60
cos45
AB
DAB
DB
ADB
•
+
•
+
•
=
=
=
•
+
•
=
5 3(1
3)
10 3
(1
3)
2
+
=
+
（海里），
又
30
(90
60 )
60 ,
20 3
DBC
DBA
ABC
BC
=
+
=
+
−
=
=
海里，
在
DBC
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
CD
BD
BC
BD BC
DBC
=
+
−
•
•
=
1
300 1200
2 10 3
20 3
900
2
+
−
=
CD
=30（海里），则需要的时间
30
1
30
t =
=
（小时）．
答：救援船到达
点需要
小时．
D
1
61．【解析】（）
1
tan
tan
H
H
AD
AD
=
=
，同理：
tan
H
AB
=
，
tan
h
BD
=
．
AD—AB=DB，故得
tan
tan
tan
H
H
h
−
=
，解得：
tan
4 1.24
124
tan
tan
1.24 1.20
h
H
=
=
=
−
−
．
因此，算出的电视塔的高度
是
．
H
124m
（）由题设知
2
d
AB
=
，得
tan
, tan
H
H
h
H
h
d
AD
DB
d
−
=
=
=
=
，
2
tan
tan
tan(
)
(
)
1 tan
tan
(
)
1
H
H
h
hd
h
d
d
H H
h
H H
h
d
H H
h
d
d
d
d
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
+
+
−
+
+
(
)
2
(
)
H H
h
d
H H
h
d
−
+
−
，（当且仅当
(
)
125 121
55 5
d
H H
h
=
−
=
=
时，取
等号）故当
55 5
d =
时，
tan(
)
−
最大．
因为0
2
，则0
2
−
，所以当
55 5
d =
时，-最大．
故所求的d 是
55 5 m．
