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考点突破练16 基本初等函数、函数的应用
一、必备知识夯实练
1.(2023 山东潍坊二模)已知函数f(x)=(
1
3)
x
-3x,则f(x)( )
A.是奇函数,且在R 上是增函数
B.是偶函数,且在R 上是增函数
C.是奇函数,且在R 上是减函数
D.是偶函数,且在R 上是减函数
2.(2023 天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
3.(2023 江苏七市三模)星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统
在近海水下某深度的能量估算公式为Er=3
S EP×10-7,其中EP是激光器输出的单脉冲能量,Er是水下潜
艇接收到的光脉冲能量,S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积(单位:km2,光斑面积与卫星高度有关).
若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ 满足Γ=10lg Er
EP
(单位:dB).当卫星达到一定高度时,该激
光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75 km2,则此时Γ 大小约为( )(参考数据:lg 2≈0.301)
A.-76.02
B.-83.98
C.-93.01
D.-96.02
4.(2023 广东梅州二模)用二分法求方程log4x- 1
2 x =0 近似解时,所取的第一个区间可以是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
5.(2023 山东青岛二模)已知函数f(x)=x,g(x)=2x+2-x,则大致图象如图的函数可能是( )
A.f(x)+g(x)
B.f(x)-g(x)
C.f(x)g(x)
D. f ( x )
g( x )
6.(2023 江苏宿迁模拟)若a,b∈R,且满足1
2 <(
1
2)
b
<(
1
2)
a
<1,那么( )
A.aa<ab<ba
B.aa<ba<ab
C.ab<aa<ba
D.ab<ba<aa
7.(2023 山东枣庄二模)指数函数y=ax的图象如图所示,则y=ax2+x 图象顶点横坐标的取值范围是(
)
A.(-∞,- 1
2)
B.(- 1
2 ,0)
C.(0, 1
2)
D.(- 1
2 ,+∞)
8.已知f(x)={
|lg x|, x>0,
- x
2-2 x +1, x ≤0,则函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3 的零点个数是 .
9.(2023 四川金堂中学三模)函数f(x)=sin x-log2x 的零点个数为 .
10.(2023 江苏南京二模)幂函数f(x)=xa(a∈R)满足:任意x∈R 有f(-x)=f(x),且f(-1)<f(2)<2,请写出符合
上述条件的一个函数f(x)= .
2
二、关键能力提升练
11.(2023 山东济南一模)自然数22 023的位数为(参考数据:lg 2≈0.301 0)( )
A.607
B.608
C.609
D.610
12.(2023 辽宁锦州二模)如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,厚度为α(单位:mm)的
带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β(单位:mm).若α=10,β=5,每对轧辊的减薄
率r 不超过4%,则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为( )(一对轧辊减薄率r=α - β
α
×100%,lg
2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
A.14
B.15
C.16
D.17
13.(2023 河北石家庄三模)已知函数f(x)同时满足性质:①f(-x)=-f(x);②对于∀x1,x2∈(0,1),
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0,则函数f(x)可能是( )
A.f(x)=ex-e-x
B.f(x)=(
1
2)
x
C.f(x)=sin 4x
D.f(x)=x2
14.(多选题)(2023 华中师大一附中模拟)已知函数f(x)= x
x -1-10x(x>1),g(x)= x
x -1-lg x(x>1)的零点分
别为x1,x2,则( )
A.x1=2lg x2
B. 1
x1
+ 1
x2
=1
C.x1+x2>4
D.x1x2<10
15.(2023 天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a 的取值范围为 .
三、核心素养创新练
16.(2023 山东日照二模)对于给定的正整数n(n≥2),定义在区间[0,n]上的函数y=f(x)满足:当0≤x≤1
时,f(x)=-x2+2x,且对任意的x∈[1,n],都有f(x)=f(x-1)+1.若与n 有关的实数kn使得方程f(x)=knx 在区间
[n-1,n]上有且仅有一个实数解,则关于x 的方程f(x)=knx 的实数解的个数为( )
A.n
B.2n-1
C.n+1
D.2n+1
17.(2023 陕西西安二模)函数int(x)是计算机程序中一个重要函数,它表示不超过x 的最大整数,例如
int(-3.9)=-4,int(2.4)=2,已知函数f(x)={
x -∫( x ), x>0,
lo ga(- x ), x<0,
a>0,且a≠1,若f(x)的图象上恰有3 对点关于
原点对称,则实数a 的最小值为 .
3
考点突破练16 基本初等函数、函数的应用
1.C 解析 由题得,函数的定义域为R.因为f(-x)=3x-(
1
3)
x
=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
又因为函数y=(
1
3)
x
,y=-3x在R 上都是减函数,
所以函数f(x)=(
1
3)
x
-3x在R 上是减函数.
2.D 解析 因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以
1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.
3.B 解析 因为Er=3
S EP×10-7,该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75 km2,所以
Er
EP
= 3
S ×10-7= 3
75×10-7=4×10-9,则Γ=10lg(4×10-9)=10lg 4-90≈10×0.602-90=-83.98.
4.B 解析 令f(x)=log4x- 1
2 x ,
因为函数y=log4x,y=- 1
2 x 在区间(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)=log4x- 1
2 x 在区间(0,+∞)上是增函数,
f(1)=-1
2<0,f(2)=log42-1
4 = 1
2 - 1
4 = 1
4 >0,
所以函数f(x)=log4x- 1
2 x 在区间(1,2)上有唯一零点,所以用二分法求方程log4x- 1
2 x =0 近似解时,所
取的第一个区间可以是(1,2).故选B.
5.D 解析 f(x),g(x)的定义域均为R,且f(-x)=-x=-f(x),g(-x)=2-x+2x=g(x),所以f(x)为奇函数,g(x)为
偶函数.由图易知其为奇函数,而f(x)+g(x)与f(x)-g(x)为非奇非偶函数,故排除A,B.当x 趋向于+∞
时,f(x)g(x)趋向于+∞,排除C.故选D.
6.C 解析 由1
2 <(
1
2)
b
<(
1
2)
a
<1,可得(
1
2)
1
<(
1
2)
b
<(
1
2)
a
<(
1
2)
0
.因为函数y=(
1
2)
x
在R 上为减函
数,所以0<a<b<1.因为函数y=ax在R 上为减函数,所以ab<aa.因为函数y=(
a
b)
x
在R 上为减函数,
所以(
a
b)
a
<(
a
b)
0
=1,aa<ba.综上,ab<aa<ba.
7.A 解析 由图可知,a∈(0,1),而y=ax2+x=a(x + 1
2a)
2
- 1
4 a(a≠0),顶点横坐标为x=- 1
2a,所以-
1
2a ∈(-∞,- 1
2).
8.7 解析 函数y=4[f(x)]2-8f(x)+3 的零点即为方程4[f(x)]2-8f(x)+3=0 的根,解方程4[f(x)]2-8f(x)
+3=0 得f(x)=3
2或f(x)=1
2.
作出函数f(x)的图象,如图所示.
4
由图象知直线y=3
2与f(x)的图象有4 个交点,直线y=1
2与f(x)的图象有3 个交点.因此函数
y=4[f(x)]2-8f(x)+3 的零点有7 个.
9.1 解析 注意到log22=1,在同一坐标系中作出y=sin x 与y=log2x 的大致图象,
易知零点个数为1.
10.x
2
3(答案不唯一) 解析 取f(x)=x
2
3,则定义域为R,且f(-x)=(-x)
2
3 = x
2
3=f(x),f(-1)=1,f(2)=2
2
3 =
3√4,
满足f(-1)<f(2)<2.
11.C 解析 因为lg 22 023=2 023lg 2≈2 023×0.301 0=608.923,
所以22 023≈10608.923,即22 023的位数为608+1=609.
12.D 解析 厚度为α=10 mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为10(1-
4%)n,过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β=5,则10(1-4%)n≤5,(1-4%)n≤1
2.
∵(1-4%)n>0,1
2>0,∴lg(1-4%)n≤lg1
2,
故nlg(1-4%)≤-lg 2.∵lg(1-4%)<0,∴n≥-lg2
lg(1- 4 %),
∴n≥-lg2
lg0.96 =-lg2
lg(3×2
5×0.01)
=-lg2
lg3+5lg2-2 ≈-0.301 0
0.477 1+5×0.301 0-2≈16.815 6.
故选D.
13.A 解析 ∵f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
由②可得函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.
选项中四个函数定义域均为R,∀x∈R,都有-x∈R.
对于A,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,满足性质①,
∵y=ex与y=-e-x=-(
1
e)
x
均在R 上为增函数,
∴f(x)=ex-e-x在R 上为增函数,满足性质②;
对于B,由指数函数的性质,f(x)=(
1
2)
x
为非奇非偶函数,在R 上为减函数,性质①,②均不满足;
对于C,f(-x)=sin(-4x)=-sin 4x=-f(x),故f(x)为奇函数,满足性质①,令-π
2 +2kπ≤4x≤π
2 +2kπ,k∈Z,解
得-π
8 + k π
2 ≤x≤π
8 + k π
2 ,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[-π
8 + k π
2 , π
8 + k π
2 ],k∈Z,故f(x)在区间
(0,1)不单调,不满足性质②;
对于D,由幂函数的性质,f(x)=x2为偶函数,在区间[0,+∞)上单调递增,不满足性质①,满足性质②.
14.BC 解析 对于A,∵y= x
x -1=1+ 1
x -1,∴将y=1
x 的图象向右、向上各平移一个单位长度得到
y= x
x -1的图象,∴函数y= x
x -1的图象关于直线y=x 对称.
5
在同一平面直角坐标系中作出y=10x,y=lg x(x>0),y= x
x -1(x>1)的图象,如图所示,即可知点A,B 关
于直线y=x 对称.
∴x1=lg x2= x2
x2-1,x2>x1>1,故A 不正确;
对于B,由x1= x2
x2-1,得x1x2=x1+x2,则1
x1
+ 1
x2
=1,故B 正确;
对于C,x1+x2=1+
1
x2-1+x2=(x2-1)+
1
x2-1+2≥4,当且仅当x2-1=
1
x2-1,即x2=2 时,等号成立,
∵g(2)=2-lg 2≠0,∴x2≠2,等号不成立,∴x1+x2>4,故C 正确;
对于D,∵g(x)= x
x -1-ln x=1+ 1
x -1-ln x,∴g(x)在区间(1,+∞)上单调递减.又g(x2)=0,g(10)=1
9>0,
∴x2>10.又x1>1,∴x1x2>10,故D 不正确.
故选BC.
15.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) 解析 令g(x)=x2-ax+1,方程g(x)=0 的判别式Δ=a2-4.
①当Δ≤0,即-2≤a≤2 时,x2-ax+1≥0 恒成立,
所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).
若a=0 或a=1,则f(x)仅有一个零点-1;
若a≠0 且a≠1,则f(x)有两个零点-1, 1
a-1.
②当Δ>0,即a>2 或a<-2 时,分两种情况.
若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1)(*),
若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1)(**),
由(*)式得x1= 1
a-1,x2=-1,
由(**)式得x3= 1
a+1,x4=1.
将x1= 1
a-1代入x2-ax+1,有( 1
a-1)2-a· 1
a-1+1=
2-a
(a-1)
2 ;
将x2=-1 代入x2-ax+1,有(-1)2+a+1=a+2;
将x3= 1
a+1代入x2-ax+1,有( 1
a+1)2-a· 1
a+1+1=
a+2
(a+1)
2 ;
将x4=1 代入x2-ax+1,有12-a+1=2-a,
所以当a>2 时,
2-a
(a-1)
2 <0,不满足条件;a+2>0,满足条件;
a+2
(a+1)
2 >0,不满足条件;2-a<0,满足条
件,故f(x)有两个零点-1,1.
当a<-2 时,
2-a
(a-1)
2 >0,满足条件;a+2<0,不满足条件;
a+2
(a+1)
2 <0,满足条件;2-a>0,不满足条件,
故f(x)有两个零点1
a-1 ,
1
a+1.
综上所述,a 的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
16.B 解析 由题意,画出y=f(x)在区间[0,1]上的图象,
6
又对任意的x∈[1,n],都有f(x)=f(x-1)+1,
可理解为在区间[n-1,n]上的图象由在区间[n-2,n-1]上的图象向右平移一个单位长度,
再向上平移一个单位长度所得,即可画出y=f(x)在区间[0,n]上的图象.
故若与n 有关的实数kn使得方程f(x)=knx 在区间[n-1,n]上有且仅有一个实数解,
则y=knx 与y=f(x)在区间[n-1,n]上的图象相切,
且易得y=f(x)的图象在直线y=x 与其在区间[0,1],[1,2],…,[n-2,n-1],[n-1,n]上的图象的公切线之间.
故y=knx 与y=f(x)的图象在区间[0,1],[1,2],…,[n-2,n-1]上均有2 个交点,故关于x 的方程f(x)=knx
的实数解的个数为2(n-1)+1=2n-1.
17.1
5 解析 要使f(x)的图象上恰有3 对点关于原点对称,则函数y=-logax=log 1
ax 与y=x-
int(x),x>0 的图象恰有3 个交点,作出满足题意的函数f(x)={
x -∫( x ), x>0,
lo ga(- x ), x<0,a>0,且a≠1,与函数
y=-logax 的图象,如图所示,
则{
0<a<1,
lo g 1
a
4<1,
lo g 1
a
5≥1,
解得1
5≤a<1
4 ,所以实数a 的最小值为1
5.
