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解密14 基本初等函数、函数的
用
应
A 组 考点专练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x－
，则在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】f(0)＝1>0，f ＝
－
>0，f ＝
－
<0，f f <0，
所以函数f(x)在区间内必有零点，故选B.
2.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a
【答案】B
【解析】由对数函数的单调性可得a＝log20.2<log21＝0，
由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故选B.
3.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0
B.－2，0
C.
D.0
【答案】D
【解析】当x≤1 时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1 时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
4.【2018 新课标Ⅲ卷】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A.a＋b<ab<0
B.ab<a＋b<0
C.a＋b<0<ab
D.ab<0<a＋b
【答案】B
【解析】由a＝log0.20.3 得＝log0.30.2，由b＝log20.3 得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以
0<＋<1，得0<<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab<a＋b<0.
5．某企业为节能减排，用9 万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2 万元，从第二年起，每年
运营费用均比上一年增加3 万元，该设备每年生产的收入均为21 万元，设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈
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利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n 等于( )
A．6 B．7
C．8 D．7 或8
【答案】B
【解析】盈利总额为21n－9－＝－n2＋n－9，
由于对称轴为n＝，所以当n＝7 时，取最大值，故选B.
6.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝cosx，则函数y＝f(x)
－|x|的零点个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】A
【解析】由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2.令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.
作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.
由图象知，函数y＝f(x)－|x|有两个零点.
二、填空题
7.已知λ∈R，函数f(x)＝若函数f(x)恰有2 个零点，则λ 的取值范围是________.
【答案】(1，3]∪(4，＋∞)
【解析】令f(x)＝0，当x≥λ 时，x＝4.当x<λ 时，x2－4x＋3＝0，则x＝1 或x＝3.若函数f(x)恰有2 个零点，
结合图1 与图2 知，1<λ≤3 或λ>4.
8.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝______，b＝________.
【答案】
4 2
【解析】设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b2，因此ab＝(b2)b＝b2b＝ba，∴a＝2b，b2＝
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2b，又b＞1，解得b＝2，a＝4.
9.已知a，b，c 为正实数，且ln a＝a－1，bln b＝1，cec＝1，则a，b，c 的大小关系是________.
【答案】c＜a＜b
【解析】ln a＝a－1，ln b＝，ec＝.
依次作出y＝ex，y＝ln x，y＝x－1，y＝这四个函数的图象，如下图所示.
由图象可知0＜c＜1，a＝1，b＞1，∴c＜a＜b.
三、解答题
10.已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－
loga(x＋2)有3 个零点，求实数a 的取值范围.
【解析】∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝，∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，
又x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
∴x∈[0，1]时，f(x)＝f(－x)＝x2，从而f(x)＝x2，x∈[－1，1].
在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3 个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间
[－1，3]内有3 个交点.
当0<a<1 时，函数图象无交点，数形结合可得a>1 且解得3<a<5.故实数a 的取值范围为(3，5).
B 组 专题综合练
11.已知函数f(x)＝其中e 为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3 的零点个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.3
【答案】A
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【解析】当x≥0 时，f(x)＝4x3－6x2＋1 的导数为f′(x)＝12x2－12x，
当0＜x＜1 时，f(x)单调递减，x＞1 时，f(x)单调递增，
可得f(x)在x＝1 处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，
作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，
解得t＝3 或，当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；
当t＝3 时，可得f(x)＝3 有一个实根，
综上，g(x)共有四个零点.
12.记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函
数f(x)与g(x)的一个“S 点”.
(1)证明：函数f(x)＝x 与g(x)＝x2＋2x－2 不存在“S 点”；
(2)若函数f(x)＝ax2－1 与g(x)＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.
【解析】(1)函数f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2，
则f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2.
由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得
此方程组无解，
因此，f(x)与g(x)不存在“S 点”.
(2)函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln x，
则f′(x)＝2ax，g′(x)＝.
设x0为f(x)与g(x)的“S 点”，
由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得
即 (*)
得ln x0＝－，即x0＝e－，则a＝＝.
当a＝时，x0＝e－满足方程组(*)，
即x0为f(x)与g(x)的“S 点”.因此，a 的值为.
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