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【文数】高中文科数学必修一知识点总结：集合与函数
第一章 集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
（2）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N*或
表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示
有理数集，R 表示实数集。
（3）集合与元素间的关系
对象a 与集合M 的关系是
，或者
，两者必居其一。
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集
合
③描述法：{x|x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集
②含有无限个元素的集合叫做无限集
③不含有任何元素的集合叫做空集(
)
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有n（n≥1）个元素，则它有
个子集，它有
个真子集，它有
个非空子集，它有
个非空真子集。
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
（2）一元二次不等式的解法
〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
①设A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则
，对于集
合A 中任何一个数x，在集合中都有唯一确定的数
(x)和它对应，那
么这样的对应（包括集合A、B 以及A 到B 的对应法则
）叫做集合A
到B 的一个函数，记作
:A→B。
②函数的三要素：定义域、值域和对应法则。
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①是整式时，定义域是全体实数
②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数
③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，
底数须大于零且不等于1
⑤
中，
⑥零（负）指数幂的底数不能为零
⑦若
是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，
则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
的定义
域为[a，b]，其复合函数
的定义域应由不等式解出a≤g(x)≤b。
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对
字母参数进行分类讨论
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符
合问题的实际意义
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的。事
实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数
的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是
提问的角度不同。
求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值
域或最值。
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，
然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值。
③判别式法：若函数
可以化成一个系数含有y 的关于的二
次方程
，则在a(y)≠0 时，由于x、y 为实数，故必须有
，从而确定函数的值域或最值。
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值。
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角
代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题。
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系
确定函数的值域或最值。
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值。
⑧函数的单调性法。
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
（6）映射的概念
①设A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则
，对于集合A 中
任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对
应（包括集合A，B 以及A 到B 的对应法则
）叫做集合A 到B 的映
射，记作
:A→B。
②给定一个集合A 到集合B 的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a
和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素
b 的原象。
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和
是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数
为减函数。
（3）最大（小）值定义
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
②若函数
为奇函数，且在x=0 处有定义，则
。
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两
侧相对称的区间增减性相反。
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是
偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函
数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
◆利用描点法作图：
①确定函数的定义域；
②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；
④画出函数的图象。
◆利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数
函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．
①平移变换
②伸缩变换
③对称变换
（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化
趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注
意图象与函数解析式中参数的关系。
（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了
“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要
重视数形结合解题的思想方法．
第二章基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
.0 的正分数指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是：
。0 的负分数指数幂没有意义。注意口诀：底数取倒数，指数取相
反数．
（3）分数指数幂的运算性。
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若
，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作
，其中a 叫做底数，N 叫做真数。
②负数和零没有对数。
③对数式与指数式的互化：
（2）几个重要的对数恒等式
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即
；
自然对数：lnN，即
（其中e=2.71828...）。
（4）对数的运算性质
如果
，那么：
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
（6）反函数的概念
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式
中反解出
；
③将
改写成
，并注明反函数的定义域。
（8）反函数的性质
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数。
（2）幂函数的图象
（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无
图象。幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；
是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非
偶函数时，图象只分布在第一象限。
②过定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都通
过点（1,1）。
③单调性：如果a＞0，则幂函数的图象过原点，并且在[0，+∞）
上为增函数。如果a＜0，则幂函数的图象在（0，+∞）上为减函数，
在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴。
④奇偶性：当a 为奇数时，幂函数为奇函数，当a 为偶数时，幂
函数为偶函数。当
（其中q、p 互质，q 和p∈Z），若为奇数为
奇数时，则是奇函数，若p 和q 为奇数为偶数时，
则是偶函数，
若为p 偶数q 为奇数时，则是
非奇非偶函数。
⑤图象特征：幂函数
，当a＞0 时，若0＜x＜1，
其图象在直线y=x 下方，若x＞1，其图象在直线y=x 上方；当a＜1
时，若0＜x＜1，其图象在直线y=x 上方，若x＞1，其图象在直线
y=x 下方。
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式
；
②顶点式
；
③两根式
；
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式。
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关
时，常使用顶点式。
③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根
式求
更方便。
（3）二次函数图象的性质
①二次函数
的图象是一条抛物线，对称轴方程为
顶点坐标是
。
③二次函数
当
时，图象与x 轴有两个交点。
（4）一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在
初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于
二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面
结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布。
①k＜x1≤x2→
②x1≤x2＜k→
③x1＜k＜x2af(k)＜0→
④k1＜x1≤x2＜k2→
⑤有且仅有一个根x1 （或x2 ）满足k1 ＜x1 （或x2 ）＜
k2→f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0 或f(k2)=0 这两种情况是否也符合
⑥
此结论可直接由⑤推出。
（5）二次函数
在闭区间[p，q]上的最值
（Ⅰ）当a＞0 时（开口向上）
(Ⅱ)当a＜0 时(开口向下)
知识点较细，若有误欢迎留言指正
