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1
解密13 函数
像及性
图
质
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
函数及其表
示
【2016 新课标2 文10】下列函数中，其定义域和值域分别与函数
的定义域和值域相同的是（ ）
1.以基本初等函数
为载体，考查函数
的定义域、值域、
最值、奇偶性、单
调性和周期性；
2.利用函数的图象
研究函数性质，能
用函数的图象与性
质解决简单问题；
3. 函数与方程思
想、数形结合思想
是高考的重要思想
方法.
【2020 北京】函数
的定义域是___________．
【2017 新课标3 文16 理15】设函数
，则满足
的
的取值范围是_________．
函数的图象
及应用
【2019 全国Ⅰ】函数
在
的图像大致为(
)
【2019 新课标3 理7】
在
的图像大致为( )
【2018 新课标3 文7】下列函数中，其图象与函数
的图象
关于直线
对称的是( )
【2020 北京】已知
，则
的解集是( )
函数的性质
与应用
【2020 新课标2 理9】设
，则
（
）
【2020 新高考全国8】若定义在
的奇函数
在
单调递
减，且
，则满足
的
的取值范围是（ ）
【2017 新课标1 理5】函数
f
x 在
,
单调递减，且为奇函
数．若
1
1
f
，则满足
2
1
1
x
f
剟
的x 的取值范围是( )
【2018 新课标2 文12 理11】已知
是定义域为
的奇
函数，满足
，若
，则
( )．
【2020 新课标1 理12】若
，则（ ）
【2020 新课标2 文11 理12】若
，则（ ）
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2
核心考点一 函数及其表示
1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.
(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x 的范围相同求解.
2.对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.
1．【2016 新课标2 文10】下列函数中，其定义域和值域分别与函数
的定义域和值域相同的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】
，定义域与值域均为
，只有D 满足，故选D．
2．【2020 北京】函数
的定义域是___________．
【解析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果．由题意得
，
．故答案为
3．【2017 新课标3 文16 理15】设函数
，则满足
的
的取值范
围是_________．
【解析】①
时，
，得
，所以
；
②
时，
恒成立，所以
；
③
时，
恒成立，所以
．
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3
综上所述，
的取值范围是
．
1.函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，则解得＜x≤.
∴f(x)的定义域为.故选B.
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函
数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.
已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A.
B.{－1，0，1}
C.{－1，0，1，2}
D.{0，1，2}
【解析】令t＝2x，t∈(1，4)，则f(t)＝t2－3t＋4，t∈(1，4).由二次函数性质，－≤f(t)＜，因此[f(t)]∈{－
1，0，1}.则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.故选B.
3.已知函数f(x)＝若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5 的解集为( )
A.[－2，1]
B.[－3，3]
C.[－2，2]
D.[－2，3]
【解析】∵f(x)＝f(－1)＝3，
∴f(－1)＝a－1＋1＝3，则a＝，故f(x)＝
由f(x)≤5，∴当x＞0 时，2x－1≤5，解得0＜x≤3，
当x≤0 时，＋1≤5，－2≤x≤0.
综上，不等式f(x)≤5 的解集为[－2，3].故选D.
核心考点二 函数的图象及应用
函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，
其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性：
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①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
1．【2019 全国Ⅰ文理】函数
在
的图像大致为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】由
，得
是奇函数，其图象关于原点对称．
又
，
，可知应为D 选项中的图象．故选D．
2．【2018 新课标3 文7】下列函数中，其图象与函数
的图象关于直线
对称的是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】解法一：设所求函数图象上任一点的坐标为
，则其关于直线
的对称点的坐标为
，由对称性知点
在函数
的图象上，所以
，故选B．
解法二：由题意知，对称轴上的点
即在函数
的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的
函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B．
3．【2020 北京】已知函数
，则不等式
的解集是( )
A．
B．
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C．
D．
【解析】因为
，所以
等价于
，在同一直角坐标系中作出
和
的图象如图：两函数图象的交点坐标为
，不等式
的解为
或
．所以不
等式
的解集为
．故选D．
1．【2019 新课标3 理7】函数
在
的图像大致为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】设
，则
，所以
是奇函数，图象
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关于原点成中心对称，排除选项C．又
排除选项D；
，排除选项
A，故选B．
2.设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，1]
B.[1，4]
C.[4，＋∞)
D.(－∞，1]∪[4，＋∞)
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4 或a＋
1≤2.因此a≥4 或a≤1.
3．【2016 新课标2 理12】已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点为
，则
( )
（A）0 （B）
（C）
（D）
【解析】由于
，不妨设
，与函数
的交点为
，
故
，故选C．
核心考点三 函数的性质及应用
函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变
形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).
②若f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则f(0)＝0.
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③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单
调性.
(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a 的周
期函数.
②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a 对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.
③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a 对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.
④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.
易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”
或“，”连接.
1．【2020 新课标2 理9】设函数
，则
（ ）
A．是偶函数，且在
单调递增
B．是奇函数，且在
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
【解析】
的定义域为
，关于坐标原点对称，
又
，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
上单调递增，排除B；
当
时，
，
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在
上单调递减，
在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知
在
上单调递减，D 正确．故选D．
2．【2020 新高考全国8】若定义在
的奇函数
在
单调递减，且
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上也是单调递减，且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
，
解得
或
，所以
的取值范围是
，故选D．
3．【2020 新课标1 理12】若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】设
，则
为增函数，因为
，
所以
，
所以
，所以
．
，
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当
时，
，此时
，有
，排除C，
当
时，
，此时
，有
，排除D．故选B．
4.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x＜0 时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝( )
A.
B.
C.－
D.－
【解析】依题知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.
又2＜log25＜3，则－1＜2－log25＜0，所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)＝－f(2－log25)
＝－(22－log25－1)＝－＝.故选B
1．【2017 新课标1 理5】函数
f
x 在
,
单调递减，且为奇函数．若
1
1
f
，则满足
2
1
1
x
f
剟
的x 的取值范围是( )
A．[ 2,2]
B． [ 1,1]
C． [0,4]
D． [1,3]
【解析】因为
f x 为奇函数，所以
1
1
1
f
f
，于是
1
2
1
f x
剟
等价于
1
2
1
f
f x
f
剟
，
又
f x 在
，
单调递减，所以1
2 1
x
剟
，所以
3
x
1剟
．故选D．
2．【2018 新课标2 文12 理11】已知
是定义域为
的奇函数，满足
，若
，则
( )．
A．
B．0
C．2
D．50
【解析】解法一 ∵
是定义域为
的奇函数，
．
且
．∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
是周期函数，且一个周期为4，∴
，
，
，
∴
，
故选C．
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解法二 由题意可设
，作出
的部分图象如图所示．
x
y
4
3
2
1
-2
2
O
由图可知，
的一个周期为4，所以
，
所以
，故选C．
3．【2020 新课标2 文11 理12】若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】方法1（同构函数）：由
得
，令
，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
，
，
，
，则A 正确，B 错误；
与的大小不确定，故CD 无法确定．故选A．
方法2（特值排除法）：取
，
，满足
，但
，故排除B，
，故排除C，D，终上所述，选A。
4.【多选题】已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，
f(x)＝log2(x＋1)，下列命题正确的是( )
A.f(2 019)＋f(－2 020)＝0
B.函数f(x)在定义域上是周期为2 的函数
C.直线y＝x 与函数f(x)的图象有2 个交点
D.函数f(x)的值域为(－1，1)
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【解析】根据题意，当x≥0 时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，又由f(x)为奇函数，
则f(x)的部分图象如图.对于A，当x≥0 时，有f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x).
当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(0)＝log21＝0，f(1)＝－f(0)＝0，
又f(2 019)＝f(1)＝0，f(2 020)＝f(0)＝0，f(x)为奇函数，所以f(－2 020)＝－f(2 020)＝0，故f(2 019)＋f(－2
020)＝0，故A 正确；对于B，由于f＝f＝－f＝－log2，f＝－f＝－log2，∴f≠f，即周期不是2，B 错误；对
于C，如图，直线y＝x 与函数f(x)的图象有1 个交点，其坐标为(0，0)，C 错误；对于D，函数f(x)的值域
为(－1，1)，D 正确.故选AD.
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