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解密14 基本初等函数、函数的
用
应
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
基本初等函
数的图象与
性质
【2019 北京文】下列函数中，在区间
上单调递增的是( )
1.掌握二次函数、
分段函数、幂函
数、指数函数、对
数函数的图象与性
质；
2.以基本初等函数
为依托，考查函数
与方程的关系、函
数零点存在性定
理；
3.能利用函数解决
简单的实际问题.
【2019 新课标1 文理3】已知
，则(
)
【2019 全国Ⅱ理】若
，则( )
【2020 新课标1 文8】设
，则
（ ）
【2019 浙江】在同一直角坐标系中，函数
，
的图象可能是( )
函数的零点
与方程
【2019 新课标3 文5】函数
在
的零点
个数为( )
【2018 新课标3 理15】函数
π
cos 3
6
f x
x
在
0
π
，
的零点个
数为________．
【2018 新课标1 理9】已知函数
．若
存在2 个零点，则
的取值范围是( )
【2019 天津文】已知
，若关于
的方程
恰有两个互异的实数解，则
的取值范围为( )
【2020 新课标3 文理4】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用
于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计
确诊病例数
( 的单位:天)的Logistic 模型
，其
中K 为最大确诊病例数．当
时，标志着已初步遏制疫
情，则
约为（ ）（
）
【2020 新高考全国6】基本再生数
与世代间隔
是新冠肺炎的流
行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代
间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶
段，可以用指数模型
描述累计感染病例数
随时间(单
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函数的实际
应用
位：天)的变化规律，指数增长率
与
，
近似满足
．
有学者基于已有数据估计出
，
．在新冠肺炎疫情初
始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为(
) （
）
【2019 北京文理】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度
来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为
的星的亮度为
．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的
星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
【2019 新课标Ⅱ卷】实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术
问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号
中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2
点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质
量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定
律和万有引力定律，r 满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α 的值很
小，在近似计算中≈3α3，则r 的近似值为( )
【2017 江苏】某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买
吨，运
费为6 万元/次，一年的总存储费用为
万元．要使一年的总运费
与总存储费用之和最小，则
的值是 ．
核心考点一 基本初等函数的图象与性质
1.指数式与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝(注：a，b>0 且a，b≠1，M>0，N>0).
2.指数函数与对数函数的图象和性质
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指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1 两种情况，当a>1
时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1 时，两函数在定义域内都为减函数.
1．【2019 北京文】下列函数中，在区间
上单调递增的是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】易知函数
，
在区间
上单调递减，函数
在区间
上单调
递增．故选A．
2．【2019 新课标1 文理3】已知
，则( )
A．
B．
C．
D．
【解析】
则
．故选B．
3．【2019 浙江】在同一直角坐标系中，函数
，
的图象可能是(
)
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【解析】当
时，函数
的图象过定点
且单调递减，则函数
的图象过定点
且单调递增，函数
的图象过定点
且单调递减，D 选项符合；
当
时，函数
的图象过定点
且单调递增，则函数
的图象过定点
且单调递减，
函数
的图象过定点
且单调递增，各选项均不符合．综上所述，故选D．
1．【2020 新课标1 文8】设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
可得
，所以
，所以有
，故选B．
2．【2019 全国Ⅱ理】若
，则( )
A．
B．
C．
D．
【解析】取
，满足
，但
，则A 错，排除A；由
，知B 错，排除
B；取
，满足
，但
，则D 错，排除D；因为幂函数
是增函数，
，所以
，即
，C 正确．故选C．
3.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
【解析】由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a>1，则y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象
关于y 轴对称.因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
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核心考点二 函数的零点与方程
函数的零点问题
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的
横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：
①直接解方程法；
②利用零点存在性定理；
③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.
1．【2019 新课标3 文5】函数
在
的零点个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】由
，
得
或
，
，
．
在
的零点个数是3，故选B
．
2．【2018 新课标1 理9】已知函数
．若
存在2 个零点，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】函数
存在 2 个零点，即关于
的方程
有2 个不同的实根，即
函数
的图象与直线
有2 个交点，作出直线
与函数
的图象，如图所示，由
图可知，
，解得
，故选C．
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x
y
–1
–2
1
2
3
–1
–2
1
2
3
O
3.(多选题)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若x∈[0，2]，f(x)＝2x－1，则下列结论正
确的是( )
A.当x∈[－2，0]时，f(x)＝2－x－1
B.f(2 019)＝1
C.y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称
D.函数g(x)＝f(x)－log2x 有3 个零点
【解析】已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，则该函数的周期为4.
当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f(x)＝f(－x)＝2－x－1，所以A 正确.
f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，所以B 正确.若y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)＋f(1)＝0，
但是f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(3)＋f(1)≠0，与f(3)＋f(1)＝0 矛盾，所以C 错误.
作出函数y＝f(x)，y＝log2x 的大致图象，如图.
由图可得函数g(x)＝f(x)－log2x 有3 个零点，所以D 正确.故选ABD.
1．【2018 新课标3 理15】函数
π
cos 3
6
f x
x
在
0
π
，
的零点个数为________．
【解析】由
，有
，解得
，由
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得
可取
，∴
在
上有
个零点．
2．【2019 天津文】已知函数
，若关于
的方程
恰有两个互
异的实数解，则
的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】作出函数
的图象，以及直线
，如图，
关于
的方程
恰有两个互异的实数解，即为
和
的图象有
两个交点，平移直线
，考虑直线经过点
和
时，有两个交点，可得
或
，考虑
直线
与
在
时相切，
，由
，解得
（
舍去），
所以
的取值范围是
．故选D．
核心考点三 函数的实际应用
1.应用函数模型解决实际问题的一般程序:
⇒⇒⇒.
2.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，
然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.
3.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.
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1．【2020 新课标3 文理4】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布
数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
( 的单位:天)的Logistic 模型
，其中K 为
最大确诊病例数．当
时，标志着已初步遏制疫情，则
约为（ ）（
）
A．60
B．63
C．66
D．69
【解析】
，所以
，则
，
所以
，解得
．故选C．
2．【2020 新高考全国6】基本再生数
与世代间隔
是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一
个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以
用指数模型
描述累计感染病例数
随时间(单位：天)的变化规律，指数增长率
与
，
近似
满足
．有学者基于已有数据估计出
，
．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感
染病例数增加倍需要的时间约为(
) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天 C．2.5 天
D．3.5 天
【解析】因为
，
，
，所以
，所以
，设在新冠肺
炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间为
天，则
，所以
，所以
，所以
天．故选B．
3．【2019 北京文理】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为
的星的亮度为
．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是
−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
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A．
B．10.1
C．lg10.1
D．
【解析】两颗星的星等与亮度满足
，令
，则
，从而
．故选A．
1．【2017 江苏】某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买
吨，运费为6 万元/次，一年的总存储费用
为
万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
的值是 ．
【答案】30
【解析】总费用为
，当且仅当
，即
时等号成立．
2．【2017 北京文理】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
约为
，而可观测宇宙中普通物质
的原子总数
约为
．则下列各数中与
最接近的是( )（参考数据：
）
A．1033
B．1053
C．1073
D．1093
【解析】设
，两边取对数，
，所以
，即
最接近
．故选D．
3.【2019 新课标Ⅱ卷】2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.
为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平
衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为
r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α 的值很小，因此在近似计算
中≈3α3，则r 的近似值为( )
A.R
B.R
C.R
D.R
【解析】由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)，整理得＝.
又≈3α3，即3α3≈，所以α≈，故r＝αR≈R.故选D
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