1
考点突破练17 导数的简单应用
一、必备知识夯实练
1.(2023 河北衡水二中模拟)曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x+y+2=0 垂直,则a=( )
A.1
4
B.-1
4
C.1
2
D.-1
2
2.(2023 江西鹰潭模拟)函数y= x
2+2
x
+ln x 的单调递增区间为( )
A.(0,2)
B.(0,1)
C.(2,+∞)
D.(1,+∞)
3.(2023 河南郑州模拟)已知函数f(x)=ln(ax)+1
x 的最小值为2,则f(
1
e)的值为( )
A.e-1
B.e
C.2+1
e
D.e+1
4.已知a=ln 2
2 ,b=1
e ,c=2ln3
9
,则a,b,c 的大小关系为( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
5.(多选题)(2022 新高考Ⅰ,10)已知函数f(x)=x3-x+1,则( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x 是曲线y=f(x)的切线
6.(多选题)(2023 新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+b
x + c
x
2(a≠0)既有极大值也有极小值,则( )
A.bc>0
B.ab>0
C.b2+8ac>0
D.ac<0
7.(2023 陕西汉中二模)设函数f(x)=ln x-k(x-1
x ),若函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,则k 的取值范围是
.
8.(2023 湖北武汉模拟)已知函数f(x)=
1+sin x
2cos x +sin x ,x∈[0, π
2],则函数f(x)的最小值为 .
二、关键能力提升练
9.(2021 新高考Ⅰ,7)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.eb<a
B.ea<b
C.0<a<eb
D.0<b<ea
10.(2022 全国甲,理12)已知a=31
32,b=cos1
4 ,c=4sin1
4 ,则( )
A.c>b>a
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
11.(2023 山东烟台二模)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且满足f'(x)+f(x)=e-x,f(0)=0,则不
等式(e2x-1)f(x)<e-1
e 的解集为
( )
A.(-1, 1
e)
B.(
1
e ,e)
C.(-1,1)
D.(-1,e)
12.(2021 新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x 的最小值为 .
13.(2023 全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a 的取值范围是
.
2
14.(2023 浙江金华模拟)若存在直线l 既是曲线y=x2的切线,也是曲线y=aln x 的切线,则实数a 的最大
值为 .
三、核心素养创新练
15.(2023 新疆乌鲁木齐二模)晶胞是构成晶体的最基本的几何单元,是结构化学研究的一个重要方面,
在如图1 所示的体心立方晶胞中,原子A 与B(可视为球体)的中心分别位于正方体的顶点和体心,且原
子B 与8 个原子A 均相切,已知该晶胞的边长(图2 中正方体的棱长)为2√3,则当图1 中所有原子(8 个
A 原子与1 个B 原子)的体积之和最小时,原子A 的半径为 .
图1
图2
3
考点突破练17 导数的简单应用
1.A 解析 由题设知,曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线的斜率k=1
2,又因为y'=2a·e2ax,所以y'|x=0=2a=
1
2,解得a=1
4 .
2.D 解析 函数的定义域为(0,+∞).
y= x
2+2
x
+ln x=x+2
x +ln x,则y'=1- 2
x
2 + 1
x = x
2+ x -2
x
2
=( x +2)( x -1)
x
2
.
令y'>0,解得x>1,所以函数的单调递增区间为(1,+∞).
3.B 解析 显然a≠0,若a<0,则x<0,不合题意,故a>0,则定义域为(0,+∞),
f'(x)=a· 1
ax - 1
x
2 = x -1
x
2 ,令f'(x)=0,解得x=1,
当0<x<1 时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,
当x>1 时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,
故当x=1 时,f(x)min=f(1)=ln a+1=2,解得a=e,
则f(x)=ln(ex)+1
x ,则f(
1
e)=ln(e· 1
e)+e=e.
4.C 解析 因为a=ln 2
2 = ln 4
4 ,b=1
e = ln e
e
,c=ln 9
9 ,所以构造函数f(x)=ln x
x ,所以f'(x)=1- ln x
x
2
,
由f'(x)=1- ln x
x
2
>0,得0<x<e,由f'(x)=1- ln x
x
2
<0,得x>e,所以f(x)=ln x
x 在(e,+∞)上单调递减.因为
a=f(4),b=f(e),c=f(9),9>4>e,所以b>a>c.故选C.
5.AC 解析 由题意得f'(x)=3x2-1,令f'(x)>0,得x>√3
3 或x<-√3
3 ,令f'(x)<0,得-√3
3 <x<√3
3 ,
所以f(x)在(-∞,- √3
3 ),(
√3
3 ,+∞)上单调递增,在(- √3
3 , √3
3 )上单调递减,所以x=±√3
3 是极
值点,故A 正确;
因为f(- √3
3 )=1+2√3
9 >0,f(
√3
3 )=1-2√3
9 >0,f(-2)=-5<0,所以函数f(x)在(-∞,- √3
3 )上有一个零
点,当x≥√3
3 时,f(x)≥f(
√3
3 )>0,
即函数f(x)在(
√3
3 ,+∞)上无零点,
综上所述,函数f(x)有一个零点,故B 错误;
令h(x)=x3-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x),
则h(x)是奇函数,(0,0)是h(x)图象的对称中心,将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图
象,
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故C 正确;
令f'(x)=3x2-1=2,可得x=±1,又f(1)=f(-1)=1,
当切点为(1,1)时,切线方程为y=2x-1,当切点为(-1,1)时,切线方程为y=2x+3,故D 错误.故选AC.
6.BCD 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a
x - b
x
2 - 2c
x
3 = a x
2-bx -2c
x
3
.因为函数f(x)既有极
大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c 在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-
bx-2c=0 有两个不同的正实数根,
4
设为x1,x2,所以{
Δ=b
2+8ac>0,
x1+ x2= b
a >0,
x1 x2=- 2c
a >0,
所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,
所以A 不正确,B,C,D 正确.故选BCD.
7.[
1
2 ,+∞) 解析 ∵f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=1
x -k(1+ 1
x
2),f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f'(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,∴k≥(
x
x
2+1)max
,x>0.
∵
x
x
2+1
=
1
x + 1
x
,x>0,x+1
x ≥2√x· 1
x =2,当且仅当x=1 时取等号.
∴0<
x
x
2+1
≤1
2,∴k≥1
2,即k 的取值范围是[
1
2 ,+∞).
8.1
2 解析 因为f(x)=
1+sin x
2cos x +sin x ,所以f'(x)=
cos x(2cos x +sin x )-(1+sin x )(-2sin x +cos x )
(2cos x +sin x )
2
= 2+2sin x -cos x
(2cos x +sin x )
2 .
记g(x)=2+2sin x-cos x,x∈[0, π
2],
则g'(x)=2cos x+sin x,因为x∈[0, π
2],
所以g'(x)=2cos x+sin x>0,
所以g(x)=2+2sin x-cos x 在[0, π
2]上单调递增,
所以g(x)≥g(0)=2-1=1>0,所以f'(x)>0 在[0, π
2]上恒成立,所以f(x)=
1+sin x
2cos x +sin x 在[0, π
2]上
单调递增,故当x=0 时,函数f(x)有最小值且最小值为f(0)= 1+0
2×1+0 = 1
2.
9.D 解析 设切点(x0,y0),因为y'=ex,所以切线的斜率k=e
x0,则切线方程为y-e
x0=e
x0(x-x0).因为切
线过点(a,b),所以b-e
x0=e
x0(a-x0),即方程e
x0(a-x0+1)-b=0 有两个解.设g(x)=ex(a-x+1)-b,则
g'(x)=ex(a-x),令g'(x)=0,解得x=a,所以g(x)在区间(-∞,a)内单调递增,在区间(a,+∞)内单调递减,且
当x→+∞时,g(x)→-∞,当x→-∞时,g(x)→-b,所以g(a)>0,-b<0,得ea>b>0.故选D.
10.A 解析 因为a=31
32=1- 1
32,构造函数h(x)=1-1
2x2-cos x,x∈[0, π
2],则h'(x)=-x+sin x,令
g(x)=h'(x),则g'(x)=-1+cos x≤0,所以g(x)在[0, π
2]上单调递减,g(x)≤g(0)=0,即h'(x)≤0,则h(x)在
[0, π
2]上单调递减,所以h(
1
4)=a-b<h(0)=0,即a<b.又c
b =
4 sin 1
4
cos 1
4
=
tan 1
4
1
4
,显然当x∈(0, π
2)
时,tan x>x>0,所以c
b>1,即b<c.综上可得c>b>a.故选A.
11.C 解析 由f'(x)+f(x)=e-x,得exf'(x)+exf(x)=1,得[exf(x)]'=1.可设exf(x)=x+m,m 为实数,
5
当x=0 时,由f(0)=0,得m=0,所以f(x)=xe-x,(e2x-1)f(x)<e-1
e 可化为xe-x(e2x-1)<e-1
e ,即xex-xe-x<e-1
e .设
g(x)=xex-xe-x,x∈R,
因为g(-x)=-xe-x+xex=g(x),故g(x)为偶函数,
g'(x)=ex+xex+xe-x-e-x,当x≥0 时,xex+xe-x≥0,ex-e-x≥0,故g'(x)=ex+xex+xe-x-e-x≥0,所以g(x)在区间
[0,+∞)上单调递增.因为g(1)=e-e-1,所以当x≥0 时,g(x)=xex-xe-x<e-1
e 的解集为[0,1).
又因为g(x)为偶函数,故g(x)<e-1
e 的解集为(-1,1).
12.1 解析 f(x)={
2 x -1-2ln x, x> 1
2 ,
1-2 x -2ln x,0< x ≤1
2 .
当x>1
2时,f'(x)=2-2
x = 2( x -1)
x
,令f'(x)=0,则x=1,所以当x∈(
1
2 ,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以函数f(x)在区间(
1
2 ,+∞)内的最小值为f(1)=1;
当0<x≤1
2时,f'(x)=-2-2
x <0,则函数f(x)在区间(0, 1
2]上单调递减,则函数f(x)在区间(0, 1
2]上的
最小值为f(
1
2)=2ln 2=ln 4>1.综上,f(x)min=f(1)=1.
13.[√5-1
2
,1) 解析 由题意得f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a)≥0 在(0,+∞)上恒成立.
∴(1+1
a)x≥-
ln a
ln(1+a)在(0,+∞)上恒成立,
∴-
ln a
ln(1+a)≤1,∴ln(1+a)≥ln1
a,即1+a≥1
a,
∴a2+a-1≥0,∴a≤-1-√5
2
或a≥√5-1
2
.
又a∈(0,1),∴a∈[√5-1
2
,1).
14.2e 解析 由题意知两曲线y=x2与y=aln x(x>0)存在公切线,当a=0 时,两曲线为y=x2与
y=0(x>0),不合题意;
y=x2的导数为y'=2x,y=aln x 的导数为y'=a
x ,
设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2),与曲线y=aln x 相切的切点为(m,aln m),则切线方程为y-
n2=2n(x-n),即y=2nx-n2,切线方程也可写为y-aln m= a
m(x-m),即y= a
mx-a+aln m,故
{
2n= a
m ,
-n
2=-a+a ln m,
即
a
2
4 m
2=a-aln m,即a
4 m
2=1-ln m,即a
4 =m2(1-ln m)有解,令g(x)=x2(1-ln x),x>0,
则g'(x)=2x(1-ln x)+x2(- 1
x)=x(1-2ln x),令g'(x)=0,得x=√e,当0<x<√e时,g'(x)>0,当x>√e时,
g'(x)<0,故g(x)在(0,√e)上单调递增,在(√e,+∞)上单调递减,故g(x)的最大值为g(√e)=e
2,
6
故a
4 ≤e
2,所以a≤2e,即实数a 的最大值为2e.
15.6√2-3
7
解析 因为题图2 的正方体的棱长为2√3,则该正方体的体对角线长为2√3×√3=6,
设A 原子的半径为r,B 原子的半径为R,依题意,2r+2R=6,即R=3-r,0<r<3,于是8 个A 原子与1 个
B 原子的体积之和V=8·4 π
3 r3+4 π
3 R3=4 π
3 [8r3+(3-r)3]=4 π
3 (7r3+9r2-27r+27),令f(r)=7r3+9r2-
27r+27,0<r<3,求导得f'(r)=21r2+18r-27,由f'(r)=0,得r=6√2-3
7
,当0<r<6√2-3
7
时,f'(r)<0,当
6√2-3
7
<r<3 时,f'(r)>0,因此函数f(r)在(0, 6√2-3
7 )上单调递减,在(
6√2-3
7
,3)上单调递增,
即当r=6√2-3
7
时,f(r)取得最小值,所以8 个A 原子与1 个B 原子的体积之和最小时,原子A 的半
径为6√2-3
7
.
