1
课题1 集合与逻辑
忽视描述法中代表元素条件限制
1.已知集合A = {1,2,3,4}，集合B = {y ∈Z|y =−x2 + 6x −5＞0}，则A ∩B 的子集个数为( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】B
【易错提示】
(1)集合的表示中的描述法，需要注意代表元素。
(2)集合运算问题注意问的是交集中元素的个数还是子集的个数。
常用逻辑用语
2.关于x 的不等式ax2 −2x + 1 < 0 的解集为非空集合的一个必要不充分条件是( )
A. a < 1
B. a ≤1
C. 0 < a < 1
D. a < 0
【答案】B
【易错提示】
(1)对二次型不等式的二次项系数进行分类讨论。
(2)对于充分必要条件的理解。
3.若命题p：∀x ≥0，ex + 2x −1 ≥0，则命题p 的否定为( )
A. ∃x0 < 0，ex0 + 2x0 −1 < 0
B. ∀x ≥0，ex + 2x −1 < 0
C. ∃x0 ≥0，ex0 + 2x0 −1 < 0
D. ∃x0 < 0，ex0 + 2x0 −1 ≥0
【答案】C
【易错提示】
（1）命题的否定：换量词，否结论。只否定结论不否定条件。
（2）填空题注意：一般存在量词命题中的变量x 都需要用x0表示。
课题2 函数与导数
函数的性质综合
4.已知奇函数f(x)的定义域为R，且对任意x ∈R, f(2 −x) = f(x)，若当x ∈0,1 时f(x) =
log2(x + 1)，则f(1 +
2) = (
)
A. −
1
2
B.
1
2
C. −1
D. 1
【答案】A
2
【易错提示】
（1）识别函数的对称性的给出形式。
（2）利用函数的对称性和奇偶性转化到x∈［0，1］内求解。
5.已知f x 是定义在R 上的奇函数，且f x + 2 = f −x .当x ∈[0,1]时，f x = 2x −1，则函
数g(x) = (x −2)f(x) −1 在区间[ −3,6]上的所有零点之和为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D
【易错提示】
（1）识别函数的周期性的给出形式并求出周期。
（2）利用函数的周期性转化到x ∈［−3，6］，求出零点。
复合函数单调性
6.若函数f(x) = loga(2x2 + x)(a > 0, a ≠1)在区间(0,
1
2 )内恒有f(x) > 0，则f(x)的单调增区
间为(
)
A. ( −∞, −
1
2 )
B. ( −
1
4 , + ∞)
C. (0, + ∞)
D. ( −∞, −
1
4 )
【答案】A
【易错提示】
（1）大家容易忽视对数的真数位置大于0。
（2）复合函数的“同增异减”的规则——同：函数增减性相同；异：函数增减性相异。
分段函数
7. 已知函数f(x) = (a −1)x +
1
2 , x⩽1
−ax2 + x, x > 1
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A. 0 < a < 1
B.
1
2 ≤a < 1
C.
3
4 ≤a < 1
D. 0 < a ≤
1
2
【答案】C
【易错提示】
（1）分段函数容易忽视断点处的分析。
（2）分段函数单调性：每段各自增，断点处也要增。
则
a −1 < 0
a > 0
−
1
−2a ≤1
a −1 +
1
2 ≥−a + 1
解得
3
4 ≤a < 1
函数的图像识别
3
8.已知函数f(x) = x2 −
ln|x|
x ，则函数y = f(x)的大致图象为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【易错提示】
（1）做题步骤：奇偶性、特殊点（0 附近，无穷，）、单调性看趋势（求导）。
（2）在求导看出单调性之后，一定要注意极限值，是否存在渐近线。
函数的零点与图像转化
9.已知函数f(x) = (x −1)3, x ≥0,
−(x + 1)ex, x < 0,，若函数g(x) = f(x) −a 有3 个零点，则实数a 的取值
范围是(
)
A. (0,
1
e2 )
B. ( −1,
1
e2 )
C. ( −e2, −1)
D. ( −∞, −1)
【答案】A
【易错提示】
（1）零点问题转化成交点问题。
（2）画图像时一定要注意是否存在渐近线，趋向于极限的时候的函数值。
构造函数
10.设函数f(x)是定义在( −∞, 0)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且有3f(x) + xf'(x) > 0，
则不等式(x + 2015)3f(x + 2015) + 27f( −3) > 0 的解集( )
A. ( −2018, −2015) B. ( −∞, −2016)
C. ( −2016, −2015)
D. ( −∞, −2012)
【答案】A
【易错提示】
（1）需要构造函数g(x) = x3f(x)，然后再通过单调性将函数值的关系转化成括号内关系。
4
（2）当没有思路的时候用可以用−3＜x + 2015＜0 进行秒杀。
课题3 三角函数与解三角形
边角互化
11.在ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若(a −c ⋅cos B) ⋅sin B = (b −c ⋅cos A) ⋅
sin A，则ABC 的形状为（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【易错提示】
容易忽视两者互补的情况。两个正弦函数相等的时候，或者角相等，或者相加和为180 度。
三角综合
12.下面选项正确的有( )（不定项选择）
A. 存在实数x，使sin x + cos x =
π
3；
B. 若α, β是锐角ABC 的内角，则sin α > cos β；
C. 函数y = sin
2
3 x −
7π
2 是偶函数；
D. 函数y = sin 2x 的图象向右平移
π
4个单位，得到y = sin
2x +
π
4 的图象．
【答案】ABC
【易错提示】
本题考察正弦函数，余弦函数的性质，诱导公式的运用，函数y = Asin(ωx + φ)的图象与性
质。其中D 选项的平移需要注意，是对x 进行平移，不是对2x 进行平移。
解三角形
13.设函数f(x) = sin (2x +
π
6 ) + sin2x −cos2x．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若角A 满足f(A) = 1，a =
3，ABC 的面积为3
2 ，求b + c 的值。
【答案】
5
（1）单调递增区间为[ −
π
6 + kπ,
π
3 + kπ]，(k ∈Z)．
（2）b + c = 3
【易错提示】
（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利
用整体思想求出函数的单调区间。
（2）利用(1)的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果。
课题4 平面向量
忽视零向量
14.下列叙述错误的是________(填序号)
①若a
→//bഄ，bഄ//c
→，则a
→//c
→；
②若非零向量a
→与bഄ方向相同或相反，则a
→+ bഄ与a
→，bഄ之一的方向相同；
③|a
→| + |bഄ| = |a
→+ bഄ| ⇔a
→与bഄ方向相同；
④向量bഄ与向量a
→共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得bഄ= λa
→；
⑤AB
ഄ+ BA
ഄ= 0；
⑥若λa
→= λbഄ，则a
→= bഄ
【答案】①②③④⑤⑥
【易错提示】
很多同学会少选，原因在于忽视了零向量的特殊性。
弄错向量的夹角
16.在ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且a = 5，b = 8，C = 60°，则BC
ഄ⋅CA
ഄ
的值为______。
【答案】−20
【易错提示】
6
由于向量是一个矢量，有些同学可能会忽视向量的方向性，弄错向量的夹角。
向量运算法则
17.已知aഄ、bഄ都是非零向量，且aഄ+ 3bഄ与7aഄ−5bഄ垂直，aഄ−4bഄ与7aഄ−2bഄ垂直，则aഄ与bഄ的
夹角为______。
【答案】60°
【易错提示】向量的运算和实数的运算不同，并不满足结合律和消去律。
课题5 数列
忽视等比数列求和的公比为1
18.已知等比数列{an}的前n 项的和为Sn，若a3 = 6，S3 = 18，则公比q =________。
【答案】1 或−
1
2
【易错提示】本题考查了等比数列的通项公式和求和，分q = 1 和q ≠1 讨论。
用裂项相消法求和时，前后项消错
19.已知数列an 满足2a1 + 3a2 + 4a3 +⋅⋅⋅+ n + 1 an = 2n
(1)求数列an 的通项公式；
(2)设bn =
an
n+3，求数列bn 的前n 项和Sn
【答案】（1）数列an 的通项公式为an =
2
n+1 n ∈N∗
（2）
5
6 −
2n+5
(n+2)(n+3)
【易错提示】裂项相消时，前后项消错。
解决方案：前项剩谁，对应的后项剩的也是谁。
用数列的函数性质——忽略了数列特殊性
20.已知{an}是递增数列，且an = n2 + kn(n ∈N∗)，则实数k 的取值范围是________。
【答案】k >−3
【易错提示】在解决单调性的时候，误用了二次函数的对称轴与定义域的关系。
解决方案：直接利用an与an+1的关系求解。
7
课题6 立体几何
几何体的概念
21.给出下列命题：
(1)底面是矩形的平行六面体是长方体；
(2)底面是正方形的直平行六面体是正四棱柱；
(3)底面是正方形的直四棱柱是正方体；
(4)所有棱长都相等的直平行六面体是正方体．
以上命题中正确命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【易错提示】
注意区分各种棱柱的定义，抓住底面形状以及底面与侧棱的关系即可。
展开图最短距离问题
22.如图，在长方体ABCD −A1B1C1D1中AA1 = 3，AD = 4，AC1 = 5 2，则一只蚂蚁由点A
沿着表面到达C1的最短行程为(
)
A. 12
B.
74
C. 3 10
D.
80
【答案】B
【易错提示】
（1）容易直接展开之后得出结论，而没有比较多种情况下的大小关系。
（2）最短路线问题往往是需要进行展开，然后转化成平面内点点距。
线面关系
23.如果直线a // b，且a //平面α，那么b 与平面α的位置关系是________。
【答案】b //平面α或b ⊂平面α
8
【易错提示】容易忽略线在平面内的情况
内切球与外接球
24.已知三棱锥P −ABC 的三条侧棱PA，PB，PC 两两垂直，若PA = PB = PC = 2，则该三
棱锥的外接球的体积是___________.三棱锥P −ABC 的内切球的半径是_________。
【答案】4 3π，1 −
3
3
【易错提示】
（1）本题三棱锥外接球问题，考查三棱锥P −ABC 的内切球，考查学生分析转化问题的能
力，空间想象能力，正确求体积是关键．
（2）由三线垂直联想正方体，利用外接球直径为体对角线长，容易得解。
（3）利用三棱锥P −ABC 的内切球的球心，将三棱锥分割成4 个三棱锥，利用等体积，即
可求得结论。
空间位置关系与空间角
25.如图，斜三棱柱ABC −A1B1C1中，△ABC 是边长为2 的正三角形，O 为BC 的中点，A1O ⊥
平面ABC，点M 在AO 上，AM = 2MO，N 为OC1与B1C 的交点，且BB1与平面ABC 所成的
角为
π
4
(1)求证：MN //平面ACC1A1；
(2)求二面角A1 −OC1 −B 的正弦值
【答案】(1)证明：连结AC1，
∵O 为BC 的中点，OC // B1C1，
ON
NC1 =
OC
B1C1 =
1
2
又AM = 2MO，∴
OM
AM =
ON
NC1 =
1
2
9
∴MN // AC1
又MN ⊄平面ACC1A1，AC ⊂平面ACC1A1
所以，MN //平面ACC1A1
(2)二面角A1 −OC1 −B 的正弦值为14
4
【易错提示】
（1）该题主要容易出现错误的地方就是面A1OC1的拓展，在拓展面的时候要注意：过原来
面上的点，找原来面内的平行线，这样得出的面就是原来面的拓展面。
（2）要注意：同一个面与其他面所成的角不一定是同一个角，它们可能是补角的关系。
因为二面角是0 到180 度的，两个面无限延伸的情况下所成的角是两种——四个角，两两
相等，所以要注意问的是两个面所成的哪个角。
课题7 解析几何
两条直线的位置关系
26.已知直线l1：2x + (m + 1)y + 4 = 0 与l2：mx + 3y −6 = 0 平行．则实数m 的值( )
A. 2
B. −3
C. ± 2
D. −3 或2
【答案】A
【易错提示】考察了线线平行的充要条件，同学们很容易忘记线线重合的情况。
直线与圆位置关系
27.若实数x，y 满足方程x2 + y2 −4x + 1 = 0，则
y
x+1的最大值为______。
【答案】2
2
【易错提示】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用。需要大家识别
10
出条件的转化。
圆的弦长问题
28.已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2, −2)，且圆心C 在直线l: x + y + 5 = 0 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若过点D( −1, −1)的直线m 被圆C 截得的弦长为2 21，求直线m 的方程。
【答案】
（1）圆C 的标准方程为(x + 3)2 + (y + 2)2 = 25
（2）直线m 的方程为3x + 4y + 7 = 0 或x =−1
【易错提示】有可能会忽视讨论斜率不存在情况。由弦长的一半，半径，圆心C 到直线m
的距离构成直角三角形求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行讨论，由点到
直线的距离即可求出直线的方程。
椭圆的概念与标准方程
29.“1 < m < 3”是“方程x2
m−1 +
y2
3−m = 1 表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【易错提示】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可。同学
们可能会忽视m −1 ≠3 −m 这个要求。
30.与椭圆x2
4 +
y2
3 = 1 具有相同的离心率且过点2, −
3 的椭圆的标准方程是_______。
【答案】x2
8 +
y2
6 = 1 或3x2
25 +
4y2
25 = 1．
【易错提示】本题考查椭圆的标准方程、以及椭圆的简单性质的应用。涉及焦点在x 轴和y
轴上的讨论，容易忽视，属易错题。
忽视曲线的范围导致错误
11
31.双曲线3x2 −y2 = 75 上一点P 到它的一个焦点距离等于12，那么点P 到它的另一个焦
点的距离等于(
)
A. 2 或22
B. 22
C. 2
D. 7 或17
【答案】B
【易错提示】利用双曲线的概念||PF1| −|PF2|| = 10 即可求得答案。同时需要注意，双曲线
上一点到焦点距离的最小值为c −a = 10 −5 = 5，∴|PF1| = 2 舍去。
课题8 统计
统计
32.下列命题中是真命题的为
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，
这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量线性相关性越强，则相关系数越接近于1；
③在回归直线方程y= 2x + 1.3 中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 一定增加
2 个单位；
④对分类变量X 与Y，它们的随机变量K2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 没有关系”的
把握程度越大．
A. ②
B. ②③
C. ②④
D. ④
【答案】D
【易错提示】线性相关有正相关和负相关；注意预报具有的不确定性。
33.总体由编号为001，002，……，199，200 的200 个个体组成，利用下面的随机数表选
取6 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第3 列数字开始由左到右依次选取数，则选
出来的第4 个个体的编号为( )
12
7816
6572
0802
6314
0702
0802
1108
1598
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A. 263
B. 140
C. 080
D. 081
【答案】D
【易错提示】注意“第几列”的含义，比如本题的第第三列是“0802”并不是“1”。
34.通过对某城市一天内单次租用共享电动车的时间50 分钟到100 分钟的n 人进行统计，
按照租车时间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组做出频率分布直方图，并
作出租用时间的茎叶图(图中仅列出了时间在[50,60)，[90,100]的数据)。
(1)求n 和频率分布直方图中的x, y；
(2)从租用时间在80 分钟以上(含80 分钟)的人数中随机抽取4 人，设随机变量X 表示所抽
取的4 人租用时间在[80,90)内的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望。
【答案】（1）n =
8
0.016×10 = 50，y =
2
50×10 = 0.004，x = 0.030
（2）P(X = 2) =
C5
2C2
2
C7
4 =
2
7，P(X = 3) =
C5
3C2
1
C7
4 =
4
7，P(X = 4) =
C5
4C2
0
C7
4 =
1
7
X
2
3
4
P
2
7
4
7
1
7
故E（X）= 2 ×
2
7 + 3 ×
4
7 + 4 ×
1
7 =
20
7
【易错提示】本题考查了频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望计算公式。
13
课题9 排列组合概率与二项式定理
没区分好互斥事件与独立事件
35.甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3 次，两人投篮互不影响，两人
都恰好命中2 次的概率是______ (结果保留到小数点后面三位)。
【答案】0.169
【易错提示】需要区分好“互斥事件”与“独立事件”。两人都恰好命中是积事件而不是和事件。
放回与不放回的情况混淆
36.三件产品中含有两件正品a，b 和一件次品c，每次任取一件，按以下方式连取两次，分
别求恰有一件次品的概率．①取后不放回；②取后放回。
【答案】①取后不放回，两次抽取时，恰有一件次品的概率为
C2
1⋅C1
1
C3
2 =
2
3；
②取后放回时，恰有一件次品的概率为C2
1 ⋅
2
3 ⋅
1
3 =
4
9
【易错提示】将放回和不放回的情况混淆。取后不放回，两次抽取时，根据等可能事件的概
率公式求得恰有一件次品的概率；取后放回时，利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的
概率计算公式求得恰有一件次品的概率。
识别不出几何概型
37.郭亮家订了早报和牛奶．已知早报在早上7：00～8：00 的任何一个时刻随机地被送到，
牛奶在早上6：30～7：30 的任何一个时刻随机地被送到，则牛奶比早报先被送到的概率是
A.
1
8
B.
3
8
C.
5
8
D.
7
8
【答案】D
【易错提示】没有当成几何概型去做，或者只当成了线段。
二项式定理
38.在x2 +
1
x2 + 2 3 x −2 的展开式中，常数项为__________，各项系数之和为____________。
【答案】−40；−64
【易错提示】①x2 +
1
x2 + 2 3化成二项式②注意二项式定理展开式公式③注意二次项系数的
14
正负问题。
课题10 数系的扩充和复数引入
复数的模长与共轭复数
39.已知复数z 满足(1 + 2i)z = |3 + 4i|，则复数z 的共轭复数为( )。
A. 1 − 2i
B. −1 −2i
C. −1 + 2i
D. 1 + 2i
【答案】D
【易错提示】①把向量的模长当成了绝对值②复数的除法运算③共轭复数的计算。
复数的几何意义和周期
40.设i 为虚数单位，则z =
1−i2021
1+i 4 ，则z 对应的点在第__________象限。
【答案】二
【易错提示】①复数的周期②复数的几何概念。
