1
考点突破练10 概率与统计的综合问题
1.(2023 江苏苏锡常镇二模)某地区的疾控机构为了考察药物A 对某疾病的预防效果,在该地区随机抽
取96 人,调查得到的统计数据如下表所示.
单位:人
药物A
患病
未患病
合计
服用
10
38
48
未服用
22
26
48
合计
32
64
96
(1)依据α=0.01 的独立性检验,能否认为药物A 对预防该疾病有效果?
(2)已知治愈一位服用药物A 的该疾病患者需要2 个疗程,治愈一位未服用药物A 的该疾病患者需要
3 个疗程.从该地区随机抽取1 人,调查其是否服用药物A、是否患该疾病.若未患病,则无需治疗;若患
病,则对其进行治疗并治愈.求所需疗程数的数学期望.
附:χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c )(b+d ) ,其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
6.635
7.879
10.828
2.(2023 江苏七市三模)某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与
健康”评价结果的频率分布直方图,评分在区间[90,100),[70,90),[60,70),[50,60)内,分别对应为
A,B,C,D 四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视,初评获A 等级的学生不参加复评,等级
不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,原获B 等级的学生有1
4 的概率提升为A 等级;原获C
等级的学生有1
5的概率提升为B 等级;原获D 等级的学生有1
6的概率提升为C 等级.用频率估计概率,
每名学生复评结果相互独立.
(1)若初评中甲获得B 等级,乙、丙获得C 等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为ξ,求
ξ 的分布列和数学期望;
(2)从全体高三学生中任选1 人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是C 等级的概率.
2
3.(2023 浙江绍兴二模)2023 年春季以来,各地出台了促进经济发展的各种措施,经济增长呈现稳中有
进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆,一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7 家超市,得到
其广告支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的数据如下.
超市编号i
1
2
3
4
5
6
7
广告支出xi
1
2
4
6
10
13
20
销售额yi
19
32
44
40
52
53
54
(1)已知x 和y 具有线性相关关系,建立y 关于x 的经验回归方程;(系数精确到0.01)
(2)若将超市的销售额y 与广告支出x 的比值称为该超市的广告效率值μ,当μ≥10 时,称该超市的广告
为“好广告”.从这7 家超市中随机抽取4 家超市,记这4 家超市中“好广告”的超市数为X,求X 的
分布列与期望.
附:∑
i=1
7
xiyi=2 788,∑
i=1
7
xi
2=726,∑
i=1
7
yi
2=13 350,经验回归直线y
^
=a
^
+b
^x 中斜率和截距的最小二乘估计分别
为b
^
=
∑
i=1
n
xi yi-n x y
∑
i=1
n
xi
2-n x
2
,a
^
= y -b
^
x.
4.为了引导青少年抵制不良游戏,适度参与益脑游戏,某游戏公司开发了一款益脑游戏,在内测时收集
了玩家每一关的平均过关时间,如下表:
关卡x
1
2
3
4
5
6
平均过关时间y/秒50
78
124
121
137
352
计算得到一些统计量的值为∑
i=1
6
ui=28.5,∑
i=1
6
xiui=106.05,其中,u=ln y.
(1)若用模型y=aebx拟合y 与x 的关系,根据提供的数据,求出y 与x 的经验回归方程.
(2)制定游戏规则如下:玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2 分并进入下一关,否则获得-1
分且该轮游戏结束.甲通过练习,前3 关都能在平均时间内过关,后面3 关能在平均时间内通过的概率
均为4
5 ,若甲玩一轮此款益脑游戏,求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望.
参考公式:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线y
^
=b
^x+a
^的斜率和截距的最小二乘估计
分别为b
^
=
∑
i=1
n
xi yi-n x y
∑
i=1
n
xi
2-n x
2
,a
^
= y -b
^
x.
3
5.某商场为了回馈广大顾客,设计了一个抽奖活动,在抽奖箱中放10 个除颜色外完全相同的小球,其中
5 个为红色,5 个为白色.抽奖方式为:每名顾客进行两次抽奖,每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小
球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖,两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,求中奖次数X 的分布列和数学期望;
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,求中奖次数Y 的分布列和数学期望.
6.(2023 福建泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核,需要进行两轮测试,每轮测试的成绩
在90 分及以上的定为该轮测试通过,只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试,两轮测试的过
程相互独立,并规定:
①两轮测试均通过的定为一级工程师;
②仅通过第一轮测试,而第二轮测试没通过的定为二级工程师;
③第一轮测试没通过的不予定级.
现有某公司的甲、乙、丙三位工程师参加等级考核,已知他们通过第一轮测试的概率分别为1
3 , 2
3 , 2
3,
通过第二轮测试的概率均为1
2.
(1)求经过本次考核,甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率.
(2)公司为鼓励工程师参加等级考核设置两套奖励方案.
方案一:定为一级工程师的奖励2 000 元,定为二级工程师的奖励1 500 元,未定级的给予鼓励奖500 元.
方案二:定为一级或二级工程师的均奖励2 000 元,未定级的不予奖励.
采用哪套方案,公司的奖励支出会更少?
4
考点突破练10 概率与统计的综合问题
1.解 (1)零假设为H0:药物A 对预防该疾病没有效果.
由题意可得χ2=96×(10×26-38×22)
2
48×48×32×64
= 27
4 =6.75>6.635=x0.01,所以依据α=0.01 的独立性检验,
我们推断H0不成立,即认为药物A 对预防该疾病有效果,此推断犯错误的概率不大于0.01.
(2)设所需疗程数为X,则X 的可能取值为0,2,3.
由表格可知,P(X=0)=64
96 = 2
3,P(X=2)=10
96 = 5
48,P(X=3)=22
96 = 11
48,所以随机变量X 的分布列为
X
0
2
3
P
2
3
5
48
11
48
则E(X)=0×2
3+2× 5
48+3×11
48 = 43
48,
所以所需疗程数的数学期望为43
48.
2.解 (1)ξ 的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=1
4 × 4
5 × 4
5 = 4
25,P(ξ=1)=3
4 × 4
5 × 4
5 + 1
4 ×C2
1× 1
5 × 4
5 = 14
25,
P(ξ=2)=3
4 ×C2
1× 1
5 × 4
5 + 1
4 × 1
5 × 1
5 = 1
4 ,P(ξ=3)=3
4 × 1
5 × 1
5 = 3
100,
∴ξ 的分布列如下:
ξ
0
1
2
3
P
4
25
14
25
1
4
3
100
E(ξ)=14
25 + 1
2 + 9
100 = 115
100 = 23
20.
(2)记事件A 为“该学生复评晋级”,事件B 为“该学生初评是C 等级”,
则所求概率为P(B|A)= P( AB)
P( A ) =
0.15× 1
5
0.6× 1
4 +0.15× 1
5 +0.05× 1
6
= 18
113.
3.解 (1)由表中数据可得x = 1+2+ 4+6+10+13+20
7
= 56
7 =8,
y = 19+32+ 44+ 40+52+53+54
7
=42.
又∑
i=1
7
xiyi=2 788,∑
i=1
7
xi
2=726,
∴b
^
=
∑
i=1
7
xi yi-7 x y
∑
i=1
7
xi
2-7 x
2
= 2 788-7×8×42
726-7×8
2
= 436
278 ≈1.57,
a
^
= y -b
^
x=42-436
278 ×8≈29.45.
∴y 关于x 的经验回归方程为y
^ =1.57x+29.45.
(2)由题知,7 家超市中有3 家超市的广告是“好广告”,则X 的可能取值是0,1,2,3,
5
P(X=0)=C4
4
C7
4 = 1
35,P(X=1)=C3
1C4
3
C7
4
= 12
35,
P(X=2)=C3
2C4
2
C7
4
= 18
35,P(X=3)=C3
3C4
1
C7
4
= 4
35.
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
35
12
35
18
35
4
35
期望为E(X)=0× 1
35+1×12
35+2×18
35+3× 4
35 = 60
35 = 12
7 .
4.解 (1)因为y=aebx两边取对数可得ln y=ln(aebx)=ln a+ln ebx,即ln y=ln a+bx,
令u=ln y,所以u=bx+ln a,由u= 1
6 ∑
i=1
6
ui=4.75,
x = 1
6×(1+2+3+4+5+6)=3.5,∑
i=1
n
xi
2=12+22+32+42+52+62=91.
所以b
^
=
∑
i=1
6
xiui-6 x u
∑
i=1
6
xi
2-6 x
2
= 106.05-6×3.5×4.75
91-6×3.5
2
=0.36.
又u=b
^
x + ln a
^,即4.75=0.36×3.5+ln a
^,
所以ln a
^=3.49,所以a
^=e3.49.
所以y 关于x 的经验回归方程为y
^ =e0.36x+3.49.
(2)由题知,甲获得的积分X 的所有可能取值为5,7,9,12,
所以P(X=5)=1
5,P(X=7)=4
5 × 1
5 = 4
25,
P(X=9)=(
4
5)
2
× 1
5 = 16
125,P(X=12)=(
4
5)
3
= 64
125,
所以X 的分布列为
X
5
7
9
12
P
1
5
4
25
16
125
64
125
所以E(X)=5×1
5+7× 4
25+9× 16
125+12× 64
125 = 1 177
125
.
5.解 (1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,则每次中奖的概率为C5
2+C5
2
C10
2
= 4
9 .
因为两次抽奖相互独立,所以中奖次数X 服从二项分布,即X~B(2,4
9 ),X 的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C2
0×(
4
9)
0
×(
5
9)
2
= 25
81,
P(X=1)=C2
1×(
4
9)
1
×(
5
9)
1
= 40
81,
P(X=2)=C2
2×(
4
9)
2
×(
5
9)
0
= 16
81,
6
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
25
81
40
81
16
81
数学期望为E(X)=2×4
9 = 8
9.
(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,中奖次数Y 的所有可能取值为
0,1,2,
则P(Y=0)=C5
1C5
1
C10
2
· C4
1C4
1
C8
2
= 20
63,
P(Y=1)=C5
2+C5
2
C10
2
· C3
1C5
1
C8
2 + C5
1C5
1
C10
2
· C4
2+C4
2
C8
2
= 15
63 + 15
63 = 30
63 = 10
21,
P(Y=2)=C5
2+C5
2
C10
2
· C3
2+C5
2
C8
2
= 13
63,
所以Y 的分布列为
Y
0
1
2
P
20
63
10
21
13
63
数学期望为E(Y)=1×10
21+2×13
63 = 8
9.
6.解 (1)设甲、乙、丙被定为一级工程师的事件分别为A1,A2,A3,
事件C 表示三位工程师中恰有两位被定为一级工程师.
P(A1)=1
3 × 1
2 = 1
6,P(A2)=P(A3)=2
3 × 1
2 = 1
3,
所以P(C)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=5
6 × 1
3 × 1
3 + 1
6 × 2
3 × 1
3 + 1
6 × 1
3 × 2
3 = 1
6.
(2)方案一:设甲、乙、丙获得的奖金分别为X,Y,Z,则X,Y,Z 的取值均可能为2 000,1 500,500.
则P(X=2 000)=P(A1)=1
6,P(X=1 500)=1
3 × 1
2 = 1
6,P(X=500)=1-1
3 = 2
3,
故E(X)=2 000×1
6+1 500×1
6+500×2
3 = 2 750
3
.
P(Y=2 000)=P(Z=2 000)=P(A2)=1
3,
P(Y=1 500)=P(Z=1 500)=2
3 × 1
2 = 1
3,
P(Y=500)=P(Z=500)=1-2
3 = 1
3,
故E(Y)=E(Z)=2 000×1
3+1 500×1
3+500×1
3 = 4 000
3
.E(X)+E(Y)+E(Z)=2 750
3
+2×
4 000
3
= 10 750
3
.
方案二:设甲、乙、丙获得的奖金分别为X',Y',Z',则X',Y',Z'的取值均可能为2 000,0.
7
P(X'=2 000)=1
6 + 1
3 × 1
2 = 1
3,E(X')=2 000×1
3 = 2 000
3
;P(Y'=2 000)=P(Z'=2 000)=1
3 + 2
3 × 1
2 = 2
3
,E(Y')=E(Z')=2 000×2
3 = 4 000
3
.
E(X')+E(Y')+E(Z')=2 000
3
+2×4 000
3
= 10 000
3
.
显然10 750
3
> 10 000
3
,故公司采用方案二奖励支出会更少.
