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绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A.
B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2}
D. {–2，2}
2.（1–i）4=（ ）
A. –4
B. 4
C. –4i
D. 4i
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–
i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–
i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为
（ ）
A. 5
B. 8
C. 10
D. 15
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅
增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配
货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天
完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名
B. 18名
C. 24名
D. 32名
5.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A. a+2b
B. 2a+b
C. a–2b
D. 2a–b
6.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则
=（ ）
n
n
S
a
A. 2n–1
B. 2–21–n
C. 2–2n–1
D. 21–n–1
7.执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为（ ）
2
3
0
x
y
A.
B.
C.
D.
5
5
2 5
5
3 5
5
4 5
5
9.设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
O
x
a
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
,
D E
的面积为8，则
的焦距的最小值为（ ）
ODE
A
C
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
10.设函数
,则
（ ）
3
3
1
( )
f x
x
x
( )
f x
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11.已知△ABC是面积为9 3
4
的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
3
3
2
3
2
12.若
，则（ ）
2
2
3
3
x
y
x
y
A.
B.
C.
D.
ln(
1)
0
y
x
ln(
1)
0
y
x
ln |
| 0
x
y
ln |
| 0
x
y
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若
，则
__________．
2
sin
3
x
cos2x
14.记
为等差数列
的前n项和．若
，则
__________．
n
S
na
1
2
6
2,
2
a
a
a
10
S
15.若x，y满足约束条件
则
的最大值是__________．
1
1
2
1,
x
y
x
y
x
y
，
，
2
z
x
y
16.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①
②
③
④
1
4
p
p
1
2
p
p
2
3
p
p
3
4
p
p
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
2
5
cos (
)
cos
2
4
A
A
（1）求A；
（2）若
，证明：△ABC是直角三角形．
3
3
b
c
a
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的
数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得
到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野
生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
20
1
60
i
ix
20
1
1200
i
iy
20
2
1
)
80
i
i
x
x
（
20
2
1
)
9000
i
iy
y
（
.
20
1
)
)
800
i
i
ix
y
x
y
（（
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=
，
=1.414.
1
2
2
1
1
)
)
)
)
n
i
i
i
i
i
n
n
i
i
x
y
x
x
y
y
y
x
（（
（（
2
19.已知椭圆C1：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B
两点，交C2于C，D两点，且|CD|=
|AB|．
4
3
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
20.如图，已知三棱柱ABC–
A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和
P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=
，求四棱锥B–
π
3
EB1C1F的体积．
21.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=
的单调性．
( )
( )
f x
f a
x
a
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所
选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答
按所答第一题评分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：
（θ为参数），C2：
（t为参数）.
2
2
4cos
4sin
x
y
，
1,
1
x
t
t
y
t
t
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过
极点和P的圆的极坐标方程.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数
.
2
( )
|
2
1|
f x
x
a
x
a
（1）当
时，求不等式
的解集；
2
a
( ) 4
f x …
（2）若
，求a的取值范围.
( ) 4
f x …
