文档文本内容
解三角形
知识体系：
章节概述：
解三角形指的是，在三角形中已知某些边和角的值，求出三角形的全部三条边和
三个角的值。解三角形最重要的定理是正弦定理和余弦定理，这两个定理同学们
一定要熟练掌握。同时，解三角形属于三角函数在实际模型中的应用范畴，因此
也需要用到三角诱导公式、三角恒等变换等知识。解三角形一般出现在大题第一
题的位置，也会结合向量在填空题中出现，属于基础题，是学生在高考时必须拿
分的题型。近年来，随着新高考的改革，解三角形的题目出现了两种新的变化，
一是理论结合实际模型，在解三角形的题目中增加了对俯角、仰角、方向角的考
察，二是在自主选择条件加入题目后再解题，这两种改革趋势同学们都需要注意。
知识清单：
解三角形
一、正弦定理
1.公式证明
在
中三个内角
，
，
所对的边分别记为
，
，。
注：为了方便描述，本章中，我们始终用
，，来表示
中三个内角
，
，
所对的边，以下不再赘述。
图1
图2
如图1，过点
向
作垂线，垂足为
，记
为
边上的高
。在
中，
，在
中，
，所以
得
特别地，当
是钝角三角形时，也能得到同样的结论，见图2。
以此类推，过点
向
作垂线，过点
向
作垂线，得
再设圆
是
的外接圆，半径为
，连接
并延长，与圆
交于点
，连
接
，
图3
在
中，由已知结论，有
，
因为同弧对应的圆心角相等，所以
，所以
。
类似地，可以得到在
中，
(其中
为三角形外接
圆半径)，这就是正弦定理。
2.公式变形
(1)边化角：
，
，
(2)角化边：
，
，
(3)连比：
和比：
二、余弦定理
1.公式证明
图4
在
中，由向量减法的三角形法则，得到
，所以
类似得，可以得到
2.公式变形
三、综合应用
1.面积公式
(1)正弦面积公式
图5
如图，在
中，设边
上的高
为
，则
，所以
。
类似地，可以得到
，这就是正弦面积公式。
推论：
(
是
外接圆半径)
(2)海伦-秦九韶公式
设
，我们称
为半周长，则
。
(3)中线面积公式
已知
的三条中线长分别为
，
，，则
2.判断三角形形状
(1)大角对大边
图6
在
中，当
时，由正弦定理
，知
。所以
，又
，且
，所以
。
根据正弦函数
在
上的图像，若
且
，则
不成立，出现矛盾。因此，一定有
。综上，
，这就是大角对大边。
注：在三角函数中，
不成立。
(2)余弦定理判断三角形的形状
若已知
的三条边长
，，，且
，由“大角对大边”，知
，
所以：
若
，则
是锐角三角形；
若
，则
是直角三角形；
若
，则
是钝角三角形。
3.判断用哪个定理
在
中，若已知：
(1)一边和两角（如
，
，
）
一般用正弦定理，由内角和公式
，求角
，再由正弦定理求出
，。
(2)两边和夹角（如
，
，
）
一般用余弦定理，求出第三边，由正弦定理求出小边所对的角，再由
求出另一角。
(3)三边（如
，
，）
一般用余弦定理，求出三个角
，
，
。
(4)两边和一个邻角（如
，
，
）
可用正弦定理，但是要注意解的个数的讨论；也可以用余弦定理，先求出，再
求出其余两角
，
。
4.解的个数讨论
在
中，若已知
，
，
，求
：
若
为锐角
图像
关系
式
解的
个数
无解
一个解
两个解
一个解
若
为直角或钝角
图像
关系
式
解的
个数
一个解
无解
5.内角和公式及其推论
内角和公式：在
中，
，因此：
(1)
，所以
，
类似地，有
，
，
，
(2)
，因此
，
，
类似地，有
，
，
，
。
(3)若
，则
或
，即
。
6.补充公式
(1)射影定理：
(2) 在任意非直角的
中，
7.实际应用
俯角：朝下看时，视线与水平线之间的夹角。
图7
仰角：朝上看时，视线与水平线之间的夹角。
图8
方向角：
图9
一般指以观测者为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所
成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）
度，
.
方程与不等式
知识体系：
章节概述：
方程与不等式知识点是高中代数计算的基础，解方程和解不等式的技巧贯穿了整
个高中的代数计算，在函数、圆锥曲线和导数问题中都会进行考察。恒等变形和
因式分解是解方程最重要的两个技巧。解方程问题与函数的零点问题、函数图像
的交点问题可以互相转化。一元二次不等式问题常与集合结合，放在选择题第一
题进行考察，属于基础题。基本不等式常用于求最值问题中，在使用时一定要注
意“一正二定三相等”。不等式问题的题型多变、考察灵活，在解决不等式问题
时，一定要注意分类讨论、数形结合和转化等数学思想和技巧的使用。在新高考
改革中，简单线性规划的考点已被删去，不再进行考察，但结合实际问题建立包
含不等式的数学模型的问题出现在了高考卷中，这也符合新高考数学改革一贯提
倡的“理论结合实际”的思想，是值得同学们注意的一个趋势。
知识清单：
方程与不等式
一、方程的解集
1.等式的性质
(1)等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍成立。即如果
，
则对任意，都有
（或
）；
(2)等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。
即如果
，则对任意不为零的，都有
（或
）。
2.恒等式与因式分解
(1)恒等式
对含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式。
恒等式是代数式变形的依据之一，我们常利用恒等式来进行因式分解。
(2)因式分解
a.常见的因式分解公式
完全平方公式：
平方差公式：
完全立方公式：
立方和公式：
b.十字相乘法分解因式
对形如
的式子，如果存在
，，，
满足
，
，
，那么这个式子可以分解为
.
一般我们把这种分解表示为
这就叫十字相乘法分解因式。
3.一次方程与二次方程的解集
方程的解（或根）指的是能使方程左右两边相等的未知数的值。一般地，把一个
方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。
(1)一次方程的解集
方程
的解集为：
系数
解的个数
个
个
无数个
解集
(2)二次方程的解集
方程
的解集为：
当
时（等价于一次方程
）
系数
解的个数
个
个
无数个
解集
当
时
判别式
解的个数
个
个（看作方程有
个相同的解）
个
解集
4.一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程
的解集不是空集时，方程的两个根可以记
为
，
，
计算得
，
。
所以得到结论
这一结论通常称为“一元二次方程根与系数的关系”，也称作“韦达定理”。
二、不等式的基本性质
1.利用不等式比较数或式子的大小
要比较两个数或式子
，
的大小，只需比较
与
的大小即可，即
2.不等式的一些基本性质
a.对称性：
b.传递性：
c.可加性：
同向可加性：
异向可减性：
d.可积性：
同向正数可乘性：
异向正数可除性：
e.平方法则：
f.开方法则：
g.倒数法则：
三、不等式的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集。
1.不等式组的解集
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的交集称为不等式组
的解集。
2.绝对值不等式的解集
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值的符号。
不等式
解集
，或
把
看成一个整体，化成
型求解
把
看成一个整体，化成
型求解
化成
求解
化成
求解
若
，化成
求解；
若
，解集为
若
，化成
求解；
若
，解集为
的定义域
3.一元二次不等式的解集
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
（其中
）
无实根
的解集
或
的解集
补充说明：解形如
的含参数的二次不等式时，要注意二次项系数
与
的关系。当
时，不等式退化为一次不等式
；当
时，二次
函数图像开口向上；当
时，二次函数图像开口向下。
4.高次不等式的解集（穿根法/穿针引线）
第一步，寻根：分解因式，让每一个因式中
的系数都为正数，得到形如
的不等式（若不等号为“
”，“
”，“
”
也可同理得解），其中
，
；
第二步，画根：画一条数轴，将
依次标在数轴上；
第三步，串根（奇穿偶弹回）：从
右上方依次往左串根。若
为奇数，则串
根
时穿过数轴（形如
或
），若
为偶数，
则串根
时不穿过数轴（形如
或
）；
第四步，写解集：观察串根后的图像，观察图像在数轴上方时对应的数轴区间（若
不等号为“
”，则观察图像在数轴下方时对应的数轴区间），这些区间的并集
即为此高次不等式的解集。
5.分式不等式的解集
不等式
解集
且
且
补充说明：
(1)解一般型分式不等式，先移项通分，化为标准型分式不等式
(2)解标准型分式不等式，先化商为积，化为整式不等式
6.根式不等式的解集
不等式
解集
或
或
7.指对数不等式的解集
不等式
解集
化成
求解
化成
求解
化成
求解
化成
求解
四、基本不等式
1.基本不等式的证明
对
，
恒成立，即
恒成立。当
时，使
，
，
，
，则上式可写成
。即
，
，
恒成立，这就是“基本不等式”。由推理过程可知，
当且仅当
时，上式可以取到等号。
推论：对任意正数
、
，
称为
、
的算术平均值，
称为
、
的几
何平均值，因此基本不等式也可以表示为“任意两个正数的算术平均值不会小于
它们的几何平均值”。
2.利用基本不等式求最值
可变形为
，因此：
当
为定值时，
，即
的最大值为
，当且仅
当
时取到等号；
当
为定值时，
，即
的最小值为
，当且仅当
时取到等号。
利用基本不等式求最值的口诀可以记为“一正二定三相等”：
“一正”，指的是
是基本不等式
成立的充分条件；
“二定”，指的是当两个正数的和为定值，即
为定值时，它们的积有最
大值，即
；当两个正数的积为定值，即
为定值时，它们的和有最
小值，即
。也称作“和定积最大，积定和最小”；
“三相等”，指的是当且仅当求积或求和的两项相等时，基本不等式取到等号。
即若
为定值，当且仅当
时，
取到最大值
；若
为定
值，当且仅当
时，
取到最小值
。
注：连续使用基本不等式时，取等的条件非常严格，必须满足每次取等的条件都
相同且都能取到。
3.基本不等式的变形
a.当
时，
，当且仅当
，即
时取到等号。
推论1（凑项法）：当
，
（其中
为常数）时，若要求形如
的式子的最小值，可将式子转化为
，那么
，当且仅当
，
即
时，取到等号。
推论2：当
时，
，当且仅当
时取到等号。
推论3：当
，
时，
，当且仅当
时取
到等号。
推论4（对勾函数）：形如
的函数被称作“对勾函数”，函数
在
，
上单调递增，在
，
上单调递减，在
处取得一个极大值
，在
处取得一个极小值
。函数图像如下所示：
图1
因此，对形如
的式子，若
的取值范围为
，当
时，利用
基本不等式和对勾函数都可以知道式子的最小值为
，当且仅当
时取
到；当
时，我们可以根据对勾函数的图像和性质知道，式子在
取到
最小值
。
b.当
（
为常数）时，
，当且仅当
，即
时，取到等号。
推论（凑系数法）：当
，
（其中
，为常数）时，若要求形如
的式子的最大值，可将式子转化为
，那么
，当且仅当
，即
时，取到等号。
c.当
，
时，要求形如
（其中
为常数）的式子的最小
值，可将式子转化为
，那么
，当
且仅当
，即
时，取到等号。
推论1（换元法）：要求形如
（其中
为常数）的式子的最小
值，可以设
，则
，整理得一个关于的
一元二次式
，于是上式被转化为
，当
，
时，
，当且仅当
，即
时，取到等号。
推论2：当
时，要求形如
(其中
为常数)的式子最大
值,可将式子转化为
,那么
,
当且仅当
，即
时，取到等号。
d.常数代换法（凑“ ”法）
已知
，
，
，可以用凑“ ”法，求出
的最小值。利用
，
于是
，当且仅当
时取到等号。
推论：已知
，
，要求形如
的式子的
最小值，其中
都是常数。可以利用
，于是
当且仅当
，即
时，取到等号。
推论
：已知
，
，要求形如
的式子的
最小值，其中
都是常数。可以利用
，于是
当且仅当
，即
时，取到等号。
推论：已知
，
，要求形如
的式子
的最小值，其中
都是常数。可以将
转化成
，接
下来的步骤同推论
。
e.转化为二次方程求最值
已知
，
，若
，要求
的最大值。可以利用基本不等式得
到
，设
，则式子可以转化为
，解得
，即
。
已知
，
，若
，要求
的最小值。可以利用基本不等式得到
，设
，则式子可以转化为
，解得
，
即
，
。
五、恒成立和存在性问题
恒成立和存在性问题可以转化为求解集或求最值问题，其中一次和二次不等式还
可以转化为函数图像问题。
1.不等式
恒成立
不等式
的解集是全体实数。
不等式
的解集为全体实数有两种可能情况：第一种，当
时，
此时不等式退化为一次不等式
，当
，
时，不等式的解集为全
体实数；第二种，当
时，此时
是开口向上的二次函数，当
时，图像与
轴没有交点，此时图像恒在
轴上方。
因此不等式
的解集是全体实数的条件是
或
。
推论：不等式
恒成立
不等式
的解集是全体实数。
不等式
的解集是全体实数的条件是
或
。
2.二次不等式在区间上恒成立问题（图像法）
若
，
在区间
上恒成立，则：
图像
条件
补充说明：二次不等式在区间上恒成立问题的解法，本质上是根据二次函数开口
方向、二次函数对称轴与区间的位置关系，分类作图，得到不等式恒成立的条件。
本书中我们只给出了“
在区间
上恒成立”的图像和条件，若题中
的条件修改为“
”、“
”、“
”和“区间
”、
“区间
”、“区间
”，“区间
”等，同学们可以参考上面
的方法，自己作图，得到条件，我们在此不再赘述。
3.一般存在性和恒成立问题与最值问题的转化
a.不等式
恒成立
；
不等式
恒成立
；
不等式
有解
；
不等式
有解
；
b.不等式
恒成立
设
，
；
不等式
恒成立
设
，
；
不等式
有解
设
，
；
不等式
有解
设
，
；
c.
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
补充说明：对于、
、这类含有存在量词与全程量词的不等式问题与求最值
问题的转化，可以应用口诀“大于求最大，小于求最小，存在不变，任意反转”
迅速得到。例如，对于
，
，
成立。如何转化？观察
在不等式
中，大于的一方是
，根据口诀“大于求最大”，我
们要求
的最大值
，再观察条件“
”，根据口诀“存在不变”，
于是我们不做改变，依然求最大值
；小于的一方是
，根据口诀“小
于求最小”，我们要求
的最小值
，再观察条件“
”，根据口
诀“任意反转”，于是我们反过来求
的最大值
。于是
，
，
。
六、其他常用不等式
1.绝对值不等式
(左式当
时取到等号,右式当
时取到等号)
(左式当
时取到等号,右式当
时取到等号)
2.放缩不等式
(1)
，
，则
（糖水浓度问题）
(2)
，
3.均值不等式
，
，则
(当且仅当
时取到等号)。不
等式中的四个式子分别叫做
和
的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平
方平均数。
推论：
时，
（当且仅当
时取到等
号）
统计概率
知识体系：
章节概述：
统计概率是高考大题必考题，计算相对简单，属于同学们一定要拿分的题目。本
章比较重要的知识点有数据特征的计算方法（包括观察茎叶图和频率分布直方图，
获取信息并计算样本的数据特征的方法）、事件的关系及其四则运算（结合集合
尤其是韦恩图进行理解和记忆）、古典概型和几何概型的特征及其计算概率的方
法、线性回归方程的计算与应用。统计概率的知识具有很强的实用性，考察同学
们在实际问题中建立数学模型、应用统计概率知识的能力，是新高考改革中统计
概率类题目最重要的趋势之一。
知识清单：
统计概率
一、随机抽样
1.总体和个体
在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称
为个体。有时我们也把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的
相应指标作为个体。总体中个体的总数叫做总体容量。
根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况
进行估计的调查方法称为抽样调查。从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本
中包含的个体数称为样本量。
2.简单随机抽样
(1)简单随机抽样的定义
简单随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体。
简单随机抽样是其他各种抽样方法的基础。
设一个总体含有
（
为正整数）个个体，从中逐个抽取
（
）个个
体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率
都相等，我们就把这样的抽取方法称为放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，
且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽取方
法就叫做不放回简单随机抽样。
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样。两者相比，不放
回简单随机抽样效率更高且使用更广泛，因此我们一般说的“简单随机抽样”指
的是“不放回简单随机抽样”。
(2)简单随机抽样的特点
①总体的个体数有限；
②样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；
③在不放回简单随机抽样中，抽取的样本不放回，样本内无重复个体；
④每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性。
(3)简单随机抽样的方法
a.抽签法
抽签法的步骤：
第一步，将总体中的所有个体编号，并将号码写在形状、大小相同的号签上；
第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀；
第三步，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取
次；
第四步，找出这
个号码对应的个体，得到一个容量为
的样本。
抽签法简单易行，一般适用于总体中个体数不多的情形。
b.随机数表法
随机数表法的步骤：
第一步，对总体进行编号；
第二步，在随机数表中任意、随机地指定一个开始选取的位置；
第三步，按照一定的规则选取编号，在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选
取了的数字则舍弃。
第四步，按照得到的编号找出相应的个体。
3.分层抽样
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠
的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样
的方法称为分层随机抽样（简称分层抽样）。
分层抽样的步骤为：
第一步，计算样本容量
与总体
的个体数之比
；
第二步，将总体分为互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数，例如，某
层总共包含
个个体，则在这一层中要抽取的个体数为
个；
第三步，用简单随机抽样的方法在各层中抽取相应数量的个体；
第四步，将各层抽取的个体合在一起，得到所取样本。
4.简单随机抽样与分层抽样的对比
抽样方法
共同点
特点
联系
适用情况
简单随机
抽样
都是不放回抽
样。抽样过程中，
每个个体被抽中
的可能性（概率）
相等
从总体中逐个
抽取
总体中的个数
较少时
分层抽样
将总体分层
后，在每层中
逐个抽取
在每层中抽样
时，使用简单随
机抽样的方法
总体由差异明
显的几部分组
成时
二、数据的数字特征
1.最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，一般地，最大值用
表示，最
小值用
表示。
2.平均数
(1)平均数的定义式
给定一组数
，定义它们的求和记为
，则这组数的
平均数为
，简记为
。
推论：如果
的平均数为
，且
，为常数，则
的平均数为
。
(2)定义式的推广
如果
是重复出现的，且
出现了
次，
出现了
次，……，
出
现了
次，且
，那么平均数
其中
叫做
出现的频数，
叫做
出现的频率，如果把
出现的频率记为
，
那么
，即一组数据的平均值等于每个数据与它出现的频
率的乘积之和。
3.中位数、百分位数
(1)中位数
如果一组数有奇数个数，按照从小到大的顺序可以排列为
，则称
为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，按照从小到大的顺序可以排列为
，则称
为这组数的中位数。
(2)百分位数
一组数的第（
）分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有
的数据小于或等于该值，且至少有
的数据大于或等于该值。直观地说，
就是将这组数据从小到大的顺序排列后，处于
位置的数。一般来说，一组数
的第
分位数不止一个。
确定一组
个数据的第
百分位数的步骤：
第一步，按从小到大排列原始数据；
第二步，计算
；
第三步，若不是整数，而大于的最小整数为
，则第
百分位数为第
项数据；
若是整数，则第
百分位数为第项与第
项数据的平均数。
中位数也可以看作是第50 百分位数。
4.众数
一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
5.极差、方差与标准差
(1)极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差。
(2)方差
一组数据设为
，为这组数据的平均数，则
称为这组数据
的方差。将定义式展开，可以得到
,所
以方差也可以写成
.
推论：
如果
的方差为
，且
，
为常数，则
的方差
为
。
(3)标准差
对方差开平方，取它的算术平方根
，称为这组数据的标准差。
6.数据特征对比
表示数据集中趋势的数据特征
表示数据离散程度的数据特征
平均数、众数、中位数
极差、方差、标准差
三、统计图表
1.茎叶图
茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将统计得的数按位数进行比较，将数的大小
基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），
列在主干后面。
一般地，将统计得到的所有数据，以十位数为茎，个位数为叶，所有的茎都竖直
排列，而叶沿水平方向排列，按照从中间往两边从小到大的顺序书写，相同的数
据重复书写，得到这组数据的茎叶图。茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于
看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
2.频率分布直方图
(1)制作频率分布表和频率分布直方图的步骤：
第一步，求极差，极差为一组数据中最大值与最小值的差；
第二步，确定计数区间，在合理范围内自行决定计数区间的组距和组数，一般取
等长组距，且组距尽量取整，而组数=
(
表示不小于
的最小整数);
第三步，统计落在每个区间内的数据的个数（称为区间对应的频数），并求出频
数与数据个数的比值（称为区间对应的频率），作出频率分布表；
第四步，在横轴上均匀标出各组分点，以组距为宽，各组的
为高，分别画
出各组对应的小长方形，这就是频率分布直方图。
(2)频率分布直方图的数据特征
频率分布直方图中的每个小长方形的面积=组距
=频率，所以各小长方形
的面积表示相应各组的频率，所有小长方形面积之和为。由频率分布直方图可
以估计样本的众数、平均数和中位数.我们用图1 的频率分布直方图举例说明.
图1
a.众数
若某个区间对应的小长方形面积最大，那么这个区间包含的样本个数最多，我们
可以用该区间的中点来作为样本众数的估计值。如图1，我们用
区间的
中点
来作为样本众数的估计值。
b.平均数
样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，在频率分布直方图中，每个
区间对应的长方形面积等于样本数据落在该区间的频率，我们可以近似地认为这
是该区间的中点出现的频率，于是计算出样本平均数。
如图1，我们认为
出现的频率为
，
出现的频率为
，
出现的频率为
，
出现的频率为
，估计样本
平均值
。
c.中位数
根据中位数的定义，在样本数据中，有的数据小于或等于中位数，也有的个体数
据大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图
面积应该相等。我们只需找到横轴上这样的一个点
，满足直线
左边的直
方图面积为
，直线右边的直方图面积也为
，那么
就是我们估计的样本中
位数。
如图1，第一个小长方形面积
，第二个小长方形面积
，累计面积
，第三个小长方形面积
，累计面积
，因此中位数落在区间
内，设中位数为
，由
，解得
，因此
估计样本中位数为
。
四、随机事件与概率
1.随机试验、样本空间与事件
(1)随机试验
我们研究的随机试验都具有以下特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定是哪一个。
简称“可重复、可预知结果、不可预知是哪个结果”。
(2)样本空间与事件
我们把随机试验的每一种可能出现的结果都称为样本点，把由所有样本点组成的
集合称为样本空间，样本空间通常用大写希腊字母
表示。随机事件
是
的
一个非空真子集。如果
只包含一个样本点，我们称
为基本事件。如果随机
试验的结果是
中的元素，我们称事件
发生，反之称事件
不发生。
作为
自身的子集，每次试验的结果一定是
中的元素，所以
一定会发生，我们称
为必然事件。空集
不包含任何样本点，每次试验的结果一定不是
中的元素，
我们称
为不可能事件。
一般地，必然事件
、随机事件
和不可能事件
都可简称为事件，因此，每
个事件都是样本空间
的一个子集。
(3)事件的概率
事件
发生的概率通常用
表示。我们将不可能事件
发生的概率规定为
，
将必然事件
发生的概率规定为，即
，
，显然事件
发生的
概率通常用
满足
。
2.事件及其概率的关系和运算
我们可以用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系和运算。
(1)事件的包含与相等
一般地，如果事件
发生时，事件
一定发生，则称“
包含于
”或“
包
含
”，记作
或
，这一关系可以用下图表示。
图2
也可用逻辑用语表示为
，即
发生是
发生的充分条件，
发生
是
发生的必要条件。
显然
发生的可能性不会比
发生的可能性大，即
（可以联合图2
记忆）。
如果事件
发生时，事件
一定发生，且事件
发生时，事件
也一定发生，
则称“
与
相等”，记作
。显然
。
也可用逻辑用语表示为
，即
发生是
发生的充分必要条件。
当
时，
。
(2)事件的并（和）
一般地，事件
与事件
至少有一个发生，这样的事件记作事件
与
的并事
件(或和事件)，记作
(或
)。可以用下图中的灰色区域表示并事件。
图3
显然
且
，因此
.
(3)事件的交（积）
一般地，事件
与事件
同时发生，这样的事件记作事件
与事件
的交事件
(或积事件)，记作
(或
)。可以用下图中的黑色区域表示这个交事件。
图4
显然
，因此
，且
，因此
。
(4)事件的互斥与对立
a.互斥事件
给定事件
，
，若事件
与
不能同时发生，则称
与
互斥，记作
（或
）。事件互斥可以用下图表示。
图5
可以看出，当
与
互斥（即
）时，有
。这称作
互斥事件的概率加法公式。一般地，如果
是两两互斥的事件，则
。
推论1：任意两个基本事件都是互斥的。
推论2：
与任意事件互斥，
与任意事件都不互斥。
b.对立事件
一般地，如果事件
和事件
在任何一次试验中有且仅有一个发生，即
，且
，则称事件
与事件
对立。事件
的对立事件记为
，
可以用下图表示。
图6
显然，事件
与事件
对立，则
与
互斥，反之不成立。即“
与
相互对
立”是“
与
互斥”的充分不必要条件。若
是
的对立事件，则
。
(5)容斥原理
两个事件的容斥关系公式：
三个事件的容斥关系公式：
(6)随机事件的独立性
a.随机事件相互独立的定义
如果事件
是否发生不会影响事件
发生的概率，事件
是否发生也不会影响
事件
发生的概率，则称事件
与
相互独立。当事件
与
相互独立时，
，反之亦成立。
即定义事件
与
相互独立
。
b.推论
若已知事件
与
相互独立，即
，我们把事件
写成
，因为
，所以
，所以
.
即事件
与
相互独立。
同理可以推出事件
与
相互独立，事件
与
相互独立。
(7)频率与概率
我们把
次随机试验中事件
出现的频率记为
。一般地，随着试验次数
的增大，事件
发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性
质为频率的稳定性。因此，如果在
次重复试验中，事件
发生的频率为
，
当
很大时，可以认为事件
发生的概率
的估计值为
。
频率的这个性质也称作“大数定律”。
(8)事件关系与运算的图表表示
事件
的概率记为
，
事件的关系
含义
符号表示
概率的关系或运算
包含
发生，
一定
发生
并事件
（和事件）
与
至少有一
个发生
交事件
（积事件）
与
同时发生
互斥
与
不能同时
发生
互为对立
与
一定有且
仅有一个发生
且
五、概率模型
1.古典概型
(1)古典概型的定义
一般地，如果随机试验具有如下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
我们就称这样的随机试验为古典概型试验，其数学模型称为古典概型。
(2)概率计算公式
假设样本空间包含
个样本点，由古典概型的定义可知，每个样本点发生的可能
性大小都相等。基本事件是只包含一个样本点的事件，由互斥事件的概率加法公
式可知，每个基本事件发生的概率均为
。如果一个事件
包含有
个样本点，
由互斥的概率加法公式可得
。
(3)计算事件概率的步骤
第一步，列举出古典概型的所有样本点，计数为
；
第二步，找出其中属于事件
的样本点，计数为
；
第三步，计算事件
发生的概率
。
2.几何概型
(1)几何概型的定义
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域（线段、
平面图形、立体图形等）内随机地取一点，区域中每一点被取到的机会都一样。
一个随机事件的发生等价于恰好取到上述区域内某个指定区域中的一点.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、或体积）成比例，
这样的概率模型称为几何概型。几何概型的特点为：
①基本事件有无限多个；
②基本事件发生是等可能的。
(2)概率计算公式
一般地，在几何区域
内随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域
内”
为事件
，则事件
发生的概率为
。
注：①
的测度不为
，当
分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的测度
分别为长度、面积、体积；
②区域应指“开区域”，不包含边界点；
③在区域
内随机取点是指：该点落在
内任何一处都是等可能的，落在任何
部分的可能性只与该部分的测度成正比，与该部分的形状位置无关。
(3)计算事件概率的步骤
第一步，计算区域
的测度
；
第二步，确定事件
对应的区域
，计算
的测度
；
第三步，计算事件
发生的概率
。
3.古典概型与几何概型的对比
概率模型
相同点
不同点
古典概型
基本事件的发生
都是等可能的
试验的结果只有有限个。事件
发生的概率
几何概型
试验的结果有无限个。事件
发生的概率
六、线性回归方程
1.回归方程的定义
如果观察散点图，发现各点大致分布在一条直线附近，我们就称两个变量之间具
有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，求出的回归直线方程简称为回归方程。
2.最小二乘法求回归方程
设与
个观测点
最接近的直线方程为
，其中
、是
待定系数，则
，于是得到各个偏差
。记各个偏差的平方和为
，
表示
个点与
相应直线在整体上的接近程度，于是
，式子展开后是一个关
于
、
的二次多项式，用配方法可以得到使
为最小值时
、
的值
，其中
，
。
注：①回归直线方程一定过点
；
②对回归方程只要求会运用它进行具体运算，求出直线方程即可，不要求掌握回
归方程的推导过程；
③求回归直线方程前，应注意到只有在散点图大致呈线性时的回归方程才有实际
意义，因此在对数据作线性回归分析前应先看散点图是否呈线性；
④求回归方程，关键在于正确求出系数，计算量较大，计算时应仔细、分层进行，
避免算错；
⑤线性回归在现实生活与生产中有广泛的应用，在遇到相应实际问题时要学会构
建模型，做线性回归。
数列
知识体系：
章节概述：
在高考中的填空选择题都有等差等比数列性质考查,而解答题部分常对数列的通
项求和进行考查。该类题目更多考查学生的运算求解能力、等差等比数列基础性
质的应用意识，常考的主要知识点如下：
1.两种基本数列公式：①等差、等比数列判定；②等差、等比数列的通项公式与
递推公式；③等差、等比数列的前
项和
的性质特征。这部分考察常在填空
选择中。
2.通项与前
项和：①常用通项求法：累加法、累乘法、配常数或
转化新数列、
利用
转化为
；②常用前
项和求法：公式法、分组求和法、裂项相消法、
错位相减法。
知识清单：
数列
一、数列的概念
1.数列概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列。
2.数列的项
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第项，第
项，…；
排在第
位的数称为这个数列的第
项。其中数列的第项也叫作首项。
3.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质
①确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
②可重复性：数列中的数可以重复；
③有序性：数列中的数的排列是有次序的。
注：如果组成两个数列的数字相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。
4.数列的一般形式
数列的一般形式可以写成：
，或简记为
，其中
表示数列
的第
项。这里小写字母
可以换成其他小写英文字母，
为正整数。
注：
与
的含义完全不同，
表示一个数列，
表示数列的第
项。
5.数列的递推公式
如果已知数列的首项（或前几项
），且数列的相邻两项或两项以上的关
系都可以用一个公式来表示（即
或
），则称这个公
式为数列的递推公式（也称为递推关系或递归公式）。根据递推公式，可以写出
这个数列的任意一项。
6.数列的通项公式
如果数列
的第
项
与
之间的关系可以用一个公式
来表示，其
中是
关于
的不含其它未知数的表达式，那么这个公式就叫做这个数列的
通项公式。根据通项公式，可以写出数列的任意一项。
7.数列与函数的关系
数列
总可以看成定义域为正整数集的子集的函数
，自变量为
，
为
对应的函数值。因此，数列可以直观地表示为平面直角坐标系中的点。
与函数类似地，数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推
法（用递推公式表示）。
注：①数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上；
②数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式；
③数列的图象是落在
轴右侧的一群孤立的点；
④跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式。
8.数列
的前
项和
(1) 数列
的前
项和的定义
指数列
的前
项逐个相加之和，通常用
表示，即
。
(2)数列通项
与前项和
的关系
显然，当
时，
。
当
时，有
，
，比较两式，所以
。
故
。
9.数列的分类
(1)根据数列的个数分
有穷数列：项数的个数有限（最后一项通常称为末项）
无穷数列：项数的个数无限
(2)根据数列项的大小关系分
递增数列：从第
项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列：从第
项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数数列：各项都相等的数列
摆动数列：以上都不满足的数列
二、等差数列的定义及性质
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
表
示。
符号语言形式：对于数列
,若
(
，
,
为常数)或
(
，
为常数)，则此数列是等差数列，其中常数
叫做等差数
列的公差。
2.等差数列的递推公式
(
，
,
为常数)或
(
，
为常数)。
3.等差数列的通项公式
(1)通项公式的推导
若
是首项为
，公差为
的等差数列，则
.
其中
和
是已知的常数，因此，
的通项公式可以表示为
.
由上述递推过程可知，若已知
是第
项为
，公差为
的等差数列，则
的通项公式也可以表示为
.
(2)通项公式与函数的关系
整理
的通项公式，写成
。如果记
，则可以
看出
，而且：
①当公差
时，
是常数函数，此时
是常数列；
②当公差
时，
是一次函数，而且
的增减性依赖于公差
的符号，
因此，当
时，
是递增数列；当
时，
是递减数列。
反之，如果数列
的通项公式为
，那么
，
，即这个数列从第二项起，每
一项与前一项的差都是常数
，因此数列
是首项为
，公差为
的等差
数列。
即数列
是等差数列
数列
的通项公式为
。
4.等差数列的通项性质
等差数列
中，公差为
，则
(1)若
，且
，则
，特别地，当
时，
（
称为
与
的等差中项）。
注：如果
、
、
是等差数列，那么称
是
与
的等差中项，即
是
与
的
等差中项
。反之，若三个数成等差数列，可以设为
，，
.
(2)下标成公差为
的等差数列的项
组成的新数列仍为等差数列，
公差为
.
(3)若数列
也为等差数列，则
（
为常数）也是等差数列。
(4)
仍是等差数
列，公差为
.
(5)数列
（
为常数）也是等差数列。
4.等差数列的求和公式
(1)求和公式的推导
我们使用倒序相加法来求等差数列的求和公式。
已知
，将上式倒序，写成
，两式相加，得
。
由等差数列的通项性质可知
,
所以
，即
.
因此，等差数列前
项和的公式为
.
由通项公式知，
，所以等差数列前
项和的公式也可以写成
.
(2)求和公式和函数的关系
如果设
，显然
，而且：
①当公差
时，
是一次函数；
②当公差
时，
是没有常数项的二次函数，且开口方向依赖于
，当
时，
开口向上；当
时，
开口向下。
反之，若数列
的求和公式为
，那么
，
，由通项公
式与函数的关系，知
是等差数列。
即数列
是等差数列
数列
的求和公式为
。
(3)求和公式的最值
①当
时，
有最小值。若
，则
；若
，则当
满
足
且
，
。
②当
时，
有最大值。若
，则
；若
，则当
满
足
且
，
。
注：这里我们给出①的证明，②的证明可同理得到：
当
时，
是递增数列，又由和与通项的关系，知
，因此，当
时，
，
，即
，
是递增数列，所以最小值为
；
当
时，若
，由上述过程，同理得最小值为
；若
，则
，即
，最小值为
和
；若
，则当
且
时，
且
，即
且
，结合二次函数图像，
知最小值为
。
5.等差数列的求和性质
等差数列
中，公差为
，则
(1)连续
项的和依然成等差数列，即
,
,
，…成等差数列，且公
差为
.
(2)若项数为
，则
，
，
，
，
.
（即
当且仅当
.）
(3)若项数为
，则
，
，
.
（即
当且仅当
.）
(4)若
，
是等差数列，且前
项和分别为
，
，则
.
注：这里我们给出(2)的证明，(3)的证明同理可得：
,
,
倒序相加，得
,
由等差数列的通项关系，知
,
所以
，即
。
同理
，所以
.
7.判断等差数列的方法
(1)定义法
若
满足
（
为常数，
且
），则
是等差数列。
(2)等差中项法
若从第2 项起，数列
满足它的每一项都是其前一项与后一项的等差中项，
则
是等差数列。
(3)通项公式法
若
，则
是等差数列。
(4)求和公式法
若
，则
是等差数列。
三、等比数列的定义及性质
1.等比数列的定义、通项公式及前
项和公式
(1)一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用
字母
表示
，即：
(2)通项公式
注：等比数列的通项公式具有指数型函数的特点。
(3)前
项和公式
这里我们用错位相减求和法推导等比数列的前项和公式；
设
是等比数列，公比为
。当
时，显然
是常数列，所以
。
当
时，注意到
，可知
,
,
两式对应相减，得
,
所以
.
所以
.
反之，如果数列
的求和公式为
，则
，
，所以
，即
是公比为
的
等比数列。
2.等比数列的性质
(1)若
，则
，特别的
，则
，我们称
是
的等比中项。
注：如果
、
、
是等比数列，那么称
是
与
的等比中项，即
是
与
的
等比中项
。若三个数成等比数列，可以设为
，
，
。
显然，只有同正或同负的两数有等比中项，所以等比数列的奇数项（偶数项）一
定是同号的。
(2)等比数列的单调性与公比
和首项
有关，若等比数列单调递增，则
或
；若等比数列单调递减，则
或
。
(3)下标成等差数列且公差为
的项
,
,
,…组成的新数列仍为等比数列，
公比为
。
(4)若
，
是项数相同的等比数列，则
、
、
、
（
是常数且
）、
(
,
是常数)、
、
也是等比数列。
3.等比数列前
项和的性质
(1)等比数列
的前
和为
，则
仍是等比数列，公比
为
。
(2)相邻
项和的比值与公比
相关：
设
，
则有：
。
4.等差数列与等比数列的图表对比
等差数列
等比数列
递推公式
(
，为常数)，
其中
称作
的公差
，其中
称
作
的公比
通项公式
或
通项公式
与函数的
关系
数列
是等差数列
数列
的通项公式为
等比数列的通项公式具有指数
型函数的特点
通项性质
若
，且
，则
若
，且
，则
求和公式
求和公式
与函数的
关系
数列
是等差数列
数列
的求和公式为
是公比为
的等比数
列
四、其他常见数列的求和
1.差比和数列
若
为等差数列，首项为
，公差为
，
为等比数列，首项为
，公比为
，设
，则数列
的求和公式
。
2.差比积数列
若
为等差数列，首项为
，公差为
，
为等比数列，首项为
，公比为
，设
，则数列
的求和公式可以用错位相减法得到：
,
等式左右两边同时乘以公比
，因为
，所以
,
对应相减，因为
，所以
，
所以
。
3.分式数列
对于非等比数列的分式数列，我们首先观察它的通项公式是否可以裂项，如果可
以，我们就用裂项分组求和法求和。
例如，
，观察
，所以
的求和公式
。
.
立体几何初步
知识体系：
章节概述：
立体几何是高考中非常重要的一类考点，在本章中，我们初步认识了空间几何体，了解了简
单几何体的结构和性质，学会了计算简单几何体和简单组合体的表面积和体积，掌握了如何
判定线、面的平行和垂直关系以及它们的性质。正四面体作为一个特殊几何体也常出现在考
题中，同学们记住它的值往往会起到事半功倍的效果。高考卷中必有一道立体几何的大题，
大题的第一问往往会考点、线、面的位置关系，这部分的判定定理和性质定理同学们一定要
牢记。
知识清单：
立体几何初步
一、基本立体图形
基本立体图形由简单几何体和简单组合体构成，其中简单几何体包括：
①多面体：由若干个平面多边体围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。多面体包括棱柱、
棱锥、棱台等；
②旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体，其中，
这条定直线称为旋转体的轴。旋转体包括圆柱、圆锥、圆台等。
下面详细介绍这些简单几何体的定义、性质和面积体积公式。
1.棱柱
(1)棱柱的定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的几何体叫做棱柱。其中互相平行的两个面称为棱柱的上下底面，其余各面叫做
侧面，侧面的交线叫做侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，上下底面之间的距离
叫做棱柱的高。
图1
注：①不是棱柱中所有互相平行的面都叫做棱柱的底面，只有定义中的“两个互相平行的面”
才是棱柱的底面；
②“多面体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”是“多面体为棱柱”的必要不充
分条件。
(2)棱柱的性质
①侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
②两个底面是全等多边形且互相平行；
③平行于底面的平面与棱柱的截面和底面全等；
④侧面的个数、侧棱的条数与底面多边形的边数都相等，且等于顶点数的一半.
(3)棱柱的分类
按侧面的条数分：四棱柱（四条侧棱）、五棱柱（五条侧棱）……
按侧棱是否垂直于底面分：直棱柱（侧棱垂直于底面）、斜棱柱（侧棱不垂直于底面）
(4)一些常见的特殊棱柱
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
长方体：底面是矩形的直平行六面体；
正四棱柱：底面是正方形的长方体；
正方体：侧棱与底面边长相等的正四棱柱。
注：将特殊的棱柱之间的关系写成集合的形式，即
{正棱柱}
{直棱柱}；
{正方体}
{正四棱柱}
{长方体}
{直平行六面体}
{平行六面体}；
(5)面积与体积公式
对于直棱柱，若
表示底面的周长，则
，
。
若
表示底面的面积，
表示棱柱的高，则
。
2.棱锥
(1)棱锥的定义
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫棱锥。
其中多边形叫做底面，有公共顶点的三角形叫做侧面，公共顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
图2
(2)棱锥的性质
①如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得截面与底面相似，截面面积与底面面积之比
等于顶点到截面的距离与棱锥的高之比；
②如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等；
③如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比等于底面积
之比，也等于它们对应高的平方比；小棱锥与原棱锥的体积之比等于对应高的立方比。
(3)棱锥的分类
按侧棱的条数分：三棱锥（三条侧棱）、四棱锥（四条侧棱）……
(4)体积公式
若
表示底面的面积，
表示棱锥的高，则
，即棱锥的体积是与它同底等高
的棱柱体积的
。
(4)一些特殊棱锥
a.正棱锥
定义：底面是正多边形、且顶点在底面的射影恰在底面中心的棱锥，正棱锥侧面等腰三角形
底边上的高叫做正棱锥的斜高。
性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
表面积与体积：若正棱锥底面周长为
，面积为
，高为
，斜高为
，则
，
。
b.正四面体
定义：由四个全等的正三角形围成的封闭多面体叫做正四面体。正四面体一定是正三棱锥，
但正三棱锥不一定是正四面体。
性质：①正四面体有
个面，
条棱，它的所有棱都相等，所有面都全等；
②正四面体有六个对称面，每一个都可以由一条棱和它对棱的中点构造得到；
③正四面体的对棱都互相垂直；
④正四面体的对棱中点的连线都互相垂直且相等，等于棱长的
倍；
⑤正四面体的内切球和外接球球心是同一点，在顶点与底面中心连线接近底面的四等分点处；
表面积与体积：
设正四面体的棱长为
，则正四面体的高
，
，
.
推论：正四面体的内切球半径
，外接球半径
。
补充说明：正四面体很容易由正方体得到，只需过正方体的一个顶点
引三条面对角线
、
、
，再将
、
、
三点两两相连即可。
3.棱台
(1)定义
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分多面体叫做棱台。原棱锥的底面
和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做侧面，侧面的交线叫侧棱，侧面与底
面的交点叫顶点，上下底面间的距离叫做棱台的高。
图3
(2)性质
棱台各侧棱的延长线交于一点。
注：上、下底面为相似的多边形、其余各面为梯形的多面体不一定是棱台，因为棱台的各侧
棱的延长线必须交于一点。
(3)体积公式
若棱台的上底面面积为
，下底面面积为
，高为
，则
。
4.圆柱
(1)定义
将矩形绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体叫做圆柱。绕其旋转的直线叫做圆柱的轴；
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的面叫做圆柱的侧面；
无论转到什么位置，平行于轴的边叫做圆柱的母线；底面间的距离成为圆柱的高。
图4
(2)性质
①上、下底面及平行于底面的截面都是等圆；
②过轴的截面是全等的矩形。
(3)面积和体积公式
圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形，因此，若圆柱的底面半径为
，圆
柱的高为
，则
，
，
。
5.圆锥
(1)定义
直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体叫做圆锥。绕其旋转的直线叫圆
锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧
面；无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线；顶点到底面的距离叫做圆锥的高。
图5
(2)性质
①平行于底面的截面都是圆；
②轴截面是等腰三角形；
③母线的平方等于底面半径与高的平方和。
(3)面积和体积公式
圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心、以母线长为半径、底面周长为圆弧长的扇形。因此，若
圆锥的底面半径为
，圆锥的高为
，圆锥的母线长为，则
，
，
.即圆锥是与它同底等高的圆柱体积的
。
6.圆台
(1)定义
用一个平行于底面的平面去截圆锥，所得截面与底面之间的几何体叫做圆台。截面和原圆锥
的底面分别叫做圆台的上、下底面，底面之间的距离叫做圆台的高。
图6
注：圆台也可以看成是一个直角梯形绕其直角边所在直线旋转一周形成的几何体。直角边所
在直线为圆台的轴；上、下底旋转而成的圆面叫做圆台的上、下底面；另一腰旋转而成的曲
面叫做圆台的侧面；无论旋转到什么位置，另一腰都叫做圆台母线。
(2)性质
①圆台的上、下底面和平行于底面的截面都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台上、下底面的圆心的连线平行于底面。
(3)面积和体积公式
若圆台的上底面半径为
，下底面半径为
，高为
，圆台的母线长为，则
，
，
。
7.球
(1)定义
将半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的几何体叫做球。半圆的半径和直径叫做球的半径和
直径；半圆的圆心叫做球心；半圆的圆弧旋转形成的曲面叫做球面。
图7
(2)性质
①球的任意截面都是圆面，球心和截面圆心的连线垂直于截面。
②球的任意截面都是圆面，经过球心的平面截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫
小圆；球面上两点最短连线的长度等于经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度。
补充说明：利用经纬度可以求两个地点之间的球面距离：
我们将地球近似地看成一个球，假设南北极点连线所在直线为地球的自转轴，赤道是过球心
且垂直于地轴的平面与地球相交的截面的圆周线，地球的半径为
。
我们定义纬线为地球表面某点随地球自转所形成的轨迹，地面上任何一点与地心的连线与赤
道面的夹角称为该点的纬度，处于北半球的为北纬（用
表示），南半球的称为南纬（用
表示）。维度的范围是
；
我们定义经过地轴的面与地球表面的交线称为经圈，经圈被南北极点分为两个半圆，这些半
圆称为子午线（经线），我们把本初子午线定义为
经线，其他各经线的度定方法是以该经
线和地轴所构成的面与本初子午线和地轴构成的面之间的夹角，称为该经线的经度。由本初
子午线向西各经线称为西经（用
表示），向东的称为东经（用
表示）。经度的范围是
。
例如，假设点
和点
是地球上同经度的两个地点，它们的维
度分别为北纬
和北纬
，对应的弧度制分别为
、
，它们的球面距离为如图所示
的劣弧
，那么
.
图8
(3)面积和体积公式
若球的半径为
，则
，
。
8.简单组合体
多面体和旋转体统称“简单结合体”，由简单几何体组合而成的几何体统称为简单组合体。
简单组合体的构成有两种形式：
①由简单几何体拼接而成；
②由简单几何体截去或挖掉一部分而成。
9.祖暅原理
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于两个平面的任意平面所截，若截得的两个截
面的面积总相等，那么两个几何体的体积相等。
利用这个原理，我们可以求出柱体、椎体、台体和球体的体积，也可以求不规则几何体的体
积，
