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专题33 填空题压轴题综合
（七大考点，55 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 函数与导
数
2026 北京、2025 天津、2024 天
津、2023 北京/全国乙/天津、
2022 天津/全国乙、2021 北京、
2019 江苏/浙江、2018 江苏/天
津、2017 浙江/江苏
1.填空压轴最核心考点，全国各卷
高频出题，难度偏大。
2.主要考查函数零点、单调性、极
值最值、恒成立、切线、周期函数
根的分布。
3.多为多结论填空、参数范围填
空，需数形结合与分类讨论求解。
考点02 三角函数
与解三角形
2021 上海、2018 江苏/全国Ⅰ、
2017 上海/浙江
1.中档填空压轴，计算量较大，常
结合最值设问。
2.依托三角恒等变换、正余弦定
理、角平分线模型命题。
3.题型以求最小值、线段长度、三
角函数最值为主。
考点03 平面向量
2026 上海、2025 上海、2021 浙
江、2020 上海/天津/浙江、2019
江苏/浙江、2018 上海、2017 上
海/江苏
1.新高考、上海卷填空热门压轴，
侧重几何数形结合。
2.载体有三角形、正方形、网格坐
标系，考查投影、向量模、数量积
最值。
3.常设置多个动点，转化函数求最
大、最小值。
考点04 数列
2026 全国一卷、2024 上海/北京、
2022 北京、2020 全国Ⅰ、2018 江
苏/上海
1.创新压轴题型，多结合新定义、
双数列交集命题。
2.涵盖等差、等比数列、递推数
列、数列计数、区间约束问题。
3.设问包含结论判断、项数最小
值、参数最值、有序组合计数。
考点05 空间向量
与立体几何
2025 全国二/北京、2023 上海、
2017 全国Ⅰ/Ⅲ
1.空间几何填空压轴，多结合动态
旋转、几何体最值。
2.题型：内切球半径、多面体体
积、空间线线角、折叠三棱锥体积
最值。
3.常结合实际容器、3D 零件实物
背景出题。
考点06 解析几何
2026 上海/天津、2023 新课标Ⅰ、
2017 江苏
1.解析几何填空压轴，以椭圆、抛
物线、圆为主。
2.核心考离心率、抛物线上点坐标
关系、圆上动点横坐标范围。
3.多条件串联，联立方程、坐标转
化是核心解题思路。
考点07 计数原理
及概率统计
2025 全国一卷、2024 新课标Ⅰ/Ⅱ
1.近年创新填空压轴，文字情境较
多。
2.考查有放回抽样期望、卡片比赛
概率、方格行列组合计数。
3.兼顾排列组合基础与概率计算，
设问包含计数、概率、数学期望。
考点01 函数与导数
1. （2026·北京·高考真题）已知
，给出下列四个结论：
①
在
上有最小值和最大值；
②
，
时，
有最大值；
③
，
有3 个解；
④
，
与
有4 个交点.
其中正确结论的序号是________．
2. （2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为_______
3. （2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为______．
4. （2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是____________．
5. （2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是______.
6. （2023·天津·高考真题）设
,函数
,若
恰有两个零点，则
的取值
范围为_________．
7. （2022·天津·高考真题）设
，对任意实数x，用
表示
中的较小者．若函
数
至少有3 个零点，则
的取值范围为______.
8. （2022·全国乙卷·高考真题）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值
点和极大值点．若
，则a 的取值范围是____________．
9. （2021·北京·高考真题）已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
，使得
恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
10. （2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系
中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经
过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.
11. （2019·江苏·高考真题）设
是定义在
上的两个周期函数，
的周期为4，
的周期为
2，且
是奇函数.当
时，
，
，其中
.若在区间
上，关于
的方程
有8 个不同的实数根，则
的取值范围是_____.
12. （2019·浙江·高考真题）已知
，函数
，若存在
，使得
，则实
数
的最大值是____.
13. （2018·江苏·高考真题）若函数
在
内有且只有一个零点，则
在
上的最大值与最小值的和为__________．
14. （2018·天津·高考真题）已知
，函数
若关于
的方程
恰有2
个互异的实数解，则
的取值范围是______________.
15. （2018·天津·高考真题）已知
，函数
若对任意x∈［–3，+
），
f(x)≤
恒成立，则a 的取值范围是__________．
16. （2017·浙江·高考真题）已知
，函数
在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值
范围是__________
17. （2017·江苏·高考真题）设
是定义在R 且周期为1 的函数，在区间
上，
其
中集合
，则方程
的解的个数是____________
18. （2017·江苏·高考真题）已知函数
，其中e 是自然数对数的底数，若
，则实数a 的取值范围是_________．
考点02 三角函数与解三角形
1. （2021·上海·高考真题）已知
，对任意
，总存在实数
，使得
，则
的最小
值是___
2. （2018·江苏·高考真题）在
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分
线交
于点D，且
，则
的最小值为________．
3. （2018·全国I 卷·高考真题）已知函数
，则
的最小值是_____________．
4. （2017·上海·高考真题）设
、
，且
，则
的最小值等于
________
5. （2017·浙江·高考真题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结
CD，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC=_______．
考点03 平面向量
1. （2026·上海·高考真题）在
中，
、
在边
上，且
，
，
与
所成
的夹角为
，则
的最大值为____________.
2. （2025·上海·高考真题）已知
，
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
的取值范围是_______．
3. （2025·上海·高考真题）在平面中，
和
是互相垂直的单位向量，向量
满足
，向量
满
足
，求
在
方向上的数量投影的最大值__________．
4. （2021·浙江·高考真题）已知平面向量
满足
.记向量
在
方向上的投影的数量分别为x，y，
在
方向上的投影的数量为z，则
的最小值为
___________.
5. （2020·上海·高考真题）已知
是平面内两两不同的向量，满足
，且
(其中
)，则
的最大值为______
6. （2020·天津·高考真题）如图，在四边形
中，
，
，且
，则实数
的值为_________，若
是线段
上的动点，且
，则
的最小值为_________．
7. （2020·浙江·高考真题）设
，
为单位向量，满足
，
，
，设
，
的
夹角为
，则
的最小值为_______．
8. （2019·江苏·高考真题）如图，在
中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于
点
.若
，则
的值是_____.
9. （2019·浙江·高考真题）已知正方形
的边长为1，当每个
取遍
时，
的最小值是________；最大值是_______.
10. （2018·上海·高考真题）已知常数
、
、
、
满足：
，
，
，则
的最大值为______
11. （2017·上海·高考真题）如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点
、
、
、
以及四个标记为
“”的点在正方形的顶点处，设集合
，点
，过
作直线
，使得不在
上的
“”的点分布在
的两侧. 用
和
分别表示
一侧和另一侧的“”的点到
的距离之和. 若
过
的直线
中有且只有一条满足
，则
中所有这样的
为________
12. （2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量
的模分别为
与
的夹角
为
，且
与
的夹角为
，若
，则
_________．
考点04 数列
1. （2026·全国一卷·高考真题）设实数
满足：存在数列
，使得对于任意
，均有
，且
中有某连续9 项
，
，
，
是公比为
的等比数列．则
的最大
值为__________．
2. （2024·上海·高考真题）
，任意
，满足
，求有序数列
有_____对.
3. （2024·上海·高考真题）无穷等比数列
满足首项
，记
，
若对任意正整数
集合
是闭区间，则
的取值范围是______．
4. （2024·北京·高考真题）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4 个结论：
①若
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是______.
5. （2022·北京·高考真题）已知数列
各项均为正数，其前n 项和
满足
．给出下
列四个结论：
①
的第2 项小于3； ②
为等比数列；
③
为递减数列； ④
中存在小于
的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
6. （2020·全国I 卷·高考真题）数列
满足
，前16 项和为540，则
______________.
7. （2018·江苏·高考真题）已知集合
，
．将
的所有元
素从小到大依次排列构成一个数列
．记
为数列
的前n 项和，则使得
成立的n 的最小值
为________．
8. （2018·上海·高考真题）设等比数列
的通项公式为
（
），前
项和为
，
，
则
________
考点05 空间向量与立体几何
1. （2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为
，高为
的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不
计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________
．
2. （2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，
其中ABCDEF 是一个平面多边形，平面
平面ABC，平面
平面ABC，
，
.若
，
则该多面体的体积为________．
3. （2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足
，在空间内取不同两点（不
计顺序），使得这两点与A、B、C 可以组成正四棱锥，求方案数为______．
4. （2017·全国III 卷·高考真题）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC
所在直线与a，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
5. （2017·全国I 卷·高考真题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的
中心为O.D，E，F 为圆O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．
沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F 重合，得到三棱
锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．
考点06 解析几何
1. （2026·上海·高考真题）在
中，
，
，
．已知点
，
，
分别为椭圆的
上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
2. （2026·天津·高考真题）在平面内，
为坐标原点，抛物线
上有
、
、
、
四个点，
、
、
、
的纵坐标分别为
、
、
、
，直线
与直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
，
直线
交
轴于点
，以下说法正确的有______．
①若
与抛物线焦点重合，则
；
②
；
③
；
④
；
⑤
3. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为________．
4. （2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A（-12,0），B（0,6），点P 在圆O：x2+y2=50 上，
若
·
20，则点P 的横坐标的取值范围是_________
考点07 计数原理及概率统计
1. （2025·全国一卷·高考真题）有5 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3
次，每次取1 个球.记X 为这5 个球中至少被取出1 次的球的个数，则X 的数学期望
_________.
2. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别
标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人
各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得
0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分
不小于2 的概率为_________.
3. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4 的方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格
被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是
________．
