文档文本内容
专题31 新定义综合
（四大考点，33 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 数列新定
义
2026 北京、2024 新课标Ⅰ/北京、
2023 北京、2022 北京、2021 新高
考Ⅱ/北京、2020 全国Ⅱ/上海/北
京/江苏、2019 江苏/北京、2018
上海/江苏、2017 江苏
1.高考压轴大题高频题型，北京、
上海卷常考。
2.先给出全新数列规则、序列、数
阵、排列定义，设置判断、计数、
最值、充要条件证明多小问。
3.融合递增子列、周期序列、可分
数列、逆序等新概念，侧重逻辑推
理与分类讨论。
考点02 函数新定
义
2026 上海/全国一卷、2024 上海、
2020 上海、2017 上海
1.以上海选填、大题为主，综合性
强。
2.给定点集、函数性质、特殊变换
定义，判断命题真假、求解参数范
围、证明充要关系。
3.结合奇偶、单调、极值、零点等
基础函数性质综合分析。
考点03 集合新定
义
2025 北京/上海、2020 浙江、2018
北京
1.多选与解答题均有出现，侧重集
合运算与逻辑。
2.自定义特殊集合、序列、对称
集，研究元素构成、存在性、充要
条件。
3.常结合函数定义域、值域、零点
问题交叉命题。
考点04 圆锥曲线
新定义
2023 上海、2019 上海
1.上海特色小题，难度中等偏上。
2.给出曲线专属新概念（自相关曲
线、抛物线比值定义），判断命
题、证明恒等式、比较大小。
3.依托椭圆、双曲线、抛物线几何
性质解题。
考点01 数列新定义
1. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数
，其中
，记
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
2. （2020·全国II 卷·高考真题）0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足
，且存在正整数
，使得
成立，则称其为0-1 周期序列，并称满足
的最小正整数
为这个序列的周期.对于周期为
的0-1 序列
，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5 的0-1 序列中，满足
的序列是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. （2026·北京·高考真题）设
是一个
行
列的数阵，且数阵中的每一项
，都等于
或
．若对任意
，
，其中
，
，且
都有
则称数阵
具有性质
．
(1)判断下列两个数表是否具有性质
．
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(2)若
，则具有性质
的数阵A 中的个数最多是多少？
(3)若
，
，且数阵
具有性质
，证明：对任意，
，都有
．
4. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删
去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
5. （2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列
，和序
列
，其中
，对数列
进行如下变换：将
的第
项均
加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各项都相
等”的充要条件为“
”．
6. （2023·北京·高考真题）已知数列
的项数均为m
，且
的前n
项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，
其中，
表示数集M 中最大的数.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
；
(3)证明：存在
，满足
使得
．
7. （2022·北京·高考真题）已知
为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，
在Q 中存在
，使得
，则称Q 为
连续可表数列．
(1)判断
是否为
连续可表数列？是否为
连续可表数列？说明理由；
(2)若
为
连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若
为
连续可表数列，且
，求证：
．
8. （2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列
满足如下三个性质，则称
为
数列：
①
，且
；
②
；
③
，
．
（1）如果数列
的前4 项为2，-2，-2，-1，那么
是否可能为
数列？说明理由；
（2）若数列
是
数列，求
；
（3）设数列
的前
项和为
.是否存在
数列
，使得
恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
9. （2020·上海·高考真题）有限数列
，若满足
，
是项数，则称
满
足性质
.
（1）判断数列
和
是否具有性质
，请说明理由.
（2）若
，公比为
的等比数列，项数为10，具有性质
，求
的取值范围.
（3）若
是
的一个排列
都具有性质
，求所有满足条件的
.
10. （2020·北京·高考真题）已知
是无穷数列．给出两个性质：
①对于
中任意两项
，在
中都存在一项
，使
；
②对于
中任意项
，在
中都存在两项
．使得
．
(Ⅰ)若
，判断数列
是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若
，判断数列
是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若
是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：
为等比数列.
11. （2020·江苏·高考真题）已知数列
的首项a1=1，前n 项和为Sn．设λ 与k 是常数，若对一切
正整数n，均有
成立，则称此数列为“λ~k”数列．
（1）若等差数列
是“λ~1”数列，求λ 的值；
（2）若数列
是“
”数列，且an＞0，求数列
的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列
为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ 的取值范围；若
不存在，说明理由，
12. （2018·上海·高考真题）给定无穷数列
，若无穷数列
满足：对任意
，都有
，
则称
与
“接近”.
(1)设
是首项为1，公比为
的等比数列，
，
，判断数列
是否与
接近，并说明
理由；
(2)设数列
的前四项为：
，
，
，
，
是一个与
接近的数列，记集合
，求
中元素的个数
；
(3)已知
是公差为
的等差数列，若存在数列
满足：
与
接近，且在
，
，
，
中至少有100 个为正数，求
的取值范围.
13. （2019·江苏·高考真题）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：
，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:
，其中Sn 为数列{bn}的前n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m 时，都有
成立，求m 的
最大值．
14. （2019·北京·高考真题）已知数列
，从中选取第项、第
项、…、第
项
，若
，则称新数列
为
的长度为
的递增子列．规定：数列
的任意一项
都是
的长度为1 的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为4 的递增子列；
（Ⅱ）已知数列
的长度为
的递增子列的末项的最小值为
，长度为
的递增子列的末项的最小值为
.若
，求证：
；
（Ⅲ）设无穷数列
的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若
的长度为的递增子列末项的最小
值为
，且长度为末项为
的递增子列恰有
个
，求数列
的通项公式．
15. （2017·北京·高考真题）设
和
是两个等差数列，记
，
其中
表示
这个数中最大的数．
（Ⅰ）若
，
，求
的值，并证明
是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数
，存在正整数
，当
时，
；或者存在正整数
，使得
是等差数列．
16. （2017·江苏·高考真题）对于给定的正整数k,若数列{an}满足
对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”.
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.
在①中，取
，则
，所以
，所以数列
是等差数列.
17. （2018·江苏·高考真题）设
，对1，2，···，n 的一个排列
，如果当s<t 时，有
，则称
是排列
的一个逆序，排列
的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3 的一
个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231 的逆序数为2．记
为1，2，···，n 的所有排列
中逆序数为k 的全部排列的个数．
（1）求
的值；
（2）求
的表达式(用n 表示)．
考点02 函数新定义
1. （2026·上海·高考真题）对于函数
，
，设
.对于点集
，若存
在
，使得任取
，总有
，则称
为“最低点”.对于函数
和
，以下说法中正确的是（ ）
A．若
和
都有最小值，则
有最低点；
B．若
有最低点，则
和
都有最小值；
C．若
或
有最小值，则
有最低点；
D．若
有最低点，则
或
有最小值.
2. （2024·上海·高考真题）已知函数
的定义域为
，定义集合
，在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是增函数
D．存在
在
处取到极小值
3. （2020·上海·高考真题）若存在
且
，对任意的
，均有
恒成立，则
称函数
具有性质P，已知：
单调递减，且
恒成立；
单调递增，存在
使
得
，则是
具有性质P 的充分条件是（ ）
A．只有
B．只有
C．
和
D．
和
都不是
4. （2020·上海·高考真题）设
，若存在定义域
的函数
既满足“对于任意
，
的值
为
或
”，又满足“关于
的方程
无实数解”，则
的取值范围为______.
5. （2026·上海·高考真题）已知
是，
，的一个排列，若函数
，
，
，对任意
，都有
且
，则称
是关于
，
，
的一个
排列，则关于
，
，
的
排列总数记为
．
(1)已知
，
，
，
，判断
是否为
排列；
(2)对
，
，
，
满足条件的
，求
的取值范围；
(3)对
，且对任意
，
，令
，
，
，
，证明：若
严格减，则存在
，使
；若
严格增，则存在
，
．
6. （2026·全国一卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，且当
时，
．对任意
，
定义集合
．
(1)若当
时，
，求
；
(2)若
是奇函数，
，且
，证明：
；
(3)设
满足：①若
，则
；②当
时，
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
在区间
单调递增．
7. （2017·上海·高考真题）设定义在
上的函数
满足：对于任意的
、
，当
时，都有
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）若
为周期函数，证明：
是常值函数；
（3）设
恒大于零，
是定义在
上、恒大于零的周期函数，
是
的最大值.
函数
. 证明：“
是周期函数”的充要条件是“
是常值函数”.
8. （2026·上海·高考真题）设
是定义在
上的函数.定义性质
：若对任意
，当
时，
，则称函数
具有“性质
”.
(1)判断函数
是否具有“性质
”；
(2)若分段函数
具有“性质
”，求所有满足条件的实数
和
的解；
(3)已知
的值域为
，且在
上是严格增函数，证明：
是偶函数的充要条件是：
具
有“性质
”.
9. （2024·上海·高考真题）记
(1)若
，求
和
;
(2)若
，求证:对于任意
，都有
，且存在
，使得
.
(3)已知定义在
上
有最小值，求证"
是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有
”.
考点03 集合新定义
1. （2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S
N*，T
N*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，y
S，若x≠y，都有xy
T
②对于任意x，y
T，若x<y，则
S；
下列命题正确的是（ ）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
2. （2025·北京·高考真题）已知集合
，从M 中选取n 个不同
的元素组成一个序列：
，其中
称为该序列的第i 项
，若该序
列的相邻项
满足：
或
，则称该序列为K 列．
(1)对于第1 项为
的K 列，写出它的第2 项．
(2)设
为K 列，且
中的项
满足：当i 为奇数时，
：当i 为偶数时，
.判断
，
能否同时为
中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
3. （2025·上海·高考真题）已知函数
的定义域为
．对于正实数a，定义集合
．
(1)若
，判断
是否是
中的元素，请说明理由；
(2)若
，求a 的取值范围；
(3)若
是偶函数，当
时，
，且对任意
，均有
．写出
，
解析式，并证明：对任意实数c，函数
在
上至多有9 个零点．
4. （2025·上海·高考真题）已知函数
的定义域是
．对于
，定义集合
．
(1)
，求
；
(2)对于集合
，若对任意
都有
，则称
是对称集．若
是对称集，证明：“函数
是偶
函数”的充要条件是“对任意
，
是对称集”；
(3)若
，
．求
的取值范围，使得对于任意
，都有
．
5. （2018·北京·高考真题）设n 为正整数，集合A=
．对于集合
A 中的任意元素
和
，记
M（
）=
．
（Ⅰ）当n=3 时，若
，
，求M（
）和M（
）的值；
（Ⅱ）当n=4 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素
，当
相同时，M（
）是
奇数；当
不同时，M（
）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2 的n，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素
，M（
）
=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
考点04 圆锥曲线新定义
1. （2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ 具有如下性质：存在点M，使得对于任意点
，都有
使得
．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（ ）
①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．
A．①假命题；②真命题
B．①真命题；②假命题
C．①真命题；②真命题
D．①假命题；②假命题
2. （2019·上海·高考真题）已知抛物线方程
为焦点，
为抛物线准线上一点，
为线段
与抛
物线的交点，定义：
.
（1）当
时，求
；
（2）证明：存在常数
，使得
；
（3）
为抛物线准线上三点，且
，判断
与
的关系.
